Das Newton Verfahren

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jedem weiteren Glied der Zahlenfolge einem bestimmten Wert immer weiter annähert Dieser Wert wird auch als Grenzwert der Folge bezeichnet Ist eine Zahlenfolge nicht konvergent, so ist sie divergent Problem Liegt der Startwert x außerhalb des Konvergenzbereichs der gesuchten Nullstelle, funktioniert das Newton Verfahren nicht. Stattdessen hat das Newton Verfahren dann eine der drei folgenden Konsequenzen zur Folge: • Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte konvergieren nicht gegen den x-Wert der gesuchten Nullstelle, sondern gegen den x-Wert einer anderen Nullstelle der Funktion • Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte divergieren, das heißt sie nähern sich keinem Grenzwert • Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte oszillieren, das heißt sie schwanken unendlich lange innerhalb eines bestimmten Intervalls Daher ist wichtig, sich vor der Anwendung des Newton Verfahrens zu überlegen, in welchem Bereich die Nullstelle etwa liegt und nicht einfach einen beliebigen Startwert x zu wählen. Grafische Herleitung Grundidee: zuerst wird ein Punkt Po mit x = x von der Funktion f (x) bestimmt, der bereits sehr nah an der Nullstelle der Funktion liegt. In diesem Fall werden für den Punkt P die Koordinaten (-410) gewählt. Um sich nun der Nullstelle weiter annähern zu können, soll eine Tangente der Funktion f (x) an der Stelle eingezeichnet werden. Diese Tangente ist eine lineare Näherungsfunktion der Funktion an dieser Stelle. -6 Po Ausgangssituation f(x) f(x) it, (x) Tangente t₁ 2 -2 8 6 2 Grafische Herleitung Bei der Nullstelle der Tangente handelt es sich um den Punkt P₁ mit x = x₁ Nullstelle kann nun von P, der Funktion f (x) erneut angenähert werden. Die Tangente der Funktion f (x) wird dafür als nächstes an der Stelle x₁ eingezeichnet. Punkt P₁ Po it, (x) 10 als Nullstelle der Tangente -3.5 f(x) 3 8 6 2 Tangente t2 t₂(x) -1.5 2 -0.5 Grafische Herleitung Auch diese Tangente hat eine Nullstelle, diese liegt am Punkt P₂ (x210). Dieser Punkt stellt den Ausgangspunkt für den nächsten Schritt der Annäherung der Nullstelle dar. Punkt P bis Punkt P₂ nähern sich immer weiter der wahren Nullstelle der Funktion an. Dieses Verfahren wird noch so lange wiederholt, bis man sich der Nullstelle der Funktion ausreichend genähert hat. Punkt P2 als Nullstelle der Tangente t2 -3.5 -3 1 I 1 1 1 I 1 I 1 1 -2.5 1₂(x) -1.5 Ein Wert für den Startwert xo wird festgelegt Davon ausgehend kann die Tangentengleichung am Punkt P₁ mit x = xo ermittelt werden - Ist die Funktion f, die der Nullstelle angenähert werden soll differenzierbar, gilt für die Tangente t₁ am Punkt P - Mathematische Herleitung Aus den Ideen der grafischen Herleitung kann anschließend die Iterationsvorschrift des Newton Verfahens geschlussfolgert werden. Hierbei handelt es sich um eine Formel, die zur Annäherung der Nullstelle verwendet wird. Diese Formel wird dann mehrmals hintereinander verwendet, nur die Werte, die eingesetzt werden variieren in jedem Durchgang. - +₁= f(x0) + f'(xo). (x-xo) Mathematische Herleitung - Der neue Näherungswert x₁ muss bestimmt werden Dafür muss die Nullstelle der Tangente t₁ ermittelt werden Dafür wird die Tangentengleichung von t₁ mit 0 gleichgesetzt: - 0 = Auflösen der Formel nach x - Daraus ergibt sich: f (xo) + f'(xo) · (x-xo) 0= f(xo) + f'(xo) - (x-xo) - f(xo) = f'(xo) - (x -xo) f(xo) f'(xo) X=Xo- = x-xo