BLF Vorbereitung, 10.Klasse Abschluss

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Graph gegeben Dablesen 4. > Inedes Gleichungssystem lösen • Funktionsglechung aufstellen & Zerfall - No ist der Anfangsbestand a A is fatis fixEN A +4 die Anderungsrate, also we stark sich der Bestand mit der Zeit verändert ist die Zeit t Zerfall oder Wachstum & a> 1 a < 1 Prozentuale Abnahme oder zunahme • ist a>1, müsst ihr a-^ rechnen & ihr erhaltet die prozentuale Qunanme : 1,3-1 +0,3 280% ist a < 1 müsst ihr ^-a rechnen & ihr erhalles dic prozentuale Abnahme: 1-D₂8=0,2 =201 a Exponentielle Ab-8 Zunahme bedeutet, dass sich die Anzahl 2.B. Pro Stunde sonder sich immer verändert, also 2.B. sich alle 2 Stunden verdoppelt um einen bestimmen Fallon 2.B. Beginne 12 Stunde 3 Stunde 2. Schritt: De Gleichungen adidieren und noch x um formen 93. Schrift: Werf & in eine beliebige Gleichung einsetzen und nach y umformen 4 Schritt: Lösungsmenge and Probe (1) 5x-2y = 1 (11) 3x+3y=9 L = {^\2} (1) 5x-2y =1 - 5-1-2-2 = 1 - 5 -4 =/ -0 ^=^ (11) 3x +3y=9=13·1+3+2=9 →→ 3+ 6 = 9 -▷ 9=9 2 GLEICHSETZUNGSVERFAHREN -> Gleichungssystem a EESE CE SE 5x 3x T 5 1+2y 1+74 9 (1) 5x-2y=1 1+2y (11) 3x+3y=9 1-3y & 2 A. Schritt: beicie Gleichungen nach D & umstellen 7,5x-3y=1₁5 3₁ + 3x+3y a 9 1+2y 3-Y 10,500-105 1:105 X x eingesetzt in (11) ³ 3x+By=Q 3+1+3y=9 3+3y=91-3 3y=6 1:3 = ·1+2 1:5 = 9-3y 1:3 A+2y 334 7y 2-2 2 19 Schritt 4 Lösungsmengé und Probe 3-71-5 = 15-5y 1+5y N 15 1-1 14 1:7 Y 2 einsehen in (11): 3x+3y=9 3x +3-2=9 3x + 6 = 9 3x = 3 1-6 1:3 Schritt 2: die 2 rechten Seiten gleich setzen & nach y unformen [ = {1/12} (1) 5x-2y =1-5-1-2·2=1 ➡5-4 =1-1² 1-1 (11) 3x+3y=9-3⋅A +3·2=9 - 3+6=9 -> 9=9 (w) (W) (w) 9 2 Schritt 3. den Wert y in 2 ene beliebige Gleichung einsetzen & nach-x umformen (س) Zentrische Streckung und Strahlersatze- Z ist das Streckungszentrum -> Fixpunkt k Streckungsfaktor IN k = 2 Strahlensätze S kosipus • k = 1 k = -1 1kl 21 |k|< 1 K B 3 COS= TANGENS 4 CY -Didentische Abbildung -A -D Figur vergrößert Figur verklenert B Ankathete Hypotheruse Gegenkathele Hypothenuse >> Sinus kosinus und Tongers & SINUS A tan = Gegenkathete Ankdinele 11 g Rop. Wen eine Seile gesucht wid COS (13) = B T w 7 (05(13) gllg AB AB A'B AB SA SA SA' nur andere Richtung A 1.c 1: cosch3²) Das Langenverhältnis Tongers geroant SA SA Das Langenverhältnis & wird Sinus gehant SB Dals Langenverhältnis & wird. Rosinus geramt SB SA AB ds Wenn ausschließlich der Ninkel gesucht wird: Lonne sin cos, tan. cos (B) == > B = cos(3) 3 EINSETZUNGSVERFAHREN -D Gleichungssystem (1) 5x-2y=A (11) 3x+3y=9 x=3y + 5 einseren in 10 → 3 ( ² y + 3) + 3y = a 57+3+3y-91-3 16 = y + By My (1) 5x-2y = 1 1+2y. 5x = 2y+11:5 x=y=2 (11)-2x-y=1 e y=2 einsetzen in (11): 3x+3y=9₁ 3x+3·2=9 3x+6=9 1-6 (G) 1 in (11) = 3x+3y=94-| 4 ZEICHNERISCHES VERFAHREN (i) (1) Schritt 1: Gleichung 1 nach X um