Momentane Änderungsrate: Definition und Berechnung
Die momentane Änderungsrate oder lokale Änderungsrate einer Funktion f(x) an einer Stelle x₀ beschreibt, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich x in einer kleinen Umgebung von x₀ verändert. Sie ist gleichbedeutend mit der Steigung der Funktion an dieser Stelle bzw. der Tangente an diesem Punkt.
Definition: Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert des Differenzenquotienten (mittlere Änderungsrate) und wird durch folgende Formel ausgedrückt:
f'(x) = m = lim (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)
x→x₀
Vocabulary: Der Differentialquotient ist ein anderer Begriff für die momentane Änderungsrate und kann durch die Ableitung der Funktion berechnet werden.
Ein konkretes Beispiel veranschaulicht die Berechnung der momentanen Änderungsrate:
Example: Für die Funktion f(x) = x² soll die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 2 bestimmt werden.
Die Lösung erfolgt schrittweise:
-
m = lim (f(x) - f(2)) / (x - 2)
x→2
-
= lim (x² - 2²) / (x - 2)
x→2
-
= lim (x² - 4) / (x - 2)
x→2
-
= lim ((x - 2)(x + 2)) / (x - 2)
x→2
-
= lim (x + 2)
x→2
-
= 2 + 2 = 4
Highlight: Die Anwendung der binomischen Formel in Schritt 4 ist ein entscheidender Schritt zur Vereinfachung des Ausdrucks.
Diese Berechnung zeigt, dass die momentane Änderungsrate der Funktion f(x) = x² an der Stelle x = 2 gleich 4 ist, was der Steigung der Tangente an diesem Punkt entspricht.
Vocabulary: Der Differenzenquotient ist die Grundlage für die Berechnung der momentanen Änderungsrate und stellt die mittlere Änderungsrate über ein Intervall dar.
Die momentane Änderungsrate ist ein fundamentales Konzept in der Analysis und findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik, wo die Veränderungsrate einer Größe an einem bestimmten Punkt von Interesse ist.
