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12. Dez. 2025

280

4 Seiten

Stochastik: Grundlagen und Wahrscheinlichkeitsrechnungen

L

Laura @laura_jwrm

Stochastik ist die "Kunst des Vermutens" und hilft dir dabei, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und Vorhersagen zu treffen. Von... Mehr anzeigen

# Stochastik

"Kunst des vermutens"

Ghundbeghifle

Zufallsexpchiment - Ereignis ist nicht vorhersehbar, kann beliebig off wiederholt werden

Grundbegriffe der Stochastik

Bevor du richtig loslegen kannst, musst du die wichtigsten Begriffe verstehen. Ein Zufallsexperiment ist etwas, dessen Ausgang du nicht vorhersagen kannst - wie Würfeln oder Münzwerfen. Es muss mindestens zwei mögliche Ergebnisse haben und beliebig oft wiederholbar sein.

Die Ergebnismenge Ω enthält alle möglichen Ausgänge deines Experiments. Beim Würfel wäre das Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mit Mengenoperationen kannst du Ereignisse verknüpfen Die Vereinigungsmenge A∪B bedeutet "A oder B", die Schnittmenge A∩B bedeutet "A und B".

Bedingte Wahrscheinlichkeit kommt ins Spiel, wenn ein Ereignis bereits eingetreten ist. Die Formel P(A|B) = P(A∩B)/P(B) zeigt dir, wie wahrscheinlich A ist, wenn B schon passiert ist. Eine Vierfeldertafel hilft dir dabei, diese Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zu berechnen.

Merktipp Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten denkst du dir einfach "Von allen B-Fällen, wie viele sind auch A?"

# Stochastik

"Kunst des vermutens"

Ghundbeghifle

Zufallsexpchiment - Ereignis ist nicht vorhersehbar, kann beliebig off wiederholt werden

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Laplace-Experimente sind der Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich - wie beim fairen Würfel oder Münzwurf. Die Formel ist simpel P(A) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse.

Bei einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine 3 oder 5 gleich 2/6 = 1/3, weil zwei von sechs Ergebnissen günstig sind. Das Gegenereignis Ā tritt ein, wenn A nicht eintritt, und es gilt P(Ā) = 1 - P(A).

Abhängige und unabhängige Ereignisse unterscheiden sich darin, ob sie sich gegenseitig beeinflussen. Wenn mehr Jungs Latein lernen als Mädchen, sind Geschlecht und Sprachwahl abhängig. Bei unabhängigen Ereignissen wie mehrfachen Münzwürfen beeinflusst das erste Ergebnis das zweite nicht.

Mehrstufige Zufallsexperimente stellst du am besten mit Baumdiagrammen dar. Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade multiplizierst du, um das Endergebnis zu bekommen.

Praxistipp Zeichne bei komplexeren Aufgaben immer ein Baumdiagramm - das macht alles viel übersichtlicher!

# Stochastik

"Kunst des vermutens"

Ghundbeghifle

Zufallsexpchiment - Ereignis ist nicht vorhersehbar, kann beliebig off wiederholt werden

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen zeigen dir, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf verschiedene Werte verteilen. Du unterscheidest zwischen diskreten (abzählbare Werte) und stetigen Zufallsvariablen (unendlich viele Werte).

Bei diskreten Zufallsvariablen wie dem Würfelwurf verwendest du die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x). Sie zeigt dir, wie wahrscheinlich jeder einzelne Wert ist. Die Verteilungsfunktion F(x) summiert alle Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmten Wert auf.

Stetige Zufallsvariablen wie die Körpergröße haben unendlich viele mögliche Werte. Hier arbeitest du mit der Dichtefunktion, die als Kurve dargestellt wird. Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall berechnest du über die Fläche unter der Kurve P(181 < x ≤ 184) = ∫₁₈₁¹⁸⁴ f(t)dt.

Bei stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wert praktisch null - deshalb rechnest du immer mit Intervallen.

Wichtig Diskret = zählbar (Würfel, Münze), stetig = messbar (Größe, Gewicht, Zeit)!

# Stochastik

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Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist dein wichtigstes Werkzeug für "Entweder-Oder-Situationen". Sie basiert auf Bernoulli-Experimenten, wo es nur Erfolg oder Misserfolg gibt - wie beim Münzwurf oder bei Ja/Nein-Fragen.

Die Binomialverteilungsformel lautet PX=kX=k = (n über k) · p^k · 1p1-p^nkn-k. Dabei ist n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Erfolge und p die Erfolgswahrscheinlichkeit. Den Binomialkoeffizienten (n über k) rechnest du mit dem Taschenrechner.