former # 9-3/-/- 5 42 1.5 21y = 42 1=21 3x313 M (²) x - y = -2 | +y (₁)-2x~√ = 1 ity L={112} x = −2+y 1+2 -2x = 1 +y 1-1 FA y = x+2 y-2x-1 AY 13 12 *-1 1. Schritt: Pach Y auflösen 1 (1) 2 Schritt 2: Diesen West setzt mon bei Gleichung 2 en & last y [Sonnt²3 y-Wert in berabge Gleichung einsetzen &x um formen 2 3 Sentitty? Losungsmenge पी und Probe 2 12. Schritt in ein koordinaten- system zeichnen » Shus- & kosinussalz SINUSSARE lösen: -Pour bei NSW & SSW Sinß sing b a sind - b sinß 2 L Variante 2 + (vorgegebene Sinß any Oberfläche: KOSINUSSATZ -P nur bei SSS & SWS =b²+ a² - 2ab cost 6²=a²+ c² - 2ac cos B 2²2²= 6² + c² 2bc-cosa ½·a·b sing •·a.c· sinß wenn bra ist, überprüfen ob es 2 Lösungsdreiecke gibt 180° - (Ausgerechneter Winkel) = (Ausgerechneter Winkell' Avariante 2) · (vorgegebener Winkel) [° >>Flacheninhalt beliebiger Depeche - A = 3·0²b-ind i नग "l -D wen yo° -Variante 2 - Vorgegebent Winkel = sing sing < 180° unter 180° A FINSTUFIGI 5 en eindiges Mal durchführen Närfil / Manze enmal werfen -> nicht sehr aussagekräftig >>Oberflächeninhalt & Volumen von zusamme mengesetzten Körpern. Volumen: Viele Gegenstände sind aus geometrischen körpen zusammengesetzt -▷ Teile zusammengesetzte Körper in einzelne Könger auf, von deven du das Volumen schon berechnen kannst -▷ Voluming zusammen rechnen A = alle Flächen die du berühren kannst Deshalb nicht einfach 0 +0₂ rechnen. Manche Flächen liegen aneinander Bsp Turmspitze -> Der Deckel des Zylinders & der Boden des Regels darf nicht mit berechnet werden. Zylinder: nur einmal die kiesflache und Mantel berecomen kegel: außschließlich die Mantelficche >ein- & mehrstufige Zufallsexperimente ist ein Definition Zufallsexperimente! Vorgang, bei dem mind. 2 Ergeo- nisse möglion sind und bei dem man vore Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann A 12 zur Sicherheit wäre es immer besser mehr versuche durch zuführen ->> Da man nicht bei jedem Versuch (2.1) das selbe Würfelt MEHRSTUFIG > ein zufälliger Versuch mehrfach - Der Ausgang eines Zufallsexpenment wird Ergebnis genant durchführen Würfein -D Ergebnischenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufall experiments Die Ergebnisse stellt mon oftmals in so genannten Boundiagrammen def. Diese Enthalten alle Möglichkeiten, welche danei aufhelen > mit Baumdiagrammen & Vielfedertafeln Nahrscheinlichkeiten bestimmen Bop Manewurt: Ergebnismenge M={Wappen, Zahl} Baumdiagramm W- Wappen & Zezahl P O d IN IMA Ziz FIN # d A FP (FOW) 5d (Fl W 198 Bsp Frühstückverhalter + Geschlecht Vier feldertagel 2 FAN F LIN P(NIF) = + TH 10 -O p 190 270 (FAN) (FAW) ((NI) 160 (FON) Disp Beispiel de Wahr- scheinlichkeit von unter P(AB) AOBL TAI -D 180 = 250 F = mind. 5x/Woche frünstücken F = möstens 4x / Woche frühstücken Z Z IN • Wahrscheinlichkeit - Frau 5x pro Woche frunstucken PEF) -0,72 • Wahrscheinlichkeit -> Frau 4x pro Woche