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Kay
@kayx0
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Die Laplace-Verteilung und andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden in diesem Dokument ausführlich erklärt. Es behandelt Zufallsgrößen, ihre Definition und Darstellung sowie verschiedene Verteilungen wie die Laplace-Verteilung und die Binomialverteilung. Besonderer Fokus liegt auf der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und dem Erwartungswert diskreter Zufallsvariablen.
9.11.2022
12834
Dieses Kapitel behandelt die Binomialverteilung und die Bernoulli-Formel, die für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei wiederholten unabhängigen Versuchen verwendet werden.
Definition: Sei A ein Ereignis eines Zufallsexperiments, welches n-mal hintereinander ausgeführt wird, und sei p = P(A) dabei stets gleichbleibend. X sei eine Zufallsgröße, die zählt, wie oft A eingetreten ist. Dann gilt für die Binomialverteilung:
P(X = k) = (n k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Diese Formel wird auch als Bernoulli-Formel bezeichnet.
Beispiel: Ein Würfel wird 3-mal hintereinander geworfen. A sei das Ereignis "Es wird eine 5 oder 6 geworfen". X sei die Zufallsgröße, die angibt, wie oft A eintritt.
Highlight: Die Binomialverteilung ist besonders nützlich für Bernoull-Experimente, bei denen nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer/Niete) eintreten können und sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.
Die Laplace-Verteilung Wahrscheinlichkeit und der Erwartungswert diskreter Zufallsvariablen sind wichtige Konzepte in der Wahrscheinlichkeitstheorie und finden in vielen praktischen Anwendungen Verwendung.
Eine Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die möglichen Werte angenommen werden.
Definition: Eine Funktion X: Ω → ℝ nennen wir Zufallsgröße, wobei Ω die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments ist.
Beispiel: Bei einem Wurf mit zwei sechsseitigen Würfeln ordnet die Zufallsgröße X jedem Ergebnis die Summe der gewürfelten Augenzahlen zu.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann tabellarisch oder als Stabdiagramm dargestellt werden. Für verschiedene Ereignisse wie X < n, X ≤ n, X > n usw. lassen sich die Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Highlight: Die Laplace-Formel ist besonders nützlich bei Experimenten mit gleichwahrscheinlichen Ergebnissen.
Dieses Kapitel erläutert den Unterschied zwischen Zufallsgrößen und ihren Realisierungen sowie typische Fragestellungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Vocabulary:
- X: Zufallsgröße (keine konkrete Beobachtung)
- k: Realisierung (konkrete Ergebnisse nach dem Experiment)
Typische Fragestellungen umfassen die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer, höchstens k Treffer, weniger als k Treffer, mindestens k Treffer und mehr als k Treffer.
Beispiel: Bei einem dreifachen Münzwurf ordnet die Zufallsgröße X jedem Ergebnis die Anzahl an Wappen zu, was zu vier möglichen Ereignissen führt: X = 0, X = 1, X = 2, X = 3.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ordnet jedem Wert k die Wahrscheinlichkeit P(X = k) zu, wobei die Summe aller Wahrscheinlichkeiten exakt 1 ergibt.
Definition: Eine Zufallsgröße X ist Laplace-verteilt, wenn für alle n, m ∈ ℝ mit X = n ≠ ∅ und X = m ≠ ∅ gilt: P(X = n) = P(X = m).
66
1927
11/12
Stochrastik bzw. Wahrscheinlichkeitsrechnung (Matheabi 23)
Zusammenfassung Stochrastik Mathe LK Abi 23 (Grundlagen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Kombinatorik, Binomialverteilung, Streuungsmaße, einseitiger und zweiseitiger Hypothesentest, Fehler beim Testen, Stetige Zufallsgrößen, Normalverteilung)
101
3231
12
Stochastik
- stochastische Grundlagen - mehrstufige Zufallsexperimente - bedingte Wahrscheinlichkeiten - Kombinatorik - Wahrscheinlichkeitsverteilung - Binomiale Zufallsgrößen, Bernoulli-Kette - Normalverteilung - Hypothesentest
58
1807
12/13
Stochastik und beurteilende Statistik
Es handelt sich um eine ausführliche Dokumentation das Semesters 12.2 eines Mathe Leistungskurses. Dabei werde bedingte Wahrscheinlichkeiten, Binomial- und Normalverteilungen, Sigma-Regeln und Konfidenzintervalle behandelt. Note der Klausur: 14P.
