Grafische Herleitung des Newton-Verfahrens

Die grafische Herleitung des Newton-Verfahrens bietet einen anschaulichen Einblick in die Funktionsweise dieser Methode:

1. Zunächst wird ein Punkt P₀ auf der Funktion f(x) gewählt, der bereits nahe an der gesuchten Nullstelle liegt.
2. An diesem Punkt wird eine Tangente an die Funktion gelegt. Diese Tangente dient als lineare Näherungsfunktion.
3. Die Nullstelle dieser Tangente wird bestimmt und als neuer Ausgangspunkt P₁ verwendet.
4. Der Prozess wird wiederholt, indem an P₁ eine neue Tangente gelegt wird.

Highlight: Jede neue Tangente bringt uns näher an die tatsächliche Nullstelle der Funktion.

Dieser Vorgang wird so lange fortgesetzt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Die grafische Darstellung verdeutlicht, wie sich die Punkte P₀, P₁, P₂ usw. schrittweise der wahren Nullstelle der Funktion annähern.

Example: Bei einer quadratischen Funktion wie f(x) = x² - 4 würde man sehen, wie die Tangenten in jedem Schritt näher an die Nullstellen bei x = ±2 heranrücken.

Die grafische Herleitung bildet die Grundlage für das Verständnis der mathematischen Formulierung des Newton-Verfahrens und zeigt anschaulich, warum diese Methode so effektiv bei der Nullstellenbestimmung ist.

Mathematische Herleitung des Newton-Verfahrens

Die mathematische Herleitung des Newton-Verfahrens basiert auf den Erkenntnissen der grafischen Darstellung und führt zur Entwicklung der Iterationsvorschrift. Diese Formel ist das Herzstück des Verfahrens und wird bei jeder Iteration angewendet.

Der Prozess beginnt mit der Festlegung eines Startwertes x₀. Ausgehend davon wird die Tangentengleichung am Punkt P₁ mit x = x₀ ermittelt. Für eine differenzierbare Funktion f gilt für die Tangente t₁ am Punkt P:

t₁(x) = f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀)

Vocabulary: Die Ableitung f'(x₀) gibt die Steigung der Tangente am Punkt x₀ an.

Um den neuen Näherungswert x₁ zu bestimmen, muss die Nullstelle der Tangente berechnet werden. Dies führt zur Newton-Verfahren Formel:

x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)

Highlight: Diese Formel bildet die Grundlage für alle weiteren Iterationen des Newton-Verfahrens.

Die Herleitung zeigt, wie die geometrische Idee der Tangentenapproximation in eine mathematische Formel übersetzt wird. Diese Formel wird dann wiederholt angewendet, wobei in jedem Durchgang die Werte aktualisiert werden.

Example: Für die Funktion f(x) = x² - 2 und den Startwert x₀ = 1,5 würde die erste Iteration wie folgt aussehen: x₁ = 1,5 - (1,5² - 2) / (2 · 1,5) ≈ 1,4167

Die mathematische Herleitung verdeutlicht die Eleganz und Effizienz des Newton-Verfahrens bei der Nullstellenbestimmung.