fod Bei jeden Wurf ist die Wahrschein- lichkeit 50% Napper od. Zahl zu erhalten. -Pwie beim einstufigen Exp. Nahrscheinlichkeit eines gewissen Pfads, müssen wir die jeweiligen Werte am Pfad miteinander multi- plizieren; Posp Pfad Wappen -Wappen. ware dies: = = = 4 W = Fran W = Mann • 500 werden befragt • 270 Frauen (1W) > von Frauen 180 mind 5x Woche frühstücken (FAW) > von Männeth 160 hochstens 4x Joche frühstücken (IW) We auf die anderen Lösungen kommer? 1FOW₁ + 1FOW1 = 270 11 + 151 LD unstetten wie mons lbraucht Wahrscheinlichkeit - Mann 5x pro Woche 2 W mut P(FIN) = N --P Mann 4x/Woche P(FIN) 5 » Losbarkeit und Lösungsvielfolt von quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen Quadratische Gleichungen: Lösen mit Formet pq- x² + px + g = 0 3x² + 9x +5= -1 1+1 1.3 3x² + 9x² +6 x² + 3x +2 -0 XAZ XAUZ XAZ XALZ 号士(经)— = -15 ± 10,25 -1,5±0,5 2 -1,5 +2.25 -2 = -45 +0,5=1 = -15-0,5 = -2 Lineare Gleichungen: Lösen durch umformen 4 JIX Gleichungen mit Bruch: 0 ax+6=0 Bop 7x-5-01 +5 7x 51:7 X = 2/1/20 >Exponentialgleichungen Bruchgleichungen b= 04 Lösen einfacher Gleichungen: X²-25=0 1+25 x=25 17 X₁₁₂=5 - 2 1°x 4 = 2x 1:2 ; 2=Xx 。 -q >> Gradmaß und Bogenmaß von Winkelgroßen b 6=22 X 360° 360° LE steht für Langeneinheit V 2-π Gradmaß: 60° ↑ · 2 ·π = ² · 2 ·π²² = ²²² LE = Bogen - maß Bogenmaß = 2π Gradmaß - = = Gradmaß = 360° Bogenmaß V ->360 → Verknüpfungen von Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten -> Bsp. Würfen A = Augenzahl ist größer als 3 C = Augenzahl = 3⁰° UND gerode 4 =145,63 B= 22,4,63 Augenzahl 23 ODER gerade A = {4,5,63 B = √2,₁4,6²3 C = {2,4,5,6} 4 10 O → stochastische Unabhängigkeit. Zwei Feignisse A&B sind stochastisch unabhängig, wenn das Einholen des einen Ereignissen das Eintreien des ondered tegnisses beeinflusst 6 70 Bsp: In einer Urne befinden sich 4x schwouze 2 6 weiße Kugeh Es werden nacheinander 2 Rugen a) mit zurücklegen gesogen Yo Unabhängig 2ug die vom Selbe Wahrscheinlichkeit E₂ %10 b) ohne Funiculegen 40 4 4₁0 S % C = {4} % B = -DUND q gerade zani Overknüpfung -> ODER-Verting pring M 22,33 Das be 44, 66, 77,88-36 • 1, 99, 100 * onsonsion verloren ножид UPABHANGIGES EREIGNIS Abhängig von dizug ist die Wahrscheinlichkeit anders >> Erwartungswert und standardabweichung. ERWARTUNGSWERT ist der Mittelwert der Wahrscheinlichkeits- LD E(X) verteilung einer Vantable X geworden, da eine kugel fehlt -DABHANGIGES EREIGNIS 3p Bei einen Gewinnspiel kan man für 1€ von einen Zufallsgenerator Zufailszahlen • 55 - 50€ Gewinn von A bis 100 genere en lossen Be Lohnt sich eine Teilnahme am Spiel E(X) = 50 +5-130 +3•100+ 1.730 = 28 -D Im Somitt gewinnt mon 80 cent LD Lohnt sich nicht E(X)-np VÁRIAU 2: n・。