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27. Jan. 2026
•
Kiras
@kira_jhrt
Die mittlere Änderungsrate, lokale Änderungsrate und momentane Änderungsratesind... Mehr anzeigen
Die zweite Seite vertieft das Konzept der Sekantensteigung und führt das Steigungsdreieck als praktisches Werkzeug zur Berechnung ein. Es wird erklärt, wie man die Steigung einer Sekante bestimmt, die den Graphen einer Funktion f(x) in zwei Punkten A und B schneidet.
Das Steigungsdreieck wird als geometrisches Hilfsmittel eingeführt, um die Steigung zu berechnen. Die Formel für die Steigung m = Δy/Δx wird hergeleitet, wobei Δy die Höhe und Δx die Länge des Steigungsdreiecks repräsentieren.
Example: Für eine Funktion f(x) = x² + x wird gezeigt, wie man das Steigungsdreieck konstruiert und die Steigung berechnet.
Die Seite führt schrittweise durch den Prozess der Berechnung:
Definition: Die Formel / wird als Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate bezeichnet.
Diese Herleitung zeigt, wie geometrische Konzepte (Steigungsdreieck) mit algebraischen Formeln (Differenzenquotient) verknüpft sind, was für das tiefere Verständnis der lokalen Änderungsrate und ihrer Berechnung wesentlich ist.
Die dritte Seite präsentiert ein anschauliches Beispiel zur Anwendung der mittleren Änderungsrate im Kontext einer Zugfahrt. Dieses Beispiel verdeutlicht, wie mathematische Konzepte in realen Situationen angewendet werden können.
In diesem Szenario beschreibt eine Funktion f(x) den zurückgelegten Weg eines Zuges in Abhängigkeit von der Zeit. Das Koordinatensystem verwendet die x-Achse für die Zeit in Stunden und die y-Achse für die Strecke in Kilometern.
Example: Nach einer halben Stunde passiert der Zug Augsburg (10 km zurückgelegt), und nach eineinhalb Stunden erreicht er München (80 km zurückgelegt).
Die mittlere Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke Augsburg-München wird durch die Berechnung der Sekantensteigung ermittelt:
Highlight: Die berechnete mittlere Geschwindigkeit von 70 km/h entspricht der durchschnittlichen Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke zwischen Augsburg und München.
Dieses Beispiel zeigt eindrucksvoll, wie die mittlere Änderungsrate zur Berechnung von Durchschnittsgeschwindigkeiten verwendet werden kann, was eine wichtige Anwendung in der Physik und im täglichen Leben darstellt.
Die vierte Seite führt das Konzept der lokalen Änderungsrate ein und erläutert den Zusammenhang zum Differentialquotienten. Es wird erklärt, dass die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle x₀ bei zeitlichen Vorgängen auch als momentane Änderungsrate bezeichnet wird.
Definition: Die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle x₀ entspricht der Steigung der Tangente an diesem Punkt.
Die Tangente wird als Gerade definiert, die im Punkt P(x₀, f(x₀)) die Steigung der Funktion f annimmt. Es wird betont, dass eine Tangente den Graphen berühren oder durchsetzen kann und in anderen Punkten auch als Sekante fungieren kann.
Vocabulary: Der Differentialquotient f'(x₀) wird als Grenzwert des Differenzenquotienten für x → x₀ definiert: f'(x₀) = lim / x→x₀
Der Differentialquotient, auch als Ableitung bezeichnet, beschreibt die lokale oder momentane Änderungsrate der Funktion an der Stelle x₀. Bei einer Funktion, die eine Wegstrecke in Abhängigkeit der Zeit beschreibt, gibt der Differentialquotient die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt x₀ an.
Highlight: Der Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten kann als Verkleinerung des betrachteten Intervalls verstanden werden, bis es sich auf einen Punkt reduziert.
Diese Seite verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der mittleren Änderungsrate (Differenzenquotient) und der lokalen Änderungsrate (Differentialquotient) und zeigt, wie diese Konzepte in der Praxis, beispielsweise bei der Berechnung von Geschwindigkeiten, angewendet werden können.
Die erste Seite führt in die grundlegenden Konzepte der mittleren Änderungsrate und des Grenzwerts des Differenzenquotienten ein. Es wird erklärt, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer bestimmten Stelle a darstellt.
Der Differenzenquotient wird als / definiert und beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Funktionsgraphen. Diese Formel ist fundamental für das Verständnis der Änderungsrate und bildet die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Differentialrechnung.
Definition: Der Differenzenquotient / beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion f.
Eine grafische Darstellung auf der Seite veranschaulicht diese Konzepte. Sie zeigt einen Funktionsgraphen f(x) mit einer Sekante, die den Graphen in zwei Punkten schneidet. Diese visuelle Repräsentation hilft, die abstrakte mathematische Idee greifbarer zu machen.
Highlight: Die graphische Darstellung der Sekante und des Funktionsgraphen ist entscheidend für das intuitive Verständnis des Differenzenquotienten und der Änderungsrate.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
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Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Thomas R
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Paul T
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Kiras
@kira_jhrt
Die mittlere Änderungsrate, lokale Änderungsrate und momentane Änderungsratesind zentrale Konzepte in der Differentialrechnung. Diese Begriffe beschreiben, wie sich eine Funktion an bestimmten Stellen oder über Intervalle hinweg verändert. Der Differenzenquotient spielt dabei eine Schlüsselrolle, indem er die durchschnittliche... Mehr anzeigen
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Die zweite Seite vertieft das Konzept der Sekantensteigung und führt das Steigungsdreieck als praktisches Werkzeug zur Berechnung ein. Es wird erklärt, wie man die Steigung einer Sekante bestimmt, die den Graphen einer Funktion f(x) in zwei Punkten A und B schneidet.
