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Julia Hartmann
9.12.2025
Mathe
Stochastik
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9. Dez. 2025
•
Julia Hartmann
@juliahartmann_mphw
Die Stochastik beschäftigt sich mit Wahrscheinlichkeiten und dem Zufall -... Mehr anzeigen
Die Ergebnismenge Ω ist einfach die Sammlung aller möglichen Ausgänge deines Zufallsexperiments. Ein Ereignis A ist dann eine Teilmenge davon - tritt ein, wenn eines seiner Ergebnisse passiert.
Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wie beim fairen Würfel. Die Formel ist simpel: P(A) = |A|/|Ω| - also günstige durch mögliche Ergebnisse. Das macht Berechnungen richtig einfach!
Für mehrstufige Experimente brauchst du die Pfadregeln: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades und addiere die verschiedenen Pfade. Die Kolmogorow-Axiome sorgen dafür, dass alles mathematisch sauber bleibt.
Die Vierfeldertafel ist dein bester Freund bei komplexeren Aufgaben. Sie hilft dir, alle Kombinationen von Ereignissen A und B systematisch zu organisieren und keine wichtige Wahrscheinlichkeit zu vergessen.
Merkregel: Bei "und" wird multipliziert, bei "oder" addiert (minus Überschneidung)!
Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Versuchsausgang eine Zahl zu - zum Beispiel die Augenzahl beim Würfeln. Das Stabdiagramm zeigt dir auf einen Blick, wie wahrscheinlich welcher Wert ist.
Der Erwartungswert μ ist der theoretische Mittelwert deiner Zufallsgröße. Berechne ihn mit E(X) = Σ xi · P. Wichtig: Er muss nicht mal ein möglicher Wert sein - bei 2,5 Kindern pro Familie wirst du ja auch nicht verwirrt!
Die Varianz misst, wie stark deine Werte um den Erwartungswert streuen. Je größer die Varianz, desto unvorhersagbarer wird's. Die Standardabweichung ist einfach die Wurzel daraus und hat dieselbe Einheit wie deine ursprünglichen Werte.
Beim Ziehen aus Urnen kommt es darauf an: Mit oder ohne Zurücklegen? Reihenfolge wichtig oder nicht? Je nachdem verwendest du nk, n!/! oder den Binomialkoeffizienten (n über k).
Tipp: Erstelle immer erst eine Tabelle mit allen xi-Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten!
Bernoulli-Experimente haben nur zwei Ausgänge - Treffer oder Niete, wie beim Münzwurf. Eine Bernoulli-Kette wiederholt das n-mal unabhängig mit derselben Trefferwahrscheinlichkeit p.
Die Formel von Bernoulli gibt dir die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer: P = (n über k) · pk · n-k. Das nennt sich dann Binomialverteilung B(n;p). Klingt kompliziert, ist aber nur Kombinatorik plus Potenzrechnung!
Die Verteilungstabellen sparen dir Rechenzeit - lerne, sie richtig zu lesen. P(X ≤ k) steht direkt drin, für P(X > k) rechnest du 1 - P(X ≤ k). Bei "mindestens" und "höchstens" aufpassen!
Drei wichtige Formeln für binomialverteilte Zufallsgrößen: Erwartungswert μ = n·p, Varianz σ² = n·p· und Standardabweichung σ = √. Diese Werte helfen dir, das Verhalten deiner Verteilung einzuschätzen.
Symmetrie-Trick: B(n; p; k) = B - nutze das bei Aufgaben mit p > 0,5!
Hypothesentests helfen dir zu entscheiden, ob deine Vermutung über eine Wahrscheinlichkeit stimmt. Du stellst eine Nullhypothese H₀ und eine Gegenhypothese H₁ auf und lässt die Daten entscheiden.
Zwei Fehlertypen können auftreten: Fehler 1. Art (α) bedeutet, du verwirfst H₀ fälschlicherweise. Fehler 2. Art (β) bedeutet, du behältst H₀ fälschlich bei. Perfekt wird's nie - du musst abwägen!
Beim Signifikanztest legst du das Signifikanzniveau α vorher fest (meist 5% oder 1%). Je nach Alternativhypothese machst du einen linksseitigen (p < p₀) oder rechtsseitigen Test (p > p₀).
Der kritische Bereich bestimmt deine Entscheidungsregel. Fällt dein Stichprobenergebnis hinein, verwirfst du H₀. Die Tabellen helfen dir, die richtige Grenze zu finden, ohne kompliziert zu rechnen.
Faustregel: Was du beweisen willst, gehört in H₁ - dann ist der Fehler "sich irrtümlich dafür zu entscheiden" kontrollierbar klein!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Julia Hartmann
@juliahartmann_mphw
Die Stochastik beschäftigt sich mit Wahrscheinlichkeiten und dem Zufall - und ist viel praktischer, als du denkst! Von einfachen Würfelspielen bis hin zu komplexen statistischen Tests helfen dir diese Konzepte dabei, Unsicherheit zu verstehen und fundierte Entscheidungen zu treffen.