・(^-p) = VAR(X) STANDARDABWEICHUNG ist die Wierze von Varionz² α(x) = Th'p. (1-p)' Merle vom Anfeng nehmen & Durchschnitt abziehen → quadneer >> Linieare Funktionen, quadratische f(x) =mx+h LINEAR QUADRATISCH 0 Anstieg Schnittpkt. mit y-Achse f(x) = ax²³²+bx+c f(x) = x² - Normal- parabel XA12 -X Bsp. f(x) = -1,5x²-3x+2,5 Scheitelpunktsform f(x) = -1₁5x²-3x+2₂5 f(x) = -1₁5 [x² + 2x + ₁² -1² ] +2₁5 =-115 [(x+4)²-1]+2,5 =-1,5 (x+^)² +15+25 f(x) = -1₁5 ( x + 1)² + 4 LDS (-1/4) Schnittpunkte mit Achsen X=0 setzen f(0) = 1,5-0²-30+25 f(0) = 2,5 -> Sy (012,5) x²+2=3 --£NTET-9²¹ SY X=0 setzen 0 = -15x²-3x +2₂,5 1 (1,5) = -1 ± √3 = -1 ± 1,6 ^ -1 -^ 9 Funktionen. Graph: gerade f(x) = -2x +3 DB x ERR WB: Y E TR Monolone: monoton fallend xx96 x₂x²-26 DBX ER; WBy€R\y<4 Eigenschaften G=-1,5 => unter geöffnet 9x1 →gestreckt $ (-1/4) Symmetrieachse x=-1 Monotonie -00 ≤ x ≤ - 1 Lo zuerst m. steigend -1 ≤X = ∞ >> > Einfluss von Parametern auf die Scheitelpunkt form der quadratischen Funktion y = a・ (x-d)² +c An der Scheitelpunktform f(x) = a⋅ (x-d)² + e kann man den Scheitelpunkt S(dle) ablesen. Folgenden Einfluss haben die Parameter a, die der Scheitel form. auf den Graphen der Parabel a ld e Öffnungsrichtung und Steckung / Stauchung a> 0: Parabel nach oben geöffnet a ≤0: Parabel nach unter geöffnet |a1 <1: Parabel gestaucht Verschiebung in x-Achse d 20: Verschiebung um d nach rechts -> d <0: Verschiebung und nach links -D -->> -> lal >1: Parabel gestreckt Verschiebung in y-Achse -Deso: Verschiebung um e nach oben Verschlebung une nach unten -Pezo: >> aus Punkten des Funktionsgraphen die Gleichung einer linearen oder quadratischen Funktion ermitteln LINEAR mit diesen 2 Punkten kann man den Graphen bereits zeichnen. Wenn man den Graphen gezeichnet hat, kan man in den Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen. Um auf,m" zukommen geht man 1LE nach rechts und dam nach oben oder unter Zum Graph hin. Wenn modern fehlen, kann man dies auch durch normales losen von Gleichungen lösen QUADRATISCH Gegebene Punktepaare in die Funktionsgleichung y=f(x) = ax² + bx+c einsetzen, sodass man 3 Gleichungen erhält. Weiter kommt man dan mit den linewen Gleichungssystemen und (verschiedenen Verfahren)... Und man muss nocheinander a, b, austechnen - Vorgehensweise: @y-Achsenabschnitt bestimmen. Dafür benötigen wir den Punkt, bei dem x = 0 ist. Damit haben wir schon die erste Stelle, dasc" bestimmt. Einen beliebigen zweiten Punkt in die Gleichung einsetzen und zu einen Variablen um formen € • Die im zweiten Schritt erhaltene Variable in den Cilbrig geloliebenen Punkt einsetzen und ausrechnen. In diesen Schritt haben wir schon die zweite Vanable bestimmt Min müssen wir nur noch die letzte Variable bestimmen, 2 indem ein beliebiger Punkt eingesetzt & ausrechnet wird Werte von a, b&c mussen our nach eingesetzt werden. >> Prozent - Zins- & Zinseszinsg PROZENT INS G NIV 11 2₁ · 100 ZIPSESINS 28 na 100 Bsp Ein Guthaben von in slechnung - Kversinst Anfang $ Enduopital W= Prozentwert = G = Grundwert p= Prozentzahl Formeln unformen Kuezinst Kanfongs (2) lg (Ev) KA 1g (1+0) K = Kapital Z = Zinsen p= Zinszahl Anfongs- Zinsschz kapital für 5 Jahre festegelegt, Kverzinst ist ein fälliger Zins, der dem Kapital hinzugefügt & zukünftig zum geltenden Zinssab zusammen mit dem Kapital verzinst wird (1+²) 4 1200€ (1+²)5 1459.98€ 1100 nach 5 Jahren #NI كان NW N 12 1200€ wird zu einem Bossatz von 4%. 