38
1144
12/13
Stochastik - Sigma-Umgebung
Sigma-Umgebung des Erwartungswertes, Laplace-Bedingung, signifikante und hochsignifikante Abweichung
602
16024
12/13
Stochastik
Mathe LK Abi Lernzettel
151
4752
11/10
Erwartungswert Binomialverteilung, Histogramm
Überblick zum Erwartungswert einer Binomialverteilung; Histogramm
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Kay
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Die Laplace-Verteilung und andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden in diesem Dokument ausführlich erklärt. Es behandelt Zufallsgrößen, ihre Definition und Darstellung sowie verschiedene Verteilungen wie die Laplace-Verteilung und die Binomialverteilung. Besonderer Fokus liegt auf der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und dem Erwartungswert diskreter Zufallsvariablen.
Dieses Kapitel behandelt die Binomialverteilung und die Bernoulli-Formel, die für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei wiederholten unabhängigen Versuchen verwendet werden.
Definition: Sei A ein Ereignis eines Zufallsexperiments, welches n-mal hintereinander ausgeführt wird, und sei p = P(A) dabei stets gleichbleibend. X sei eine Zufallsgröße, die zählt, wie oft A eingetreten ist. Dann gilt für die Binomialverteilung:
P(X = k) = (n k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Diese Formel wird auch als Bernoulli-Formel bezeichnet.
Beispiel: Ein Würfel wird 3-mal hintereinander geworfen. A sei das Ereignis "Es wird eine 5 oder 6 geworfen". X sei die Zufallsgröße, die angibt, wie oft A eintritt.
Highlight: Die Binomialverteilung ist besonders nützlich für Bernoull-Experimente, bei denen nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer/Niete) eintreten können und sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.
Die Laplace-Verteilung Wahrscheinlichkeit und der Erwartungswert diskreter Zufallsvariablen sind wichtige Konzepte in der Wahrscheinlichkeitstheorie und finden in vielen praktischen Anwendungen Verwendung.
Eine Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die möglichen Werte angenommen werden.
Definition: Eine Funktion X: Ω → ℝ nennen wir Zufallsgröße, wobei Ω die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments ist.
Beispiel: Bei einem Wurf mit zwei sechsseitigen Würfeln ordnet die Zufallsgröße X jedem Ergebnis die Summe der gewürfelten Augenzahlen zu.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann tabellarisch oder als Stabdiagramm dargestellt werden. Für verschiedene Ereignisse wie X < n, X ≤ n, X > n usw. lassen sich die Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Highlight: Die Laplace-Formel ist besonders nützlich bei Experimenten mit gleichwahrscheinlichen Ergebnissen.
Dieses Kapitel erläutert den Unterschied zwischen Zufallsgrößen und ihren Realisierungen sowie typische Fragestellungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Vocabulary:
- X: Zufallsgröße (keine konkrete Beobachtung)
- k: Realisierung (konkrete Ergebnisse nach dem Experiment)
Typische Fragestellungen umfassen die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer, höchstens k Treffer, weniger als k Treffer, mindestens k Treffer und mehr als k Treffer.
Beispiel: Bei einem dreifachen Münzwurf ordnet die Zufallsgröße X jedem Ergebnis die Anzahl an Wappen zu, was zu vier möglichen Ereignissen führt: X = 0, X = 1, X = 2, X = 3.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ordnet jedem Wert k die Wahrscheinlichkeit P(X = k) zu, wobei die Summe aller Wahrscheinlichkeiten exakt 1 ergibt.
Definition: Eine Zufallsgröße X ist Laplace-verteilt, wenn für alle n, m ∈ ℝ mit X = n ≠ ∅ und X = m ≠ ∅ gilt: P(X = n) = P(X = m).
Mathe - Stochrastik bzw. Wahrscheinlichkeitsrechnung (Matheabi 23)
Zusammenfassung Stochrastik Mathe LK Abi 23 (Grundlagen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Kombinatorik, Binomialverteilung, Streuungsmaße, einseitiger und zweiseitiger Hypothesentest, Fehler beim Testen, Stetige Zufallsgrößen, Normalverteilung)
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Überblick zum Erwartungswert einer Binomialverteilung; Histogramm
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