Der Erwartungswert einer Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Die Zufallsgröße X Definition ist ein fundamentales Konzept in der Stochastik, das eng mit dem Erwartungswert verbunden ist. Der Erwartungswert, auch als E(X) oder μ(X) bezeichnet, repräsentiert den durchschnittlich zu erwartenden Wert bei theoretisch unendlich häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments. Dies ist besonders wichtig für die Analyse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Definition: Der Erwartungswert E(X) einer diskreten Zufallsvariable ist die Summe aller möglichen Werte, multipliziert mit ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit: E(X) = Σ (ki * P(X = ki))
Bei einem klassischen Beispiel wie dem Münzwurf Wahrscheinlichkeit Rechner lässt sich dies anschaulich demonstrieren. Nehmen wir an, bei einem Spiel gewinnt man 1 Euro bei Kopf und verliert 2 Euro bei Zahl. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt: P(X=1) = 1/2 für Kopf und P(X=-2) = 1/2 für Zahl. Der Erwartungswert berechnet sich dann als: E(X) = 1 * (1/2) + (-2) * (1/2) = -0,50 Euro. Dies bedeutet, dass man langfristig durchschnittlich 50 Cent pro Spiel verliert.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung Tabelle ist ein essentielles Werkzeug zur Darstellung und Berechnung von Erwartungswerten. Sie listet systematisch alle möglichen Ereignisse (ki) und ihre zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X = ki) auf. Diese Darstellung ist besonders hilfreich bei komplexeren Zufallsexperimenten wie eine Münze wird dreimal geworfen berechnen sie pe(f), wo multiple Ausgänge möglich sind.
Beispiel: Bei einem Glücksspiel mit folgender Verteilung:
- Gewinn 5€: P(X=5) = 0,2
- Gewinn 2€: P(X=2) = 0,3
- Verlust 1€: P(X=-1) = 0,5
Berechnet sich der Erwartungswert als:
E(X) = 5 * 0,2 + 2 * 0,3 + (-1) * 0,5 = 1 + 0,6 - 0,5 = 1,1€