1 Wie hoch ist dan dos Guthaben? 1 100 W-100 Anzahid. Jahre 2 W-100 2.100 P 2.100 p = 100 (2) Ruezinst Kampen J → Darstellung geometrischer Figuren durch Koordinaten in kartesischen Koordinatensystem 1.6 Frod FM $ A (-2/-2) B (2/2) ((0/1) D (-3,5/-0,5) € (-0,5/-0,5) F (1,5/2,5) → Hüchen- & Umfangsberechnungen on Rechtecker, Dreieckon und RECHTECK DREIECK KREIS DREIECK D b A X Anwendungen ✓ C a 4. 1₁ a d →Satz des Pythagoras. C b B → Winkelbeziehungen an geschnittenen Parallelen oder im Dreiech >> PARALLELEN D Stufenwinkelsatz: α=a²²; B = ß²₂ учу беб Wechselwinkelsatz: x² = J₁ ß = S² J •=∞0² ²S = B²² Pachbawinkelsatz" x + S² = √3+j¹ = 8 + / ³² = 8 + x² = 180⁰ مشه c²=a²+b² g 3 Fläche: A=a²b Umfang: u =2=a+2=b Innenwinkelsumme = 180° Haus bauen Durchmesser des Laptop Display 2 • Teppich Rechtwohlige Ecken Flache: A = 9.5.a-h Umfang: U-atib+c Floche: A = Top² umfang: U= 2 r >> Daten interpretieres. 1. Größen nennen 2. Zusammenhänge der Größen Beispicke / Statistiken 3. fr و به 2 A 2999 3,14159 P •Potenzfunktionen f(x)= x^ mit ganzzahligen sowie rationden Exponenten GERADE DVD POSITIV Bsp x²₁x².... DB: TR C ð J Pullstellen) bei M (010) Achsensymmetrisch zur Y-Achse. -2 -1 sin60)| Bsp X²³²₁X²1.... DB: R -2 sind periodisch -> Sin (x) = cos WB RO • Hullstellen bei M(010) •Punktsymmetrisch zum uspaung $2 -1 4 +2 WB: TR cos (188⁰-00) 20 ^ 1 2 2 sin (360°-x) Đ NEGATIV Bsp x² -4 +6 ₁x i.. DB REO WB: R+ zur V-Achse cos(-x) = cos (0) -cos(x) keine Nullstellen Achsensymmetrisch zur y-Achse KOSINUSFUNKTION cos (XC) • sind periodisch; Periodenlänge: 360° ->cos (00)=sin(x+ 90°) > Der Graph ist Achsensymmetrisch -2 ▷ ・Sinusfunktion f(x)=sin(x) & Kasinusfunktion f(x) = cos(x) - 8 SINUSTUNKTION sin(x) Perioder lange beträgt 360° (∞ - 90% -2 -1 Bsp x 3 DB R103 WB: TR\ {0} Sin (-x) = sin (oC) sin (180-)- sin (x) sin (360° - £) = -sin 607 keine Pullstellen Punktsymmetrisch zum Ussprung > Der Graph ist punktsymmetrisch zum Nullpunkt, das bedeutet Sin (1802) sink) 2 -^ +A 4 [Sin ² (x) + cos² (x) = 1 dos (80) COS (180 XC) 2 (cos(ac) cos(360° C) >> Sinus- & kasinusfunktion. Die Sinusfunktion of -> Sin (00) & die kosinusfunktionar->cast) sind periodisch. De Penodenlange beträgt 360. Zu jedem Whuel x gibt es einen Snus- & kosinuerwer FY -4 f(x) = sinx XER » YER\-^$y$1. 