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5. Feb. 2026

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Grundlagen der Ebenen: Ein einfacher Überblick

S

Smilla

@smilla_uwdm

Die Welt der Ebenen im 3D-Raum wird dein Verständnis für... Mehr anzeigen

# Ebenen

Abstand zweier Punkte:
$A(a_1|a_2|a_3); B(b_1|b_2|b_3)$
$AB = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

Mittelpunkt zweier

Grundlagen von Ebenen und Vektoren

Stell dir vor, du willst den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum berechnen - das ist wie GPS-Navigation in 3D! Die Formel AB=(b1a1)2+(b2a2)2+(b3a3)2AB = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2} funktioniert wie der Satz des Pythagoras, nur in drei Dimensionen.

Bei Lagebeziehungen von Geraden fragst du dich systematisch: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Falls ja, sind die Geraden parallel oder identisch. Falls nein, schneiden sie sich oder sind windschief.

Das Skalarprodukt ist dein bester Freund für Orthogonalität: ab=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 bedeutet, die Vektoren stehen senkrecht zueinander. Diese einfache Regel öffnet dir die Tür zu vielen komplexeren Berechnungen!

Merktipp: Orthogonalität erkennst du immer am Skalarprodukt = 0 - das ist wie ein mathematischer Rechter Winkel-Detektor!

Ebenengleichungen gibt es in drei Formen: Parameterform $\vec{x} = \vec{p} + r\vec{u} + s\vec{v}$, Normalengleichung und Koordinatengleichung. Jede Form hat ihre Stärken - die Parameterform ist super für Punktproben, die Koordinatengleichung perfekt für schnelle Berechnungen.

# Ebenen

Abstand zweier Punkte:
$A(a_1|a_2|a_3); B(b_1|b_2|b_3)$
$AB = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

Mittelpunkt zweier

Lagebeziehungen und Berechnungen

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen zu verstehen ist wie das Lösen eines 3D-Puzzles. Setzt du eine Gerade mit einer Ebene gleich, verrät dir das Gleichungssystem sofort: eine Lösung = Schnittpunkt, keine Lösung = parallel, unendlich viele Lösungen = Gerade liegt in der Ebene.

Bei Ebene-Ebene-Beziehungen schaust du auf die Normalenvektoren. Sind sie kollinear (also Vielfache voneinander), dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Ansonsten schneiden sie sich in einer geraden Linie.

Abstandsberechnungen funktionieren über Lotgeraden - du stellst eine Gerade senkrecht zur Ebene auf und findest den Schnittpunkt. Der Abstand zwischen deinem ursprünglichen Punkt und diesem Lotfußpunkt ist dein gesuchter Abstand.

Praxistipp: Bei Winkelberechnungen zwischen Geraden nutzt du cos(α)=abab\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}, bei Gerade-Ebene-Winkeln aber sin(α)\sin(\alpha)!

Winkelberechnungen unterscheiden sich je nach Objekttyp: Gerade-Gerade und Ebene-Ebene verwenden Kosinus, während Gerade-Ebene-Winkel über Sinus berechnet werden. Das liegt daran, dass du bei Gerade-Ebene den Komplementärwinkel zum Normalenvektor misst.



Wir dachten schon, du fragst nie...

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Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.

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Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Mathe

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Grundlagen der Ebenen: Ein einfacher Überblick

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Grundlagen von Ebenen und Vektoren

Stell dir vor, du willst den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum berechnen - das ist wie GPS-Navigation in 3D! Die Formel AB=(b1a1)2+(b2a2)2+(b3a3)2AB = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2} funktioniert wie der Satz des Pythagoras, nur in drei Dimensionen.

Bei Lagebeziehungen von Geraden fragst du dich systematisch: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Falls ja, sind die Geraden parallel oder identisch. Falls nein, schneiden sie sich oder sind windschief.

Das Skalarprodukt ist dein bester Freund für Orthogonalität: ab=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 bedeutet, die Vektoren stehen senkrecht zueinander. Diese einfache Regel öffnet dir die Tür zu vielen komplexeren Berechnungen!

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# Ebenen

Abstand zweier Punkte:
$A(a_1|a_2|a_3); B(b_1|b_2|b_3)$
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Lagebeziehungen und Berechnungen

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen zu verstehen ist wie das Lösen eines 3D-Puzzles. Setzt du eine Gerade mit einer Ebene gleich, verrät dir das Gleichungssystem sofort: eine Lösung = Schnittpunkt, keine Lösung = parallel, unendlich viele Lösungen = Gerade liegt in der Ebene.

Bei Ebene-Ebene-Beziehungen schaust du auf die Normalenvektoren. Sind sie kollinear (also Vielfache voneinander), dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Ansonsten schneiden sie sich in einer geraden Linie.

Abstandsberechnungen funktionieren über Lotgeraden - du stellst eine Gerade senkrecht zur Ebene auf und findest den Schnittpunkt. Der Abstand zwischen deinem ursprünglichen Punkt und diesem Lotfußpunkt ist dein gesuchter Abstand.

Praxistipp: Bei Winkelberechnungen zwischen Geraden nutzt du cos(α)=abab\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}, bei Gerade-Ebene-Winkeln aber sin(α)\sin(\alpha)!

Winkelberechnungen unterscheiden sich je nach Objekttyp: Gerade-Gerade und Ebene-Ebene verwenden Kosinus, während Gerade-Ebene-Winkel über Sinus berechnet werden. Das liegt daran, dass du bei Gerade-Ebene den Komplementärwinkel zum Normalenvektor misst.

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Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

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