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parametrische Gleichungen

Mathe5.151Aktualisiert 25. Sept. 20262 Seiten

Parameterform einer Ebene im Raum: Anschaulich erklärt

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Ebenen im dreidimensionalen Raum sind eine der wichtigsten Themen in der Vektorrechnung. Du lernst hier, wie du mit drei Punkten eine Ebenengleichung aufstellst und überprüfst, ob ein bestimmter Punkt auf dieser Ebene liegt.
Ebenen im Raum - Parameterform – Seite 1

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Ebenen im Raum - Parameterform

Eine Ebene in Parameterform beschreibst du mit der Formel: E⃗:x⃗=a⃗+r⋅b⃗+s⋅c⃗\vec{E}: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{b} + s \cdot \vec{c}. Dabei ist a⃗\vec{a} der Stützvektor (Ortsvektor zu einem bekannten Punkt) und b⃗\vec{b} sowie c⃗\vec{c} sind die Spannvektoren, die die Richtung der Ebene bestimmen.

Wenn du drei Punkte A, B und C hast, stellst du die Ebenengleichung so auf: E⃗:x⃗=A⃗+r⋅AB⃗+s⋅AC⃗\vec{E}: \vec{x} = \vec{A} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}. Der Punkt A wird dein Stützvektor, während AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC} deine Spannvektoren sind.

Mit dem Beispiel A(1|2|3), B(0|1|2), C(1|3|4) ergibt sich: E⃗:x⃗=(123)+r⋅(−1−1−1)+s⋅(011)\vec{E}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Merktipp: Die Parameter r und s können alle reellen Zahlen sein - dadurch erreichst du jeden Punkt auf der Ebene!

Ebenen im Raum - Parameterform – Seite 2

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Punktprobe - Liegt ein Punkt in der Ebene?

Die Punktprobe zeigt dir, ob ein bestimmter Punkt auf deiner Ebene liegt. Du setzt den Punkt in die Ebenengleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem.

Beim ersten Beispiel mit Punkt A2∣−1∣32|-1|3 stellst du drei Gleichungen auf und vereinfachst sie. Das System hat keine Lösung L=L = {}, was bedeutet: Der Punkt liegt nicht in der Ebene.

Im zweiten Beispiel mit Punkt B(7|1|8) ergibt die Rechnung eine eindeutige Lösung mit r = 1 und s = 2. Das heißt: Punkt B liegt definitiv in der Ebene, denn du kannst ihn mit diesen Parameterwerten erreichen.

Prüfstrategie: Keine Lösung = Punkt außerhalb der Ebene, eine Lösung = Punkt liegt auf der Ebene!

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