Verschiebung, Streckung und Stauchung von E-Funktionen

Die Manipulation von E-Funktionen durch Verschiebung, Streckung und Stauchung ermöglicht es, eine Vielzahl von Kurvenformen zu erzeugen. Diese Transformationen sind wesentlich für die Modellierung realer Phänomene und die Lösung komplexer mathematischer Probleme.

Verschiebung in y-Richtung: Eine Verschiebung in y-Richtung wird durch Addition oder Subtraktion einer Konstante erreicht. Zum Beispiel verschiebt f(x) = e^x + 1 die Funktion um eine Einheit nach oben.

Example: f(x) = e^(x-2) + 3 verschiebt die E-Funktion um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben.

Streckung und Stauchung: Die Streckung oder Stauchung einer E-Funktion wird durch Multiplikation des Exponenten mit einem Faktor erreicht.

Highlight: Eine Streckung in y-Richtung erfolgt durch f(x) = a·e^x mit a > 1, während eine Stauchung durch 0 < a < 1 erreicht wird.

In x-Richtung bewirkt f(x) = e^(ax) mit |a| > 1 eine Stauchung und mit 0 < |a| < 1 eine Streckung.

Ableiten von E-Funktionen: Das Ableiten von E-Funktionen folgt speziellen Regeln, insbesondere bei verketteten Funktionen:

Definition: Die Ableitung der Grundfunktion f(x) = e^x ist f'(x) = e^x.

Bei verketteten Funktionen kommt die Kettenregel zur Anwendung: Für f(x) = e^u(x) gilt f'(x) = e^u(x) · u'(x).

Example: Für f(x) = e^(2x) ergibt sich f'(x) = 2e^(2x).

Diese Transformationen und Ableitungsregeln sind essentiell für das Verständnis und die Anwendung von E-Funktionen in der Analysis und in praktischen Anwendungen.