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8. Feb. 2026
•
Anja ✨
@anja_x
Wahrscheinlichkeitsrechnung ist überall um uns herum - von der Wettervorhersage... Mehr anzeigen
Ergebnisraum Ω ist wie eine große Box mit allen möglichen Ausgängen deines Zufallsexperiments. Beim Würfeln wäre das {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ereignisse sind Teilmengen dieser Box. Das sichere Ereignis (Ω) tritt immer ein - wie "beim Würfeln kommt eine Zahl zwischen 1 und 6". Das unmögliche Ereignis (∅) passiert nie - wie "beim Würfeln kommt eine 7".
Du kannst Ereignisse miteinander verknüpfen: Das Gegenereignis Ā bedeutet "A tritt nicht ein", die Schnittmenge A∩B heißt "sowohl A als auch B treten ein", und die Vereinigungsmenge A∪B bedeutet "A oder B (oder beide) treten ein".
Tipp: Zeichne dir Venn-Diagramme, um Ereignisse zu visualisieren - das macht alles viel klarer!
Jedes Ereignis A bekommt eine Wahrscheinlichkeit P(A) zwischen 0 und 1 zugewiesen. 0 bedeutet "passiert nie", 1 bedeutet "passiert sicher".
Die wichtigsten Eigenschaften: P(Ω) = 1, P(∅) = 0, und P(Ā) = 1 - P(A). Für zwei Ereignisse gilt: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Dann rechnest du: P(A) = |A|/|Ω| (günstige Fälle durch mögliche Fälle).
Baumdiagramme helfen bei mehrstufigen Experimenten. Pfadregel 1: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Pfadregel 2: Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade zu deinem Ereignis. Die Vierfeldertafel organisiert zwei Ereignisse übersichtlich.
Merke: Bei Laplace-Experimenten zählst du einfach - bei anderen musst du die gegebenen Wahrscheinlichkeiten verwenden!
Bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) fragt: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A schon eingetreten ist?" Die Formel: PA(B) = P(A∩B)/P(A).
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn eins das andere nicht beeinflusst. Das erkennst du daran: PA(B) = P(B) und PB(A) = P(A). Oder einfacher: P(A∩B) = P(A) · P(B).
Wenn diese Gleichung nicht stimmt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. Bei abhängigen Ereignissen verändert das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen.
Die Vierfeldertafel ist perfekt, um Unabhängigkeit zu überprüfen. Rechne einfach nach, ob P(A∩B) = P(A) · P(B) gilt.
Praxis-Tipp: Unabhängigkeit bedeutet nicht "haben nichts miteinander zu tun" - es ist eine mathematische Eigenschaft!
Urnenmodelle veranschaulichen mehrstufige Zufallsexperimente super anschaulich. Du ziehst Kugeln aus einer Urne - entweder mit oder ohne Zurücklegen, und die Reihenfolge kann wichtig sein oder nicht.
Bei Anzahl der Möglichkeiten (natürliche Zahl) verwendest du Formeln: Mit Zurücklegen und Reihenfolge = nᵏ, ohne Zurücklegen mit Reihenfolge = n··...·, ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge = (n über k).
Ziehen ohne Zurücklegen ändert die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Zug. Formel: P("genau k schwarze") = / (N über n).
Ziehen mit Zurücklegen hält die Wahrscheinlichkeiten konstant. Formel: P("genau k schwarze") = (n über k) · pᵏ · ⁿ⁻ᵏ.
Achtung: Unterscheide zwischen "Anzahl der Möglichkeiten" (ganze Zahl) und "Wahrscheinlichkeit" (Dezimalzahl zwischen 0 und 1)!
Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Versuchsausgang eine Zahl zu - wie "Anzahl der Sechsen beim dreimal Würfeln". Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt, welche Werte X mit welchen Wahrscheinlichkeiten annimmt.
Stelle das in einer Tabelle dar: oben die möglichen Werte, unten die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben.
