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Grundlagen der Ebenen: Ein einfacher Überblick

18

0

S

Smilla

28.11.2025

Mathe

Ebenen - Grundlagen

Mathematik

Lagebeziehungen von Geraden

Koplanar

472

•

28. Nov. 2025

•

2 Seiten

Grundlagen der Ebenen: Ein einfacher Überblick

S

Smilla

@smilla_uwdm

Die Welt der Ebenen im 3D-Raum wird dein Verständnis für... Mehr anzeigen

Ebenen Abstand zweier Punkte: Alanlala); Blbalb₂lb₂) AB=√(b₁-a₂1² +1b₂-a₂)² + (b₁-a₂) ²² Mittelpunkt zweier Vektoren: Mp (a^+b^|a² tb₂ | as

Grundlagen von Ebenen und Vektoren

Stell dir vor, du willst den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum berechnen - das ist wie GPS-Navigation in 3D! Die Formel AB=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2AB = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2} funktioniert wie der Satz des Pythagoras, nur in drei Dimensionen.

Bei Lagebeziehungen von Geraden fragst du dich systematisch: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Falls ja, sind die Geraden parallel oder identisch. Falls nein, schneiden sie sich oder sind windschief.

Das Skalarprodukt ist dein bester Freund für Orthogonalität: a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 bedeutet, die Vektoren stehen senkrecht zueinander. Diese einfache Regel öffnet dir die Tür zu vielen komplexeren Berechnungen!

Merktipp: Orthogonalität erkennst du immer am Skalarprodukt = 0 - das ist wie ein mathematischer Rechter Winkel-Detektor!

Ebenengleichungen gibt es in drei Formen: Parameterform $\vec{x} = \vec{p} + r\vec{u} + s\vec{v}$, Normalengleichung und Koordinatengleichung. Jede Form hat ihre Stärken - die Parameterform ist super für Punktproben, die Koordinatengleichung perfekt für schnelle Berechnungen.

Ebenen Abstand zweier Punkte: Alanlala); Blbalb₂lb₂) AB=√(b₁-a₂1² +1b₂-a₂)² + (b₁-a₂) ²² Mittelpunkt zweier Vektoren: Mp (a^+b^|a² tb₂ | as

Lagebeziehungen und Berechnungen

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen zu verstehen ist wie das Lösen eines 3D-Puzzles. Setzt du eine Gerade mit einer Ebene gleich, verrät dir das Gleichungssystem sofort: eine Lösung = Schnittpunkt, keine Lösung = parallel, unendlich viele Lösungen = Gerade liegt in der Ebene.

Bei Ebene-Ebene-Beziehungen schaust du auf die Normalenvektoren. Sind sie kollinear (also Vielfache voneinander), dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Ansonsten schneiden sie sich in einer geraden Linie.

Abstandsberechnungen funktionieren über Lotgeraden - du stellst eine Gerade senkrecht zur Ebene auf und findest den Schnittpunkt. Der Abstand zwischen deinem ursprünglichen Punkt und diesem Lotfußpunkt ist dein gesuchter Abstand.

Praxistipp: Bei Winkelberechnungen zwischen Geraden nutzt du cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}, bei Gerade-Ebene-Winkeln aber sin⁡(α)\sin(\alpha)!

Winkelberechnungen unterscheiden sich je nach Objekttyp: Gerade-Gerade und Ebene-Ebene verwenden Kosinus, während Gerade-Ebene-Winkel über Sinus berechnet werden. Das liegt daran, dass du bei Gerade-Ebene den Komplementärwinkel zum Normalenvektor misst.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Mathematik

Lagebeziehungen von Geraden

Koplanar

 

Mathe

•

472

•

28. Nov. 2025

•

2 Seiten

Grundlagen der Ebenen: Ein einfacher Überblick

S

Smilla

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Die Welt der Ebenen im 3D-Raum wird dein Verständnis für analytische Geometrie auf ein neues Level heben! Diese wichtigen Konzepte brauchst du für dein Abitur und sie zeigen dir, wie mathematische Strukturen in drei Dimensionen funktionieren.

Ebenen Abstand zweier Punkte: Alanlala); Blbalb₂lb₂) AB=√(b₁-a₂1² +1b₂-a₂)² + (b₁-a₂) ²² Mittelpunkt zweier Vektoren: Mp (a^+b^|a² tb₂ | as

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Grundlagen von Ebenen und Vektoren

Stell dir vor, du willst den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum berechnen - das ist wie GPS-Navigation in 3D! Die Formel AB=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2AB = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2} funktioniert wie der Satz des Pythagoras, nur in drei Dimensionen.

Bei Lagebeziehungen von Geraden fragst du dich systematisch: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Falls ja, sind die Geraden parallel oder identisch. Falls nein, schneiden sie sich oder sind windschief.

Das Skalarprodukt ist dein bester Freund für Orthogonalität: a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 bedeutet, die Vektoren stehen senkrecht zueinander. Diese einfache Regel öffnet dir die Tür zu vielen komplexeren Berechnungen!

Merktipp: Orthogonalität erkennst du immer am Skalarprodukt = 0 - das ist wie ein mathematischer Rechter Winkel-Detektor!

Ebenengleichungen gibt es in drei Formen: Parameterform $\vec{x} = \vec{p} + r\vec{u} + s\vec{v}$, Normalengleichung und Koordinatengleichung. Jede Form hat ihre Stärken - die Parameterform ist super für Punktproben, die Koordinatengleichung perfekt für schnelle Berechnungen.

Ebenen Abstand zweier Punkte: Alanlala); Blbalb₂lb₂) AB=√(b₁-a₂1² +1b₂-a₂)² + (b₁-a₂) ²² Mittelpunkt zweier Vektoren: Mp (a^+b^|a² tb₂ | as

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Lagebeziehungen und Berechnungen

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen zu verstehen ist wie das Lösen eines 3D-Puzzles. Setzt du eine Gerade mit einer Ebene gleich, verrät dir das Gleichungssystem sofort: eine Lösung = Schnittpunkt, keine Lösung = parallel, unendlich viele Lösungen = Gerade liegt in der Ebene.

Bei Ebene-Ebene-Beziehungen schaust du auf die Normalenvektoren. Sind sie kollinear (also Vielfache voneinander), dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Ansonsten schneiden sie sich in einer geraden Linie.

Abstandsberechnungen funktionieren über Lotgeraden - du stellst eine Gerade senkrecht zur Ebene auf und findest den Schnittpunkt. Der Abstand zwischen deinem ursprünglichen Punkt und diesem Lotfußpunkt ist dein gesuchter Abstand.

Praxistipp: Bei Winkelberechnungen zwischen Geraden nutzt du cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}, bei Gerade-Ebene-Winkeln aber sin⁡(α)\sin(\alpha)!

Winkelberechnungen unterscheiden sich je nach Objekttyp: Gerade-Gerade und Ebene-Ebene verwenden Kosinus, während Gerade-Ebene-Winkel über Sinus berechnet werden. Das liegt daran, dass du bei Gerade-Ebene den Komplementärwinkel zum Normalenvektor misst.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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4.9/5

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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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