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Die lokale/durchschnittliche Änderungsrate
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Die Durchschnittliche Änderungsrate Der Grenzwert des Differenzenquotienten =die lokale Änderungsrate der Funktion f an der Stelle a Der Differenzenquotient ist dann gegeben durch: f(b)-f(a) b-a Funktion: und beschreibt die Steigung der Sekante. f(b) f(a) A a f(x) B b Sekante X Du hast also eine Funktion f(x) und eine Sekante gegeben, die den Graphen in zwei Punkten A und B schneidet. Dein Ziel ist es die Steigung dieser Sekante zu f(b) f(a) y a Ax=b-a f(x) bestimmen. Dafür zeichnest du ein sogenanntes Steigungsdreieck unterhalb der Sekante ein. Für deren Steigung musst du nun die Höhe des Dreiecks Ay durch die Länge des Dreiecks Ax teilen, das heißt m = Ax Ay Beispiel 1 f(x) = x² + x B Für die Höhe siehst du dir den y-Abschnitt des Dreiecks an. Da die Ecken des Dreiecks auf den Punkten A und B liegen, berechnest du ihn folgendermaßen: b Ay=f(b)-f(a) Das Gleiche machst du auch für die Länge beziehungsweise den x-Abschnitt des Dreiecks und erhältst so: m = Sekante Nun setzt du deine Ergebnisse in die Formel des Steigungsdreiecks ein und bekommst damit die Definition des Differenzenquotient, auch mittlere Änderungsrate genannt: f(b)-f(a) b-a f(b)-f(a) b-a 80 V= = 10 V= = = = Beispiel 2 Angenommen du fährst mit dem Zug in den Urlaub und die Funktion f(x) beschreibt den Weg, den du während deiner Fahrt zurückgelegt hast. Das heißt auf der x-Achse des Koordinatensystems wird die Zeit in Stunden und auf der y-Achse die Strecke in Kilometern aufgetragen. Strecke in km A f(11)-f(3) 11-3 11²+11 (32+3) Nach einer halben Stunde fährst du an Augsburg vorbei. Bis hierhin hast du bereits eine...
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Alternativer Bildtext:
Strecke von 10km zurückgelegt. Es gilt also: f(0,5) = 10. Nach insgesamt eineinhalb Stunden kannst du München sehen. Der Zug ist bis jetzt 80km gefahren, was bedeutet: f(1,5) = 80. 0,5 132-12 8 15. ƒ(1,5)-f(0,5) 1,5-0,5 8 A(0,5;10) 1 f(x) Nun möchtest du gerne die mittlere Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke Augsburg-München wissen und zeichnest eine Sekante mit den Schnittpunkten A(0,5; 10) und B(1,5; 80) ein. M(1,5;80) Für die Geschwindigkeit rechnest du nun Strecke durch Zeit: Ay 1,5 Das heißt, du berechnest die Steigung der Sekante, also das eingezeichnete Steigungsdreieck, aus, nämlich: Zeit in h → = 80-10 -70. Auf der Strecke zwischen Augsburg und München hatte der Zug somit eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 70km/h. Die Lokale Änderungsrate 0 Die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle xo .Geht es um zeitliche Vorgänge→momentane Änderungsrate. ABLEITUNG - STEIGUNG IN EINEM PUNKT Tangente: Die Gerade, die im Punkt P (Xfx) die Steigung der Funktion f in P,( bzw an der Stelle xo) annimmt. Eine Tangente kann den Graphen berühren oder durchsetzen; in anderen Punkten auch Sekanten. Man sagt auch: Die Steigung der Tangente ist die Ableitung der Funktion f an der Stelle x 0. Der Differenzenquotient lässt sich als mittlere Änderungsrate der Funktion ♬ auf dem Intervall [0; interpretieren. Beschreibt die Funktion beispielsweise eine zurückgelegte Wegstrecke f (x) in Abhängigkeit der Zeit x, so stellt der Differenzenquotient die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten ¹0 und x dar. Der Differentialquotient f'(o) an der Stelle o ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für →→ Io: f'(xo) = lim f(x)-f(xo) I-IO I→IO Differentialquotient Er wird auch als Ableitung bezeichnet und beschreibt also die lokale Änderungsrate (bzw. momentane Änderungsrate) der Funktion an der Stellex. Für eine Funktion, die eine zurückgelegte Wegstrecke f (x) in Abhängigkeit der Zeit beschreibt, gibt der Differentialquotient die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt o an. Dies geht einher mit der Vorstellung des Grenzübergangs des Differenzenquotienten. Der Differenzenquotient gibt nämlich die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem betrachteten Intervall an und der Grenzübergang bedeutet nichts anderes als dass dieses Intervall immer weiter verkleinert wird.