Mittlere und Lokale Änderungsrate: Beispiele, Aufgaben und Berechnungen

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Kiras

2.3.2021

Mathe

Die lokale/durchschnittliche Änderungsrate

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Differentialrechnung anwendung

Sekante

Mittlere und Lokale Änderungsrate: Beispiele, Aufgaben und Berechnungen

Die mittlere Änderungsrate, lokale Änderungsrate und momentane Änderungsrate sind zentrale Konzepte in der Differentialrechnung. Diese Begriffe beschreiben, wie sich eine Funktion an bestimmten Stellen oder über Intervalle hinweg verändert. Der Differenzenquotient spielt dabei eine Schlüsselrolle, indem er die durchschnittliche Änderung einer Funktion zwischen zwei Punkten angibt. Die lokale Änderungsrate, auch als Ableitung bekannt, wird durch den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt und gibt Aufschluss über das Verhalten der Funktion an einem spezifischen Punkt.

Der Differenzenquotient berechnet die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten.
Die lokale Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt.
Bei zeitabhängigen Funktionen spricht man von der momentanen Änderungsrate.
Die Ableitung einer Funktion kann graphisch als Steigung der Tangente dargestellt werden.
Praktische Anwendungen finden sich in der Berechnung von Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeiten.

2.3.2021

Die Durchschnittliche Änderungsrate
Der Grenzwert des Differenzenquotienten
=die lokale Änderungsrate der Funktion f an der Stelle
a
Der Dif

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Berechnung der Steigung einer Sekante

Die zweite Seite vertieft das Konzept der Sekantensteigung und führt das Steigungsdreieck als praktisches Werkzeug zur Berechnung ein. Es wird erklärt, wie man die Steigung einer Sekante bestimmt, die den Graphen einer Funktion f $x$ in zwei Punkten A und B schneidet.

Das Steigungsdreieck wird als geometrisches Hilfsmittel eingeführt, um die Steigung zu berechnen. Die Formel für die Steigung m = Δy/Δx wird hergeleitet, wobei Δy die Höhe und Δx die Länge des Steigungsdreiecks repräsentieren.

Example: Für eine Funktion f $x$ = x² + x wird gezeigt, wie man das Steigungsdreieck konstruiert und die Steigung berechnet.

Die Seite führt schrittweise durch den Prozess der Berechnung:

Bestimmung der Höhe des Dreiecks: Δy = f $b$ - f $a$
Berechnung der Länge des Dreiecks: Δx = b - a
Einsetzen in die Steigungsformel: m = $f(b$ - f $a$ ) / $b - a$

Definition: Die Formel $f(b$ - f $a$ ) / $b - a$ wird als Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate bezeichnet.

Diese Herleitung zeigt, wie geometrische Konzepte $Steigungsdreieck$ mit algebraischen Formeln $Differenzenquotient$ verknüpft sind, was für das tiefere Verständnis der lokalen Änderungsrate und ihrer Berechnung wesentlich ist.

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Praktische Anwendung der Mittleren Änderungsrate

Die dritte Seite präsentiert ein anschauliches Beispiel zur Anwendung der mittleren Änderungsrate im Kontext einer Zugfahrt. Dieses Beispiel verdeutlicht, wie mathematische Konzepte in realen Situationen angewendet werden können.

In diesem Szenario beschreibt eine Funktion f $x$ den zurückgelegten Weg eines Zuges in Abhängigkeit von der Zeit. Das Koordinatensystem verwendet die x-Achse für die Zeit in Stunden und die y-Achse für die Strecke in Kilometern.

Example: Nach einer halben Stunde passiert der Zug Augsburg $10 km zurückgelegt$ , und nach eineinhalb Stunden erreicht er München $80 km zurückgelegt$ .

Die mittlere Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke Augsburg-München wird durch die Berechnung der Sekantensteigung ermittelt:

Schnittpunkte der Sekante: A $0,5; 10$ und B $1,5; 80$
Anwendung der Formel für die mittlere Änderungsrate: $f(1,5$ - f $0,5$ ) / $1,5 - 0,5$
Einsetzen der Werte: $80 - 10$ / $1,5 - 0,5$ = 70 / 1 = 70

Highlight: Die berechnete mittlere Geschwindigkeit von 70 km/h entspricht der durchschnittlichen Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke zwischen Augsburg und München.

Dieses Beispiel zeigt eindrucksvoll, wie die mittlere Änderungsrate zur Berechnung von Durchschnittsgeschwindigkeiten verwendet werden kann, was eine wichtige Anwendung in der Physik und im täglichen Leben darstellt.