Für verschiedene Fragestellungen brauchst du unterschiedliche Ansätze "genau k Treffer" = PX=kX=k, "höchstens k Treffer" = P(X≤k), "mindestens k Treffer" = 1-P(X<k). Kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X≤k) berechnest du mit der binomial cdf-Funktion deines Taschenrechners.

Eine Bernoulli-Kette entsteht, wenn du das gleiche Experiment n-mal unabhängig wiederholst. Die Zufallsgröße X zählt dann die Gesamtanzahl der Erfolge.

Taschenrechner-Tipp Nutze "binomial pdf" für exakte Wahrscheinlichkeiten und "binomial cdf" für "höchstens"-Aufgaben!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stochastik: Grundlagen und Wahrscheinlichkeitsrechnungen

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Laura

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Stochastik ist die "Kunst des Vermutens" und hilft dir dabei, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und Vorhersagen zu treffen. Von einfachen Münzwürfen bis hin zur Binomialverteilung lernst du hier die wichtigsten Grundlagen, die du für dein Abitur brauchst.

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Grundbegriffe der Stochastik

Bevor du richtig loslegen kannst, musst du die wichtigsten Begriffe verstehen. Ein Zufallsexperiment ist etwas, dessen Ausgang du nicht vorhersagen kannst - wie Würfeln oder Münzwerfen. Es muss mindestens zwei mögliche Ergebnisse haben und beliebig oft wiederholbar sein.

Die Ergebnismenge Ω enthält alle möglichen Ausgänge deines Experiments. Beim Würfel wäre das Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mit Mengenoperationen kannst du Ereignisse verknüpfen: Die Vereinigungsmenge A∪B bedeutet "A oder B", die Schnittmenge A∩B bedeutet "A und B".

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Laplace-Experimente sind der Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich - wie beim fairen Würfel oder Münzwurf. Die Formel ist simpel: P(A) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse.

Bei einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine 3 oder 5 gleich 2/6 = 1/3, weil zwei von sechs Ergebnissen günstig sind. Das Gegenereignis Ā tritt ein, wenn A nicht eintritt, und es gilt P(Ā) = 1 - P(A).

Abhängige und unabhängige Ereignisse unterscheiden sich darin, ob sie sich gegenseitig beeinflussen. Wenn mehr Jungs Latein lernen als Mädchen, sind Geschlecht und Sprachwahl abhängig. Bei unabhängigen Ereignissen wie mehrfachen Münzwürfen beeinflusst das erste Ergebnis das zweite nicht.

Mehrstufige Zufallsexperimente stellst du am besten mit Baumdiagrammen dar. Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade multiplizierst du, um das Endergebnis zu bekommen.

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Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen zeigen dir, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf verschiedene Werte verteilen. Du unterscheidest zwischen diskreten (abzählbare Werte) und stetigen Zufallsvariablen (unendlich viele Werte).

Bei diskreten Zufallsvariablen wie dem Würfelwurf verwendest du die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x). Sie zeigt dir, wie wahrscheinlich jeder einzelne Wert ist. Die Verteilungsfunktion F(x) summiert alle Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmten Wert auf.

Stetige Zufallsvariablen wie die Körpergröße haben unendlich viele mögliche Werte. Hier arbeitest du mit der Dichtefunktion, die als Kurve dargestellt wird. Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall berechnest du über die Fläche unter der Kurve: P(181 < x ≤ 184) = ∫₁₈₁¹⁸⁴ f(t)dt.

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Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist dein wichtigstes Werkzeug für "Entweder-Oder-Situationen". Sie basiert auf Bernoulli-Experimenten, wo es nur Erfolg oder Misserfolg gibt - wie beim Münzwurf oder bei Ja/Nein-Fragen.

Die Binomialverteilungsformel lautet: PX=kX=k = (n über k) · p^k · 1p1-p^nkn-k. Dabei ist n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Erfolge und p die Erfolgswahrscheinlichkeit. Den Binomialkoeffizienten (n über k) rechnest du mit dem Taschenrechner.

Für verschiedene Fragestellungen brauchst du unterschiedliche Ansätze: "genau k Treffer" = PX=kX=k, "höchstens k Treffer" = P(X≤k), "mindestens k Treffer" = 1-P(X<k). Kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X≤k) berechnest du mit der binomial cdf-Funktion deines Taschenrechners.

Eine Bernoulli-Kette entsteht, wenn du das gleiche Experiment n-mal unabhängig wiederholst. Die Zufallsgröße X zählt dann die Gesamtanzahl der Erfolge.

Taschenrechner-Tipp: Nutze "binomial pdf" für exakte Wahrscheinlichkeiten und "binomial cdf" für "höchstens"-Aufgaben!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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