Das Steigungsdreieck wird als geometrisches Hilfsmittel eingeführt, um die Steigung zu berechnen. Die Formel für die Steigung m = Δy/Δx wird hergeleitet, wobei Δy die Höhe und Δx die Länge des Steigungsdreiecks repräsentieren.
Example: Für eine Funktion f(x) = x² + x wird gezeigt, wie man das Steigungsdreieck konstruiert und die Steigung berechnet.
Die Seite führt schrittweise durch den Prozess der Berechnung:
Definition: Die Formel / wird als Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate bezeichnet.
Diese Herleitung zeigt, wie geometrische Konzepte (Steigungsdreieck) mit algebraischen Formeln (Differenzenquotient) verknüpft sind, was für das tiefere Verständnis der lokalen Änderungsrate und ihrer Berechnung wesentlich ist.
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Die dritte Seite präsentiert ein anschauliches Beispiel zur Anwendung der mittleren Änderungsrate im Kontext einer Zugfahrt. Dieses Beispiel verdeutlicht, wie mathematische Konzepte in realen Situationen angewendet werden können.
In diesem Szenario beschreibt eine Funktion f(x) den zurückgelegten Weg eines Zuges in Abhängigkeit von der Zeit. Das Koordinatensystem verwendet die x-Achse für die Zeit in Stunden und die y-Achse für die Strecke in Kilometern.
Example: Nach einer halben Stunde passiert der Zug Augsburg (10 km zurückgelegt), und nach eineinhalb Stunden erreicht er München (80 km zurückgelegt).
Die mittlere Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke Augsburg-München wird durch die Berechnung der Sekantensteigung ermittelt:
Highlight: Die berechnete mittlere Geschwindigkeit von 70 km/h entspricht der durchschnittlichen Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke zwischen Augsburg und München.
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Die vierte Seite führt das Konzept der lokalen Änderungsrate ein und erläutert den Zusammenhang zum Differentialquotienten. Es wird erklärt, dass die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle x₀ bei zeitlichen Vorgängen auch als momentane Änderungsrate bezeichnet wird.
Definition: Die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle x₀ entspricht der Steigung der Tangente an diesem Punkt.
Die Tangente wird als Gerade definiert, die im Punkt P(x₀, f(x₀)) die Steigung der Funktion f annimmt. Es wird betont, dass eine Tangente den Graphen berühren oder durchsetzen kann und in anderen Punkten auch als Sekante fungieren kann.
Vocabulary: Der Differentialquotient f'(x₀) wird als Grenzwert des Differenzenquotienten für x → x₀ definiert: f'(x₀) = lim / x→x₀
Der Differentialquotient, auch als Ableitung bezeichnet, beschreibt die lokale oder momentane Änderungsrate der Funktion an der Stelle x₀. Bei einer Funktion, die eine Wegstrecke in Abhängigkeit der Zeit beschreibt, gibt der Differentialquotient die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt x₀ an.
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Die erste Seite führt in die grundlegenden Konzepte der mittleren Änderungsrate und des Grenzwerts des Differenzenquotienten ein. Es wird erklärt, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer bestimmten Stelle a darstellt.
Der Differenzenquotient wird als / definiert und beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Funktionsgraphen. Diese Formel ist fundamental für das Verständnis der Änderungsrate und bildet die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Differentialrechnung.
Definition: Der Differenzenquotient / beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion f.
Eine grafische Darstellung auf der Seite veranschaulicht diese Konzepte. Sie zeigt einen Funktionsgraphen f(x) mit einer Sekante, die den Graphen in zwei Punkten schneidet. Diese visuelle Repräsentation hilft, die abstrakte mathematische Idee greifbarer zu machen.
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Erfahren Sie, wie Sie die mittlere Änderungsrate (Steigung der Sekante) einer Funktion berechnen. Diese Zusammenfassung behandelt die Formel, die Anwendung auf verschiedene Intervalle und Beispiele zur Veranschaulichung. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialquotienten vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man die mittlere Änderungsrate einer Funktion berechnet, indem Sie den Differenzenquotienten verwenden. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Berechnung der Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf einem Graphen, einschließlich der Anwendung der Formel m = (f(b) - f(a)) / (b - a). Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
MatheErfahren Sie, wie der Differenzenquotient zur Berechnung der Steigung einer Funktion verwendet wird. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung des Konzepts, eine anschauliche Skizze und eine Schritt-für-Schritt-Beispielrechnung zur Veranschaulichung der Anwendung. Ideal für Studierende, die die Grundlagen der Differentialrechnung verstehen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Differentialrechnung mit Fokus auf Ableitungen, Sekantenanstiege und Wendepunkte. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Extrempunkten, die Analyse des Graphen und die Anwendung der Ableitungen in verschiedenen Intervallen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Anwendung des Newton Verfahrens zur Nullstellenbestimmung in dieser Präsentation. Erfahren Sie mehr über die mathematische Herleitung, die Iterationsformel und praktische Beispiele zur Lösung von Gleichungen. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Enthält wichtige Informationen zu Isaac Newton und seinen Beiträgen zur Mathematik.
MatheDiese Ausarbeitung behandelt das Newton Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen. Sie umfasst die Idee, Anwendung und Herleitung des Verfahrens sowie ein praktisches Beispiel zur Nullstellenbestimmung. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Wichtige Konzepte: Gleichungen, Ableitungen, Nullstellen.
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Anna
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
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Sudenaz Ocak
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