f(xo f'(xo | -f(xo) 1: f'(xo) 1 + xo sofern f'(xo) #0 Der errechnete x-Wert ist der neue Annäherungswert x₁ Mathematische Herleitung Vorgehen wird für den Wert x, wiederholt - Am Punkt x₁ wird eine Tangente t2 aufgestellt: +₂ = f(x₁) + f'(x₁)(x-x^) Bestimmung der Nullstelle der Tangente t2 - Der Wert für x2 kann ermittelt werden: 0 = f(x₁) + f'(x₁)(x-x^) - f(x₁) = f'(x)^-(x-x^) f(x^) f'(x) X=X₁ - = X-X^ f(x^) f'(x^) |-f(x^) 1: f'(x₁) Der errechnete x-Wert ist der neue Annäherungswert x2 1+X^ sofern f'(x₁) ‡0 Mathematische Herleitung Verfahren kann endlos weiter geführt werden Deshalb kann ganz allgemein der Wert x, verwendet werden n - Aus diesem kann man den Wert für X n + 1 ermittelt werden: - Die Tangente an dem Graphen der Funktion f (x) an der Stelle x, hat an dieser Stelle die Steigung f'(x) Tangentengleichung: +₁+₁ (x) = f'(xn). (x-xn) + f(xn) Wichtig: Das Newton Verfahren und auch die Aufstellung der Tangentengleichung ist nur möglich, wenn die Funktion f differenzierbar ist. Man muss also die Ableitung an jeder Stelle x bilden können. Mathematische Herleitung - Den Wert X n + 1 erhält man, indem man die Nullstelle der Tangente berechnet - Daher muss gelten: +₁+₁ (x₁+₁) = 0 - Daraus folgt dann: 0= f'(xn) · (Xn+^-xn) + f(xn) - Gleichung wird nun in mehreren Schritten nach x n + 1 aufgelöst - Zunächst werden die Klammern ausmultipliziert - Daraus resultiert: 0= f'(xn). (xn+^) - f'(xn) - xn+ f(xn) Mathematische Herleitung • Xn - Anschließend wird auf beiden Seiten der Gleichung f'(x) addiert Daraus ergibt sich: - 0= f'(xn) · (xn+^) - f'(xn) · Xn-f(xn) It f'(xn)- xn f'(xn). xn= f'(xn) · (xn+^) + f(xn) Auf beiden Seiten der Gleichung f (xn) wird subtrahiert - Daraus folgt: f'(xn).xn= f'(xn). (xn+^) + f(xn) f'(xn)- xn-f(xn) = f'(xn) - (xn+x) 1-f(xn) Mathematische Herleitung - Beide Seiten der Gleichung werden durch f' (x₁) dividiert Ist möglich, da: für die Steigung der Tangente an der Stelle xn gilt f' (xn ) ‡ 0 Ursache dafür liegt in den Voraussetzungen für die Anwendung des Newton Verfahrens: die Funktion darf nicht konstant sein und muss differenzierbar sein f'(xn) xn - f(xn) = f'(xn). (x^+^) |: f'(xn) f'(xn). (xn+^) f'(xn) f'(xn).xn-f(xn) f'(xn) f'(xn). Xn f'(xn) f'(xn)`x, f'(xn) f'(xn) 'Xn f'lint = f(xn) f'(xn) - Nach Kürzen und Umstellen ergibt sich die Iterationsvorschrift des Newton Verfahrens: f(xn) f'(xn) f(xn) f'(xn) Xn=- = f(xn) f'(xn) f'(xn). (xn+^) f'(xn) f'(xn). (Xxn+^) f'(xn) f'lin). (Xn+^) fil =Xn+^ Mathematische Herleitung Herleitung zusammengefasst: ist eine Funktion f differenzierbar und hat sie eine Nullstelle, so kann die Nullstelle näherungsweise an dem Newton Verfahren bestimmt werden - Iterationsvorschrift des Newton Verfahrens mit dem Startwert xo f(x) f'(x) dabei gilt: nEN lautet: Xn+^=Xn- Iterationsvorschrift - Das wichtigste bei der Anwendung des Newton Verfahrens - Iterationsvorschrift lautet: Xn+^=Xn- f(x) f'(x) Bestandteile der Iterationsvorschrift: Xn+ 1 ist die neue Annäherung der Nullstelle, die im nächsten Schritt berechnet werden soll •xn ist die alte Annäherung, die entweder der Startwert xo ist oder die Annäherung, die im letzten Schritt bestimmt wurde - • f (x) ist die Funktion, deren Nullstelle berechnet werden soll • f '(x) ist die erste Ableitung der Funktion, deren Nullstelle berechnet werden soll muss bestimmt werden, um das Newton Verfahren anwenden zu können Vorgehen Um die Nullstellen einer Funktion mithilfe