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Neiynao
25.11.2025
Mathe
Ebenen
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25. Nov. 2025
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Neiynao
@neiynao
Ebenen sind eine der wichtigsten Themen in der 3D-Geometrie -... Mehr anzeigen
Ebenen sind unbegrenzte, flache Flächen im Raum, die du dir wie ein unendlich grosses Blatt Papier vorstellen kannst. Du kannst sie auf drei verschiedene Arten mathematisch beschreiben.
Die Parameterform ist oft am einfachsten zu verstehen: E: x⃗ = a⃗ + r·b⃗ + s·c⃗. Hier ist a⃗ dein Stützvektor (ein fester Punkt auf der Ebene), während b⃗ und c⃗ die Spannvektoren sind, die die Richtungen der Ebene bestimmen. Die Parameter r und s können beliebige reelle Zahlen sein.
💡 Wichtig: Die beiden Spannvektoren dürfen nicht kollinear (parallel) sein - sonst erhältst du nur eine Gerade statt einer Ebene!
Um eine Ebenengleichung aufzustellen, brauchst du verschiedene Ausgangssituationen. Bei drei gegebenen Punkten wählst du einen als Stützvektor und bildest die Spannvektoren zu den anderen beiden Punkten. Bei einem Punkt und einer Geraden übernimmst du den Stützvektor der Geraden und ergänzt einen Vektor zum gegebenen Punkt.
Manchmal musst du zwischen den verschiedenen Ebenenformen wechseln - das ist wie das Übersetzen zwischen verschiedenen Sprachen für dieselbe Ebene.
Von der Parameterform zur Normalenform gehst du so vor: Bilde zuerst den Normalenvektor n⃗ durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren . Dann setzt du alles in die Form E: · n⃗ = 0 ein.
💡 Tipp: Das Kreuzprodukt berechnest du komponentenweise - es steht senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren!
Für die Koordinatenform E: ax + by + cz = d gehst du ähnlich vor. Nach der Berechnung des Normalenvektors stellst du die Koordinatenform auf und setzt den Stützvektor ein, um den Wert d zu bestimmen. So erhältst du eine kompakte Gleichung ohne Parameter.
Die Umwandlung von der Normalenform zur Koordinatenform ist besonders einfach: Die Koordinaten des Normalenvektors werden direkt zu den Koeffizienten a, b und c in der Koordinatenform.
Schwieriger wird es beim Weg von der Koordinatenform zurück zur Parameterform. Hier stellst du die Gleichung nach einer Koordinate um (meist x) und ersetzt die anderen beiden durch Parameter r und s. Dann setzt du alles in die Parameterform ein.
💡 Merkhilfe: Bei der Rückumwandlung entstehen die Spannvektoren aus den Koeffizienten der Parameter in der umgestellten Gleichung.
Ein praktisches Beispiel: Aus 2x + 4y - 3z = 12 wird x = 6 - 2r + (3/2)s, wenn du y = r und z = s setzt. Der Stützvektor wird dann (6|0|0) und die Spannvektoren (-2|1|0) und (3/2|0|1).
Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen - sie helfen dir, die Ebene im Raum zu visualisieren. Du findest sie, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt.
Für den Spurpunkt auf der x-Achse setzt du y = 0 und z = 0, dann löst du nach x auf. Genauso funktioniert es für die anderen Achsen. Die Spurpunkte haben immer die Form Sx(x|0|0), Sy(0|y|0) und Sz(0|0|z).
💡 Clever: Mit der Achsenabschnittsgleichung x/a + y/b + z/c = 1 kannst du die Spurpunkte direkt ablesen!
Ein Beispiel macht es klar: Aus 4x + 3y + 6z = 36 wird durch Division durch 36 die Form x/9 + y/12 + z/4 = 1. Die Spurpunkte sind dann sofort erkennbar: Sx(9|0|0), Sy(0|12|0) und Sz(0|0|6).
Spurgeraden sind die Schnittlinien einer Ebene mit den Koordinatenebenen - sie entstehen, wenn zwei Spurpunkte miteinander verbunden werden. Diese Geraden zeigen dir genau, wie die Ebene durch die verschiedenen Koordinatenebenen verläuft.
Um eine Spurgerade zu finden, verbindest du einfach zwei Spurpunkte mit einer Geradengleichung. Die Spurgerade in der xy-Ebene entsteht durch die Spurpunkte Sx und Sy, die in der xz-Ebene durch Sx und Sz, und so weiter.
💡 Visualisierung: Spurgeraden helfen dir enorm beim Zeichnen von Ebenen - sie sind wie die "Kanten" der Ebene in den Koordinatenebenen.
Bei unserem Beispiel mit den Spurpunkten Sx(9|0|0), Sy(0|12|0) und Sz(0|0|6) entstehen drei Spurgeraden. Die Gerade in der xy-Ebene hat die Gleichung g₁: x⃗ = (9|0|0) + r·(-9|12|0). So erhältst du ein vollständiges Bild der Ebene im Raum.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Neiynao
@neiynao
Ebenen sind eine der wichtigsten Themen in der 3D-Geometrie - du kennst sie bereits aus dem Alltag als flache Oberflächen wie Tischplatten oder Wände. In der Mathematik können wir Ebenen auf verschiedene Arten beschreiben und zwischen diesen Formen umwandeln.
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Ebenen sind unbegrenzte, flache Flächen im Raum, die du dir wie ein unendlich grosses Blatt Papier vorstellen kannst. Du kannst sie auf drei verschiedene Arten mathematisch beschreiben.