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Die Ergebnismenge Ω ist einfach die Sammlung aller möglichen Ausgänge deines Zufallsexperiments. Ein Ereignis A ist dann eine Teilmenge davon - tritt ein, wenn eines seiner Ergebnisse passiert.
Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wie beim fairen Würfel. Die Formel ist simpel: P(A) = |A|/|Ω| - also günstige durch mögliche Ergebnisse. Das macht Berechnungen richtig einfach!
Für mehrstufige Experimente brauchst du die Pfadregeln: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades und addiere die verschiedenen Pfade. Die Kolmogorow-Axiome sorgen dafür, dass alles mathematisch sauber bleibt.
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Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Versuchsausgang eine Zahl zu - zum Beispiel die Augenzahl beim Würfeln. Das Stabdiagramm zeigt dir auf einen Blick, wie wahrscheinlich welcher Wert ist.
Der Erwartungswert μ ist der theoretische Mittelwert deiner Zufallsgröße. Berechne ihn mit E(X) = Σ xi · P. Wichtig: Er muss nicht mal ein möglicher Wert sein - bei 2,5 Kindern pro Familie wirst du ja auch nicht verwirrt!
Die Varianz misst, wie stark deine Werte um den Erwartungswert streuen. Je größer die Varianz, desto unvorhersagbarer wird's. Die Standardabweichung ist einfach die Wurzel daraus und hat dieselbe Einheit wie deine ursprünglichen Werte.
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Tipp: Erstelle immer erst eine Tabelle mit allen xi-Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten!
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Bernoulli-Experimente haben nur zwei Ausgänge - Treffer oder Niete, wie beim Münzwurf. Eine Bernoulli-Kette wiederholt das n-mal unabhängig mit derselben Trefferwahrscheinlichkeit p.
Die Formel von Bernoulli gibt dir die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer: P = (n über k) · pk · n-k. Das nennt sich dann Binomialverteilung B(n;p). Klingt kompliziert, ist aber nur Kombinatorik plus Potenzrechnung!
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Drei wichtige Formeln für binomialverteilte Zufallsgrößen: Erwartungswert μ = n·p, Varianz σ² = n·p· und Standardabweichung σ = √. Diese Werte helfen dir, das Verhalten deiner Verteilung einzuschätzen.
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Hypothesentests helfen dir zu entscheiden, ob deine Vermutung über eine Wahrscheinlichkeit stimmt. Du stellst eine Nullhypothese H₀ und eine Gegenhypothese H₁ auf und lässt die Daten entscheiden.
Zwei Fehlertypen können auftreten: Fehler 1. Art (α) bedeutet, du verwirfst H₀ fälschlicherweise. Fehler 2. Art (β) bedeutet, du behältst H₀ fälschlich bei. Perfekt wird's nie - du musst abwägen!
Beim Signifikanztest legst du das Signifikanzniveau α vorher fest (meist 5% oder 1%). Je nach Alternativhypothese machst du einen linksseitigen (p < p₀) oder rechtsseitigen Test (p > p₀).
Der kritische Bereich bestimmt deine Entscheidungsregel. Fällt dein Stichprobenergebnis hinein, verwirfst du H₀. Die Tabellen helfen dir, die richtige Grenze zu finden, ohne kompliziert zu rechnen.
Faustregel: Was du beweisen willst, gehört in H₁ - dann ist der Fehler "sich irrtümlich dafür zu entscheiden" kontrollierbar klein!
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die grundlegenden Konzepte der Stochastik, einschließlich Zufallsexperimente, Pfadregel, Summenregel, relative und absolute Häufigkeit sowie das empirische Gesetz der großen Zahlen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Begriffe und deren Anwendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ideal für Schüler und Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Wahrscheinlichkeiten, einschließlich Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse, La Place Experimente und Baumdiagramme. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der wichtigsten Konzepte für Schüler der 8. Klasse und hilft beim Verständnis von stochastischen Problemen und statistischen Grundlagen.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Binomialverteilung, Bernoulli-Experimente, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Sie erklärt die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsverteilung, stochastische Unabhängigkeit und die Anwendung von Urnenmodellen. Ideal für Schüler der Oberstufe zur Vorbereitung auf das Mathe-Abitur in Stochastik.
MatheErfahren Sie alles über Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die Binomialverteilung, den Erwartungswert und die Anwendung von Baumdiagrammen zur Analyse von Zufallsversuchen. Ideal für Schüler im Leistungskurs Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Kombinatorik und Stochastik in diesem umfassenden Lernmaterial. Erfahren Sie mehr über die Produktregel, geordnete und ungeordnete Stichproben, Bernoulli-Versuche, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und wichtige Formeln. Ideal für Mathematikstudierende, die sich auf Klausuren vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einschließlich Laplace-Experimente, Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und die Analyse von Ereignissen mit Mengendiagrammen. Ideal für Studierende der Stochastik, die ein solides Verständnis der grundlegenden Konzepte entwickeln möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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