Stochastik: Grundlagen und Wahrscheinlichkeitsrechnungen

Grundbegriffe der Stochastik

Bevor du richtig loslegen kannst, musst du die wichtigsten Begriffe verstehen. Ein Zufallsexperiment ist etwas, dessen Ausgang du nicht vorhersagen kannst - wie Würfeln oder Münzwerfen. Es muss mindestens zwei mögliche Ergebnisse haben und beliebig oft wiederholbar sein.

Die Ergebnismenge Ω enthält alle möglichen Ausgänge deines Experiments. Beim Würfel wäre das Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mit Mengenoperationen kannst du Ereignisse verknüpfen: Die Vereinigungsmenge A∪B bedeutet "A oder B", die Schnittmenge A∩B bedeutet "A und B".

Bedingte Wahrscheinlichkeit kommt ins Spiel, wenn ein Ereignis bereits eingetreten ist. Die Formel P(A|B) = P(A∩B)/P(B) zeigt dir, wie wahrscheinlich A ist, wenn B schon passiert ist. Eine Vierfeldertafel hilft dir dabei, diese Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zu berechnen.

Merktipp: Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten denkst du dir einfach: "Von allen B-Fällen, wie viele sind auch A?"

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Laplace-Experimente sind der Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich - wie beim fairen Würfel oder Münzwurf. Die Formel ist simpel: P(A) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse.

Bei einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine 3 oder 5 gleich 2/6 = 1/3, weil zwei von sechs Ergebnissen günstig sind. Das Gegenereignis Ā tritt ein, wenn A nicht eintritt, und es gilt P(Ā) = 1 - P(A).

Abhängige und unabhängige Ereignisse unterscheiden sich darin, ob sie sich gegenseitig beeinflussen. Wenn mehr Jungs Latein lernen als Mädchen, sind Geschlecht und Sprachwahl abhängig. Bei unabhängigen Ereignissen wie mehrfachen Münzwürfen beeinflusst das erste Ergebnis das zweite nicht.

Mehrstufige Zufallsexperimente stellst du am besten mit Baumdiagrammen dar. Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade multiplizierst du, um das Endergebnis zu bekommen.

Praxistipp: Zeichne bei komplexeren Aufgaben immer ein Baumdiagramm - das macht alles viel übersichtlicher!

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen zeigen dir, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf verschiedene Werte verteilen. Du unterscheidest zwischen diskreten (abzählbare Werte) und stetigen Zufallsvariablen (unendlich viele Werte).

Bei diskreten Zufallsvariablen wie dem Würfelwurf verwendest du die Wahrscheinlichkeitsfunktion f$x$. Sie zeigt dir, wie wahrscheinlich jeder einzelne Wert ist. Die Verteilungsfunktion F$x$ summiert alle Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmten Wert auf.

Stetige Zufallsvariablen wie die Körpergröße haben unendlich viele mögliche Werte. Hier arbeitest du mit der Dichtefunktion, die als Kurve dargestellt wird. Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall berechnest du über die Fläche unter der Kurve: P(181 < x ≤ 184) = ∫₁₈₁¹⁸⁴ f$t$dt.

Bei stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wert praktisch null - deshalb rechnest du immer mit Intervallen.

Wichtig: Diskret = zählbar (Würfel, Münze), stetig = messbar (Größe, Gewicht, Zeit)!

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist dein wichtigstes Werkzeug für "Entweder-Oder-Situationen". Sie basiert auf Bernoulli-Experimenten, wo es nur Erfolg oder Misserfolg gibt - wie beim Münzwurf oder bei Ja/Nein-Fragen.

Die Binomialverteilungsformel lautet: P$X=k$ = (n über k) · p^k · $1-p$^$n-k$. Dabei ist n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Erfolge und p die Erfolgswahrscheinlichkeit. Den Binomialkoeffizienten (n über k) rechnest du mit dem Taschenrechner.

Für verschiedene Fragestellungen brauchst du unterschiedliche Ansätze: "genau k Treffer" = P$X=k$, "höchstens k Treffer" = P(X≤k), "mindestens k Treffer" = 1-P(X<k). Kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X≤k) berechnest du mit der binomial cdf-Funktion deines Taschenrechners.

Eine Bernoulli-Kette entsteht, wenn du das gleiche Experiment n-mal unabhängig wiederholst. Die Zufallsgröße X zählt dann die Gesamtanzahl der Erfolge.

Taschenrechner-Tipp: Nutze "binomial pdf" für exakte Wahrscheinlichkeiten und "binomial cdf" für "höchstens"-Aufgaben!