Die lokale/durchschnittliche Änderungsrate

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y-Achse die Strecke in Kilometern aufgetragen. Nun möchtest du gerne die mittlere Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke Augsburg-München wissen und zeichnest eine Sekante mit den Schnittpunkten A(0,5; 10) und B(1,5; 80) ein. Für die Geschwindigkeit rechnest du nun Strecke durch Zeit: A Nach einer halben Stunde fährst du an Augsburg vorbei. Bis hierhin hast du bereits eine Strecke von 10km zurückgelegt. Es gilt also: f(0,5) = 10. Das heißt, du berechnest die Steigung der Sekante, also das eingezeichnete Steigungsdreieck, aus, nämlich: 80-10 = 70. Auf der Strecke zwischen Augsburg und München hatte der Zug somit eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 70km/h. Die Lokale Änderungsrate Die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle xo .Geht es um zeitliche Vorgänge→momentane Änderungsrate. ABLEITUNG -STEIGUNG IN EINEM PUNKT Tangente: Die Gerade, die im Punkt P (Xfx) die Steigung der Funktion f in P,( bzw an der Stelle x) annimmt. Eine Tangente kann den Graphen berühren oder durchsetzen; in anderen Punkten auch Sekanten. Man sagt auch: Die Steigung der Tangente ist die Ableitung der Funktion f an der Stelle xo. Der Differenzenquotient lässt sich als mittlere Änderungsrate der Funktion auf dem Intervall [o; interpretieren. Beschreibt die Funktion beispielsweise eine zurückgelegte Wegstrecke f(x) in Abhängigkeit der Zeit, so stellt der Differenzenquotient die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten To und dar. Der Differentialquotient f' (ro) an der Stelle To ist der Grenzwert des Differenzenquotienten fürxo: f'(x) = lim f(x)-f(ro) x-20 x-xo Differentialquotient Er wird auch als Ableitung bezeichnet und beschreibt also die lokale Änderungsrate (bzw. momentane Änderungsrate) der Funktion an der Stellexo. Für eine Funktion, die eine zurückgelegte Wegstrecke f (x) in Abhängigkeit der Zeit beschreibt, gibt der Differentialquotient die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt o an. Dies geht einher mit der Vorstellung des Grenzübergangs des Differenzenquotienten. Der Differenzenquotient gibt nämlich die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem betrachteten Intervall an und der Grenzübergang bedeutet nichts anderes als dass dieses Intervall immer weiter verkleinert wird.