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Lokale Änderungsrate und Mittlere Änderungsrate: Aufgaben, Beispiele und Lösungen

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Die Lokale Änderungsrate

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Momentane änderungsrate

Lokale Änderungsrate und Mittlere Änderungsrate: Aufgaben, Beispiele und Lösungen

Die lokale Änderungsrate beschreibt die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt einer Funktion. Sie ist gleichbedeutend mit der Ableitung der Funktion und wird oft als f'(x) geschrieben. Dieses Konzept findet Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Geschwindigkeit, Beschleunigung und Verbrauch. Die Berechnung erfolgt durch Grenzwertbetrachtung des Differenzenquotienten.

• Die lokale Änderungsrate ist ein zentrales Konzept in der Differentialrechnung.
• Sie beschreibt die momentane Veränderungsrate einer Funktion an einem spezifischen Punkt.
• Praktische Anwendungen umfassen die Berechnung von Momentangeschwindigkeit und momentaner Beschleunigung.
• Die Berechnung kann grafisch oder rechnerisch durch Grenzwertbildung erfolgen.
• Verwandte Konzepte sind die mittlere Änderungsrate und der Differentialquotient.

...

21.8.2021

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LOKALE ANDERUNGSRATE Gegeben ist die Funktion f. Die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x ist die Steigung der Tangente an dem Graphen

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Berechnung der lokalen Änderungsrate

Die zweite Seite konzentriert sich auf die praktische Berechnung der lokalen Änderungsrate. Es werden zwei Methoden vorgestellt: die Näherungstabelle und die Grenzwertbetrachtung.

Beispiel: Für die Funktion fxx = √x wird die lokale Änderungsrate an der Stelle x₀ = 1 berechnet.

Die Methode der Näherungstabelle zeigt, wie man sich schrittweise dem Grenzwert annähert. Dabei werden Werte immer näher an x₀ = 1 betrachtet, um die lokale Änderungsrate zu approximieren.

Highlight: Die Näherungstabelle zeigt, dass sich die lokale Änderungsrate für √x an der Stelle x = 1 dem Wert 0,5 annähert.

Die Grenzwertbetrachtung wird detailliert Schritt für Schritt durchgeführt. Dabei wird der Differenzenquotient aufgestellt und durch algebraische Umformungen vereinfacht, bis der Grenzwert bestimmt werden kann.

Vocabulary: Der Grenzwert LimesLimes ist ein fundamentales Konzept in der Berechnung der lokalen Änderungsrate.

Die Seite schließt mit dem Ergebnis, dass die lokale Änderungsrate der Funktion fxx = √x an der Stelle x = 1 genau 0,5 beträgt. Dies bestätigt das Ergebnis der Näherungstabelle und demonstriert die Genauigkeit der Grenzwertmethode.

Quote: "f'11 = 0,5" ist das Endergebnis der Berechnung und repräsentiert die lokale Änderungsrate an der Stelle x = 1.

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Highlight: Die Näherungstabelle zeigt, dass sich die lokale Änderungsrate für √x an der Stelle x = 1 dem Wert 0,5 annähert.

Die Grenzwertbetrachtung wird detailliert Schritt für Schritt durchgeführt. Dabei wird der Differenzenquotient aufgestellt und durch algebraische Umformungen vereinfacht, bis der Grenzwert bestimmt werden kann.

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Lokale Änderungsrate - Grundlagen und Definition

Die erste Seite führt in das Konzept der lokalen Änderungsrate ein. Sie wird definiert als die Steigung der Tangente an einem Graphen im Punkt Px/f(xx/f(x). Dies entspricht der Ableitung der Funktion an der Stelle x₀, notiert als f'xx.

Definition: Die lokale Änderungsrate ist die Steigung der Tangente an einem Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt.

Die Seite stellt verschiedene Anwendungsbeispiele vor, wie Zeit-Weg-Funktionen, Geschwindigkeit und Benzinverbrauch. Es wird der Unterschied zwischen mittlerer und lokaler Änderungsrate erläutert.

Beispiel: Bei einer Zeit-Weg-Funktion entspricht die lokale Änderungsrate der Momentangeschwindigkeit.

Die mathematische Berechnung der lokalen Änderungsrate wird sowohl grafisch als auch rechnerisch erklärt. Dabei wird der Übergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung durch Grenzwertbildung verdeutlicht.

Highlight: Die lokale Änderungsrate wird durch den Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet: f'x0x₀ = limx→x0x→x₀ f(xf(x - fx0x₀) / x−x0x - x₀

Vocabulary: Der Differentialquotient ist ein anderer Begriff für die lokale Änderungsrate und die Ableitung einer Funktion.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Samantha Klich

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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