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Aktualisiert Mar 31, 2026
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Einfache Stochastik-Übungen und -Beispiele als Arbeitsblatt (PDF)
Tyra Mae
@tyramae
1 / 6
Faire Spiele und Laplace-Experimente
Die zweite Seite behandelt wichtige Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Definition: Ein faires Spiel liegt vor, wenn die Chancen gleichverteilt sind.
Highlight: Ein Laplace-Experiment ist ein spezielles Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Example: Bei einem idealen Würfel ist jede Augenzahl gleich wahrscheinlich, da alle Flächen gleich groß sind.
Vocabulary: Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E berechnet sich bei Laplace-Experimenten als Quotient aus der Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
Relative und Absolute Häufigkeiten
Die dritte Seite erklärt die Konzepte der Häufigkeiten und das Gesetz der großen Zahlen.
Definition: Die absolute Häufigkeit gibt die tatsächliche Anzahl des Auftretens eines Ereignisses an, während die relative Häufigkeit das Verhältnis zur Gesamtanzahl der Versuche beschreibt.
Example: Bei 18 Würfen mit einer 6 als Ergebnis in 3 Fällen beträgt die relative Häufigkeit 3/18 = 0,1666.
Highlight: Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relativen Häufigkeiten bei vielen Wiederholungen der theoretischen Wahrscheinlichkeit annähern.
Baumdiagramme und Pfadregeln
Die vierte Seite behandelt mehrstufige Zufallsexperimente und deren Darstellung.
Definition: Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente.
Highlight: Die Pfadregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades berechnet wird.
Example: Bei einem zweistufigen Experiment mit den Wahrscheinlichkeiten 0,6 und 0,6 beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit 0,36.
Vocabulary: Die Summenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Ergebnisse ist.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die fünfte Seite beginnt mit dem Konzept der Wahrscheinlichkeitsverteilung, jedoch ist der Text unvollständig.
Highlight: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu möglichen Ergebnissen eines Zufallsexperiments.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Diese Seite behandelt die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Definition: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung legt die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments fest.
Highlight: Zwei fundamentale Regeln gelten: Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ist nie negativ, und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt 1 (oder 100%).
Vocabulary: Die Darstellung erfolgt üblicherweise in Tabellenform oder als Graph.
Grundlagen der Stochastik
Die erste Seite führt in die fundamentalen Begriffe der Stochastik ein.
Definition: Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang, der beliebig oft wiederholbar ist und mindestens zwei verschiedene, nicht vorhersehbare Ergebnisse hat.
Beispiel: Ein Münzwurf ist ein klassisches Zufallsexperiment, da der Ausgang ungewiss ist, beliebig oft wiederholt werden kann und zwei mögliche Ergebnisse (Kopf oder Zahl) hat.
Vocabulary: Die Ergebnismenge bezeichnet alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments, während ein Ereignis eine Zusammenfassung von einem oder mehreren dieser Ergebnisse ist.
Highlight: Bei einem Würfelexperiment bilden die Zahlen 1 bis 6 die Ergebnismenge S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, während das Ereignis "Würfle Primzahlen" die Teilmenge {2, 3, 5} umfasst.
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4.6/5
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Einfache Stochastik-Übungen und -Beispiele als Arbeitsblatt (PDF)
Tyra Mae
@tyramae
Die Grundbegriffe der Stochastik bilden das Fundament der Wahrscheinlichkeitsrechnung und ermöglichen die systematische Analyse von Zufallsexperimenten.
• Die Stochastik befasst sich mit der mathematischen Untersuchung von Zufallsexperimenten und deren Wahrscheinlichkeiten
• Zentrale Konzepte umfassen Ereignisse, relative und absolute Häufigkeiten sowie... Mehr anzeigen
Faire Spiele und Laplace-Experimente
Die zweite Seite behandelt wichtige Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Definition: Ein faires Spiel liegt vor, wenn die Chancen gleichverteilt sind.
Highlight: Ein Laplace-Experiment ist ein spezielles Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Example: Bei einem idealen Würfel ist jede Augenzahl gleich wahrscheinlich, da alle Flächen gleich groß sind.
Vocabulary: Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E berechnet sich bei Laplace-Experimenten als Quotient aus der Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
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Relative und Absolute Häufigkeiten
Die dritte Seite erklärt die Konzepte der Häufigkeiten und das Gesetz der großen Zahlen.
Definition: Die absolute Häufigkeit gibt die tatsächliche Anzahl des Auftretens eines Ereignisses an, während die relative Häufigkeit das Verhältnis zur Gesamtanzahl der Versuche beschreibt.
Example: Bei 18 Würfen mit einer 6 als Ergebnis in 3 Fällen beträgt die relative Häufigkeit 3/18 = 0,1666.
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Baumdiagramme und Pfadregeln
Die vierte Seite behandelt mehrstufige Zufallsexperimente und deren Darstellung.
Definition: Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente.
Highlight: Die Pfadregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades berechnet wird.
Example: Bei einem zweistufigen Experiment mit den Wahrscheinlichkeiten 0,6 und 0,6 beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit 0,36.
Vocabulary: Die Summenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Ergebnisse ist.
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Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die fünfte Seite beginnt mit dem Konzept der Wahrscheinlichkeitsverteilung, jedoch ist der Text unvollständig.
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Wahrscheinlichkeitsverteilung
Diese Seite behandelt die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Definition: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung legt die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments fest.
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Grundlagen der Stochastik
Die erste Seite führt in die fundamentalen Begriffe der Stochastik ein.
Definition: Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang, der beliebig oft wiederholbar ist und mindestens zwei verschiedene, nicht vorhersehbare Ergebnisse hat.
Beispiel: Ein Münzwurf ist ein klassisches Zufallsexperiment, da der Ausgang ungewiss ist, beliebig oft wiederholt werden kann und zwei mögliche Ergebnisse (Kopf oder Zahl) hat.
Vocabulary: Die Ergebnismenge bezeichnet alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments, während ein Ereignis eine Zusammenfassung von einem oder mehreren dieser Ergebnisse ist.
Highlight: Bei einem Würfelexperiment bilden die Zahlen 1 bis 6 die Ergebnismenge S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, während das Ereignis "Würfle Primzahlen" die Teilmenge {2, 3, 5} umfasst.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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