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Die Lokale Änderungsrate und der Differentialquotient

Die vierte Seite führt das Konzept der lokalen Änderungsrate ein und erläutert den Zusammenhang zum Differentialquotienten. Es wird erklärt, dass die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle x₀ bei zeitlichen Vorgängen auch als momentane Änderungsrate bezeichnet wird.

Definition: Die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle x₀ entspricht der Steigung der Tangente an diesem Punkt.

Die Tangente wird als Gerade definiert, die im Punkt P $x₀, f(x₀$ ) die Steigung der Funktion f annimmt. Es wird betont, dass eine Tangente den Graphen berühren oder durchsetzen kann und in anderen Punkten auch als Sekante fungieren kann.

Vocabulary: Der Differentialquotient f' $x₀$ wird als Grenzwert des Differenzenquotienten für x → x₀ definiert: f' $x₀$ = lim $f(x$ - f $x₀$ ) / $x - x₀$ x→x₀

Der Differentialquotient, auch als Ableitung bezeichnet, beschreibt die lokale oder momentane Änderungsrate der Funktion an der Stelle x₀. Bei einer Funktion, die eine Wegstrecke in Abhängigkeit der Zeit beschreibt, gibt der Differentialquotient die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt x₀ an.

Highlight: Der Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten kann als Verkleinerung des betrachteten Intervalls verstanden werden, bis es sich auf einen Punkt reduziert.

Diese Seite verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der mittleren Änderungsrate $Differenzenquotient$ und der lokalen Änderungsrate $Differentialquotient$ und zeigt, wie diese Konzepte in der Praxis, beispielsweise bei der Berechnung von Geschwindigkeiten, angewendet werden können.

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•

790

•

2. März 2021

•

4 Seiten

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@kira_jhrt

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Berechnung der Steigung einer Sekante

Example: Für eine Funktion f $x$ = x² + x wird gezeigt, wie man das Steigungsdreieck konstruiert und die Steigung berechnet.

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Berechnung der Länge des Dreiecks: Δx = b - a
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Praktische Anwendung der Mittleren Änderungsrate

Example: Nach einer halben Stunde passiert der Zug Augsburg $10 km zurückgelegt$ , und nach eineinhalb Stunden erreicht er München $80 km zurückgelegt$ .

Die mittlere Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke Augsburg-München wird durch die Berechnung der Sekantensteigung ermittelt:

Schnittpunkte der Sekante: A $0,5; 10$ und B $1,5; 80$
Anwendung der Formel für die mittlere Änderungsrate: $f(1,5$ - f $0,5$ ) / $1,5 - 0,5$
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Highlight: Die berechnete mittlere Geschwindigkeit von 70 km/h entspricht der durchschnittlichen Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke zwischen Augsburg und München.

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Die Lokale Änderungsrate und der Differentialquotient

Definition: Die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle x₀ entspricht der Steigung der Tangente an diesem Punkt.

Vocabulary: Der Differentialquotient f' $x₀$ wird als Grenzwert des Differenzenquotienten für x → x₀ definiert: f' $x₀$ = lim $f(x$ - f $x₀$ ) / $x - x₀$ x→x₀

Highlight: Der Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten kann als Verkleinerung des betrachteten Intervalls verstanden werden, bis es sich auf einen Punkt reduziert.

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Die Durchschnittliche Änderungsrate und der Grenzwert des Differenzenquotienten

Die erste Seite führt in die grundlegenden Konzepte der mittleren Änderungsrate und des Grenzwerts des Differenzenquotienten ein. Es wird erklärt, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten die lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer bestimmten Stelle a darstellt.

Der Differenzenquotient wird als $f(b$ -f $a$ )/ $b-a$ definiert und beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Funktionsgraphen. Diese Formel ist fundamental für das Verständnis der Änderungsrate und bildet die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Differentialrechnung.

Definition: Der Differenzenquotient $f(b$ -f $a$ )/ $b-a$ beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion f.

Eine grafische Darstellung auf der Seite veranschaulicht diese Konzepte. Sie zeigt einen Funktionsgraphen f $x$ mit einer Sekante, die den Graphen in zwei Punkten schneidet. Diese visuelle Repräsentation hilft, die abstrakte mathematische Idee greifbarer zu machen.

Highlight: Die graphische Darstellung der Sekante und des Funktionsgraphen ist entscheidend für das intuitive Verständnis des Differenzenquotienten und der Änderungsrate.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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