des Newton Verfahrens anzunähern hilft es, in den folgenden 5 Schritten vorzugehen. Schritt 1: Erste Ableitung der Funktion, deren Nullstelle angenähert werden soll bestimmen wichtig, da sie Teil der Iterationsvorschrift ist -→ Schritt 2: Wertetabelle erstellen, an der man ablesen kann, in welchem Bereich sich die Nullstelle der Funktion befindet Der Wert für x wird gewählt so, dass er in einem Intervall liegt an dessen einer Grenze der Funktionswert positiv und an der anderen Grenze negativ ist - Vorzeichenwechsel der Funktionswerte in diesem Intervall → die Nullstelle liegt nach dem Zwischenersatz auf jedem Fall in diesem Intervall Wichtig: die Funktion im ausgewählten Intervall muss stetig sein, damit in diesem Intervall keine Definitionslücke vorliegt Vorgehen Schritt 3: Ausgehend von den Informationen der Wertetabelle wird der Startwert xo gewählt Dieser wird in die Iterationsvorschrift als x eingesetzt, wodurch man den Annäherungswert x₁ n als X n + 1 erhält Schritt 4: Vorgehensweise wird immer wieder wiederholt → bis sich die Annäherungswerte nur noch minimal in ihren Nachkommastellen unterscheiden → typisch für Iterationsverfahren Ist dies der Fall, kann man diesen Wert als den x-Wert der angenäherten Nullstelle betrachten - Da der y-Wert bei Nullstellen immer O beträgt, können aus diesen Informationen die Koordinaten der Nullstelle in der Form N (x10) gewählt werden Vorgehen Schritt 5: - Nun wird entweder durch das Einsetzen des errechneten Wertes in die Funktionsgleichung oder durch Zeichnen der Funktion überprüft, ob es sich bei dem ermittelten Wert tatsächlich um eine Nullstelle der Funktion handelt Nullstelle dieser Funktion soll mithilfe des Newton Verfahrens angenähert werden: Schritt 1 Ableitung bilden: f'(x) = 18 x² +8x Beispielaufgabe X Schritt 2 Wertetabelle erstellen, um zu schauen, in welchem Bereich etwa die Nullstelle der Funktion liegen könnte: f (x) -2 -34 f(x) = 6x³+4x²-2 3 -1 -4 0 -2 1 8 2 62 Da bei der Nullstelle gilt f (x) = 0, liegt diese irgendwo zwischen 0 und 1. Daher wird in diesem Fall für den Startwert x der Wert 0,5 gewählt. Schritt 3 Wert wird in die Iterationsvorschrift eingesetzt: Beispielaufgabe Mit dem Wert für × ₂' 2 f(xo) 6.0.5 +4.0₁5²-2 x₁ = x₁ = f'(xo) = 0₁5 - 18·0,5 +8.0.5 Schritt 4 Der ermittelte Wert für x, als x, wird in die Iterationsvorschrift eingesetzt, um den Wert für Xn die nächste Annäherung x₂ als × n + 1 zu bestimmen: 1 f(x₁) f'(x^) ~0,52941 6.0.52941³+4-0,52941²-2 = 0.52941- 18.0,52941² + 8.0,52941 wird nun der Wert x₂ berechnet: 3 f(x₂) 6.0,528183 +4.0,52818².2 X3 = X₂ = f'(x₂) = 0,52818-18- 0.52818² + 8·0152818 Nullstelle der Funktion f (x) befindet sich etwa am Punkt N (0,52818|0) 0.52818 ~0,52818 Beispielaufgabe Schritt 5 Zur Kontrolle wird der Graph der Funktion f (x) gezeichnet: -1 -0.5 1 0.5 0 -0.5 Anhand des Funktionsverlaufs ist zu erkennen, dass die Nullstelle ziemlich genau am errechneten Punkt liegt. Ein weiterer Weg, um zu testen, ob es sich wirklich um die Nullstelle handelt ist, den errechneten Wert als x-Wert der Funktion in die Funktionsgleichung einzusetzen. Beträgt der daraus ermittelte y-Wert der Funktion ziemlich genau Null, handelt es sich tatsächlich um die Nullstelle der Funktion. f(0,52818) = 6.0.52818³.4.0,52818²-2 ≈ 0,00001 Die Annäherung der Nullstelle mithilfe des Newton Verfahrens ist also richtig. -1- -1.5 0.5 f(x) N=(0.5281813269478, 0) 1.5 1 2 Das war's. Vielen Dank, für's anschauen. :)