Die Parameterform ist oft am einfachsten zu verstehen: E: x⃗ = a⃗ + r·b⃗ + s·c⃗. Hier ist a⃗ dein Stützvektor (ein fester Punkt auf der Ebene), während b⃗ und c⃗ die Spannvektoren sind, die die Richtungen der Ebene bestimmen. Die Parameter r und s können beliebige reelle Zahlen sein.
💡 Wichtig: Die beiden Spannvektoren dürfen nicht kollinear (parallel) sein - sonst erhältst du nur eine Gerade statt einer Ebene!
Um eine Ebenengleichung aufzustellen, brauchst du verschiedene Ausgangssituationen. Bei drei gegebenen Punkten wählst du einen als Stützvektor und bildest die Spannvektoren zu den anderen beiden Punkten. Bei einem Punkt und einer Geraden übernimmst du den Stützvektor der Geraden und ergänzt einen Vektor zum gegebenen Punkt.
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Manchmal musst du zwischen den verschiedenen Ebenenformen wechseln - das ist wie das Übersetzen zwischen verschiedenen Sprachen für dieselbe Ebene.
Von der Parameterform zur Normalenform gehst du so vor: Bilde zuerst den Normalenvektor n⃗ durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren . Dann setzt du alles in die Form E: · n⃗ = 0 ein.
💡 Tipp: Das Kreuzprodukt berechnest du komponentenweise - es steht senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren!
Für die Koordinatenform E: ax + by + cz = d gehst du ähnlich vor. Nach der Berechnung des Normalenvektors stellst du die Koordinatenform auf und setzt den Stützvektor ein, um den Wert d zu bestimmen. So erhältst du eine kompakte Gleichung ohne Parameter.
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Die Umwandlung von der Normalenform zur Koordinatenform ist besonders einfach: Die Koordinaten des Normalenvektors werden direkt zu den Koeffizienten a, b und c in der Koordinatenform.
Schwieriger wird es beim Weg von der Koordinatenform zurück zur Parameterform. Hier stellst du die Gleichung nach einer Koordinate um (meist x) und ersetzt die anderen beiden durch Parameter r und s. Dann setzt du alles in die Parameterform ein.
💡 Merkhilfe: Bei der Rückumwandlung entstehen die Spannvektoren aus den Koeffizienten der Parameter in der umgestellten Gleichung.
Ein praktisches Beispiel: Aus 2x + 4y - 3z = 12 wird x = 6 - 2r + (3/2)s, wenn du y = r und z = s setzt. Der Stützvektor wird dann (6|0|0) und die Spannvektoren (-2|1|0) und (3/2|0|1).
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Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen - sie helfen dir, die Ebene im Raum zu visualisieren. Du findest sie, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt.
Für den Spurpunkt auf der x-Achse setzt du y = 0 und z = 0, dann löst du nach x auf. Genauso funktioniert es für die anderen Achsen. Die Spurpunkte haben immer die Form Sx(x|0|0), Sy(0|y|0) und Sz(0|0|z).
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Spurgeraden sind die Schnittlinien einer Ebene mit den Koordinatenebenen - sie entstehen, wenn zwei Spurpunkte miteinander verbunden werden. Diese Geraden zeigen dir genau, wie die Ebene durch die verschiedenen Koordinatenebenen verläuft.
Um eine Spurgerade zu finden, verbindest du einfach zwei Spurpunkte mit einer Geradengleichung. Die Spurgerade in der xy-Ebene entsteht durch die Spurpunkte Sx und Sy, die in der xz-Ebene durch Sx und Sz, und so weiter.
💡 Visualisierung: Spurgeraden helfen dir enorm beim Zeichnen von Ebenen - sie sind wie die "Kanten" der Ebene in den Koordinatenebenen.
Bei unserem Beispiel mit den Spurpunkten Sx(9|0|0), Sy(0|12|0) und Sz(0|0|6) entstehen drei Spurgeraden. Die Gerade in der xy-Ebene hat die Gleichung g₁: x⃗ = (9|0|0) + r·(-9|12|0). So erhältst du ein vollständiges Bild der Ebene im Raum.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Vektoren, die Bestimmung von Ebenen im Raum und die Anwendung von linearen Gleichungssystemen. Wichtige Themen sind die Orthogonalität von Vektoren, der Abstand von Punkten zu Ebenen, sowie die Berechnung von Winkeln und Volumina in einem prismatischen Kontext. Ideal für Studierende der Multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen, einschließlich der Schnittpunkte, Parallelität und Identität. Erfahren Sie, wie man die Parameterform und Koordinatenform anwendet, um die verschiedenen Fälle zu analysieren und Lösungen zu finden. Ideal für Studierende der Geometrie und analytischen Geometrie.
MatheDieser Lernzettel behandelt zentrale Themen der analytischen Geometrie, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen, Punktproben, Winkelberechnungen und Vektoreigenschaften. Zudem wird die Aufstellung von Exponentialfunktionen und deren Wachstums- und Abnahmeverhalten behandelt. Ideal zur Vorbereitung auf Mathe-Klausuren.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Ebenen in der Geometrie, einschließlich der Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Ebenen, der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen sowie der Orthogonalität. Ideal für Schüler der gymnasialen Oberstufe (LK Q2).
MatheEntdecken Sie Aufgaben zur analytischen Geometrie, die sich mit der Lage von Linien und Ebenen, dem Abstand zwischen Punkten und der Aufstellung von Gleichungen befassen. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren, inklusive Lösungen und Erklärungen zu den Hesse-Normalform, Koordinatengleichungen und mehr.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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