Der Erwartungswert μ = E(X) ist der "Durchschnittswert" bei vielen Wiederholungen: μ = Σ(xᵢ · pᵢ). Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert null ist.
Varianz und Standardabweichung σ messen, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen: Var(X) = Σ und σ = √Var(X).
Wichtig: Der Erwartungswert muss kein Wert sein, den X tatsächlich annehmen kann - wie 2,5 Kinder pro Familie!
Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei Ausgänge: Treffer (Wahrscheinlichkeit p) oder Niete . Wiederholst du das n-mal unabhängig, entsteht eine Bernoulli-Kette.
Die Binomialverteilung B(n;p) beschreibt die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette. Formel: P = (n über k) · pᵏ · ⁿ⁻ᵏ.
Für binomialverteilte Zufallsgrößen gelten einfache Formeln: Erwartungswert μ = n·p, Varianz = n·p·, Standardabweichung σ = √.
Die Verteilungsfunktion F(k) = P(X ≤ k) gibt die Wahrscheinlichkeit für "höchstens k Treffer" an. Das entspricht dem Urnenmodell "Ziehen mit Zurücklegen".
Erkenne Binomialverteilungen: Feste Anzahl n, konstante Trefferwahrscheinlichkeit p, unabhängige Wiederholungen!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
Android-Nutzer
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Anja ✨
@anja_x
Wahrscheinlichkeitsrechnung ist überall um uns herum - von der Wettervorhersage bis zu Videospielen. In diesem Leitfaden lernst du alle wichtigen Grundlagen der Stochastik, die du für deine Klausuren brauchst.
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Ergebnisraum Ω ist wie eine große Box mit allen möglichen Ausgängen deines Zufallsexperiments. Beim Würfeln wäre das {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
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Jedes Ereignis A bekommt eine Wahrscheinlichkeit P(A) zwischen 0 und 1 zugewiesen. 0 bedeutet "passiert nie", 1 bedeutet "passiert sicher".
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Baumdiagramme helfen bei mehrstufigen Experimenten. Pfadregel 1: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Pfadregel 2: Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade zu deinem Ereignis. Die Vierfeldertafel organisiert zwei Ereignisse übersichtlich.
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Bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) fragt: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A schon eingetreten ist?" Die Formel: PA(B) = P(A∩B)/P(A).
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Wenn diese Gleichung nicht stimmt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. Bei abhängigen Ereignissen verändert das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen.
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Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Versuchsausgang eine Zahl zu - wie "Anzahl der Sechsen beim dreimal Würfeln". Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt, welche Werte X mit welchen Wahrscheinlichkeiten annimmt.
Stelle das in einer Tabelle dar: oben die möglichen Werte, unten die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben.
Der Erwartungswert μ = E(X) ist der "Durchschnittswert" bei vielen Wiederholungen: μ = Σ(xᵢ · pᵢ). Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert null ist.
Varianz und Standardabweichung σ messen, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen: Var(X) = Σ und σ = √Var(X).
Wichtig: Der Erwartungswert muss kein Wert sein, den X tatsächlich annehmen kann - wie 2,5 Kinder pro Familie!
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Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei Ausgänge: Treffer (Wahrscheinlichkeit p) oder Niete . Wiederholst du das n-mal unabhängig, entsteht eine Bernoulli-Kette.
Die Binomialverteilung B(n;p) beschreibt die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette. Formel: P = (n über k) · pᵏ · ⁿ⁻ᵏ.
Für binomialverteilte Zufallsgrößen gelten einfache Formeln: Erwartungswert μ = n·p, Varianz = n·p·, Standardabweichung σ = √.
Die Verteilungsfunktion F(k) = P(X ≤ k) gibt die Wahrscheinlichkeit für "höchstens k Treffer" an. Das entspricht dem Urnenmodell "Ziehen mit Zurücklegen".
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Xander S
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