21; sin(x)=sin(x+k-27) KEZ Runktsymmetrisch zu (010) -3n(x)=sin(x) XK KEZ # ITT +3 कडे lineares Wachstum n A 2 3 4 O B(n) 30 33 36 A +3 jove DB Kleinste Periode B(n)=B(n-1) a Symmetrie Exponentialfunktionen. Blo) = Anfangsbestand in Zateinheiten: B(n)-aktueller Bestand exponentielles Wachstum 4 5 2 3 12 24 48 96 C -2- 39 42 45 K i +3+3 店 Differenz d- B(n)-B(n-1) ist konstant & heißt Wachstumstate Banh Boithod 217 Mullstellen ES GILT B(24)=30+ 24-3 102 ke n Bin) f(x) cosx XER YER-SY≤1 2₁T; cos(x) = cos(x+k-2₁T) KEZ Achsen symmetrisch zur ✓-Achse_cos(x) = cos (-x) 'TT' LE + JOM R 1 Vorganger REKURSIVE FORMEL 6 π = 3,14. rii Z 22 Quotient Bent g = B(n-1) ist konstant & heißt Wachstums faktor EXPLIZITE FORMELL BSP B(n) = B(n-1)-g Bin) - Ban + B(24) = 3-244 = 50331.48 f(x) = y·b·a²dre Bsp (2) >> den Zusammenhang zwischen Funktion und Umken funktion an Beispielen erlautem. 3 Die Umkehr funktion einer Funktion lässt sich in 3 Schritten bestimmen Bsp f(x)=x²-5 1. Funktion als y = f(x) umschreiben 2. Die neue Funktion nach x lösen x² = y +5 x = ²√√y+5 3. Um f-1(x) als Funktion von x zu schreiben, müssen & y ausgetaucht werden. < x <>^(x) = ³√x+5' →> den Grenzwertbegriff aus der Anschauung heraus erkläten und die Grenzwertschreibweise lim (f(x) bzw. lim (fix) verwenden, um den Vertauf von Graphen an beschreiben *=>+∞ xx₂ Eine Zahl g heißt Grenzwert oder Limes einer Folge, wenn sich ihre Glieder unbegrenzt dieser Zahl nähern. - ist das Verhalten der Funktionen an den Randern 3sp ~^ f(x) = x² -1 X--X TL +4 Tim f(x). 84718 +2 x ->+∞ »> Nie verhalten sich die y-Werte, wenn die x-Werte größer werden? = 06 A 60-<-x Tim x' X->-∞ im x=80 limf(x) = +∞ =7∞ folgendes Problem. Wir können nur einen bestimmten Ausschnitt der Funktion darstellen. Was passiert also, wenn wit unendlich große/kleine Werke für & in die Funkhon einsetzen? Diese Antwort liefert uns der Grenzwer "Limes" bedeutet Grenzwert 3. Fall: gerader, negabver E lim xh=∞ lim xh = 00 0448 limx=0 lim = 0 lim x^ 87078 für não => und wenn die x-Werte kleiner werden f ·Exponent x-00 1. Fall: geroder, positiler Exponent 2 Fall: ungerader, positiver Exponent A s 4 S+∞o 1 O -Đ -+7 ^ für no für n = 0 limxnxx x17x lim x² = 00 x->00 für n>0 &n gerade für n=0&n utgerade für n=0 4. Fall: ungerader negativer Exponent lim x²-00 lim x^-∞ lim xhdo lim x^= 0 > Parameter Sinus & Kasinusfunktion PARAMETER A a bewirkt eine Streckung in y-Richtung caso spiegeling on x- Adnse f(x) = 3 sin(x) g(x) = -2 sin(x) $ D 4(x) 5 g(x) to Pos stauchung: Perioder ange bis T streckung Periodenlange bis T B PARAMETER B •Stauchung/Streckung in x-Aichie. Stauchung/ Streckung h(x) = sin(2x); g(x)=sin(95x) h(x) = 0,5-1,5²~; g(x)=√1²7-2₁ 5x # h(x) D • a Streckung in y-Richtung 0<a en monoton fallend f(x)=075* g(x) = 2x Exponential funktione PARAMETER DIE -Verschebung in y-Richtung K(x) = sin(x)+1= m(x) sin(x)-1) f(x) PARAMETER Ci Verschiebung in x-Richtung - Verschiebung in 1(x)=sin(x+5); j(x)=sin(x+2TT) 7(X) = 1,5×" 5 3 3 (g(x) A 1 j(x) = 2 * -Richtung 32 5. Verschiebung in y-Richting k(x) = 1 x + 1 ma) = 0,5-1 R