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Übersicht Stochastik
29.6.2021
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Zufallsexperiment = versucn mit festgelegten Bedingungen und einem zufalligen Ausgang Ergebnis = Möglicne Ausgänge, z. B. rot-blau ↳> Ergebnismenge = Mögliche Ergebnisse in einer Menge zusammengefasst, z.B. {rb} Baumdiagramm br Summenregel Produkt regel D Ereignis= Ausgang eines Zufallsexperiments yegenereignis= Alle Aus- gänge, die im Ereignis nicht enthalten sind PIE) = 1-PLE) P(X) Erwartungs wert allg: P(x)= x, P(x= x₁)+...+xn·P(x=xn) Ein Spiel ist fair, wenn P(x)=0 gilt ! ↳ Zufallsgröße = Größe, deren wert vom Zufall abhängig ist, z.B. X beschreibt den Gewinn in € wahrscheinlichkeitsverteilung: X^ x2 xn + P(X=X^) P(x=xz) P(x=xn) Formel von Bernoulli: -1 P(x=k)=(2).pk (1-pin-k binomial pdf Binomialkoeffizient : k! (n-k)! genau P(x=K) nöchst.: P(x≤k) mind: P(x = k) = 1- P(x*K) (2) Kumulierte wahrscheinlichkeit: P(x≤K)= P(x=0) + P(x = A) +... + P(x = k) binomialcdf BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT BINOMIALUERTELLYING Bernoulli Experiment = zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen (Treffer (T)/Niete (N)). Bernoulli-Kette = Bernoulli Experiment, das n-mal hintereinander durch- gefunr+ wird. Die Durchführungen müssen voneinander (Stoch - astisch) unabhängig sein. Zufallsgröße x = x zanit die Anzani der Treffer einer Bernoulli-Kette. Trefferwahrscheinlichkeit:p Trefferanzani: K = Bedingte wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist. [...], wenn... = A ↳PA(B) = PIANB) P(A) A ANB B Schnittmenge vielfeldertafel: B A P(ANB) P(ANB) P(A) A P(ANB) P(ANB) P(A) P(B) P(E) ^ Stochastische unabhängigkeit: = zwei Ereignisse A und B heißen Stochastisch unabhängig, wenn PA(B) = P(B) gilt. ⇒ P(ANB) = P(A) · P(B) STOCHASTIK P(X<K) = P(x ²k-1) P(X>K) = 1- P(x = k) P(K≤x≤ b) = P(x ≤ b) - P(x²k-1) 2.B.: 5! = 1·2·3·4.5 Quotient der werte und • ist gleich! Absolute Häufigkeiten: ganze tanien • Relative Häufigkeiten...
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auf 1 a -o D Semo (x)=1 رلیا +0 ERWARTUNGSWERT & HISTOGRAM W2 Erwartungswert: M= n. p y= 1 = μ₁0 (x) Standardabweicnung: o = √n-p⋅ (1-P) wahrscheinlicnkeitsverteilung:s.o. Histogramm: NORMALVERTEILUNG Diskrete Zufallsgröße: Eine binomialverteilte zufallsgröße nimm+ nur endlich viele werte an, 2Z.B. Würfel: 1-6. Stetige zuf allsgröße: Fur manche Situationen soll die zufallsgröße unendlich viele werte annehmen, 2.B. Wachstum eines Menschen. 014 Satz: Für eine Binomialverteilung mit 0>3 lässt sich die wahrschein- lichkeit für K Erfolge näherungsweise mit der Normalverteilung berechnen. 0,2 -0 M +0 IT = c "Mio 3 4 √21 veränderung von μ→ Verschiebung auf der x- Acnse : u größer / kleiner = wahrscheinlichkeit kleine (X-M)² e 20-² Gauß'sche Glockenfunktion - P(a ≤ x ≤ b) = M. (x) dx · Für a= μ-σ und b = μ+σ ist rb Sim₁0 (x) dx ~0,683 Mio Veränderung von verschiebung auf der y-Achse : o größer = Ws kleiner / Kurve breiter; o kleiner = ws größer / kurve enger