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Ebenen Zeichnen Online: Koordinatensystem und Schrägbild

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dream.medstudy

4.3.2021

Mathe

Ebenen veranschaulichen

Ebenen Zeichnen Online: Koordinatensystem und Schrägbild

Ebenen im Koordinatensystem visualisieren und ihre Lage beschreiben

Die Lage von Ebenen im Koordinatensystem lässt sich durch Spurpunkte und Spurgeraden veranschaulichen. Diese Methode ermöglicht es, komplexe dreidimensionale Strukturen in einem zweidimensionalen Koordinatensystem darzustellen.

  • Spurpunkte sind Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen
  • Spurgeraden verbinden die Spurpunkte und bilden die Schnittlinien der Ebene mit den Koordinatenebenen
  • Die Anzahl der Spurpunkte bestimmt die Lage der Ebene im Raum

Highlight: Die Visualisierung von Ebenen ist entscheidend für das räumliche Verständnis in der analytischen Geometrie.

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4.3.2021

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Mathe

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4. März 2021

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Ebenen Zeichnen Online: Koordinatensystem und Schrägbild

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dream.medstudy

@dream.medstudy

Ebenen im Koordinatensystem visualisieren und ihre Lage beschreiben

Die Lage von Ebenen im Koordinatensystem lässt sich durch Spurpunkte und Spurgeraden veranschaulichen. Diese Methode ermöglicht es, komplexe dreidimensionale Strukturen in einem zweidimensionalen Koordinatensystem darzustellen.

  • Spurpunkte sind Schnittpunkte der Ebene mit den... Mehr anzeigen

7. Ebenen veranschaulichen.
Um eine Ebene in einem Koordinatensystem zu veranschaulichen, zeichnet
man einen Ausschnitt der Ebene. Dabei ori

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Ebenen im Koordinatensystem veranschaulichen

Um eine Ebene in einem Koordinatensystem zu visualisieren, zeichnet man einen Ausschnitt der Ebene, wobei man sich an den Schnittpunkten der Ebene mit den Koordinatenachsen orientiert. Diese Punkte werden als Spurpunkte bezeichnet und sind entscheidend für die Lage von Ebenen im Koordinatensystem.

Definition: Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen.

Die Berechnung der Spurpunkte erfolgt durch Einsetzen von Null für jeweils zwei Koordinaten in die Ebenengleichung. Beispielsweise erhält man den x₁-Spurpunkt, indem man x₂ = 0 und x₃ = 0 in die Gleichung einsetzt.

Example: Für die Ebene E: x₁ + x₂ + x₃ = 2 ergeben sich folgende Spurpunkte:

  • S₁2002|0|0 auf der x₁-Achse
  • S₂0200|2|0 auf der x₂-Achse
  • S₃0020|0|2 auf der x₃-Achse

Die Verbindungslinien zwischen den Spurpunkten bilden die Spurgeraden, die die Schnittlinien der Ebene mit den Koordinatenebenen darstellen. Um einen Ausschnitt der Ebene zu zeichnen, markiert man die Spurpunkte auf den Koordinatenachsen und verbindet sie.

Vocabulary: Spurgeraden sind die Schnittlinien einer Ebene mit den Koordinatenebenen.

Es gibt drei mögliche Fälle für die Lage einer Ebene im Koordinatensystem:

  1. Die Ebene besitzt drei Spurpunkte: Dies ist der allgemeine Fall.
  2. Die Ebene besitzt zwei Spurpunkte: In diesem Fall ist die Ebene parallel zu einer Koordinatenachse.
  3. Die Ebene besitzt einen Spurpunkt: Hier ist die Ebene parallel zu einer Koordinatenebene.

Highlight: Die Anzahl der Spurpunkte gibt Aufschluss über die besondere Lage von Ebenen im Koordinatensystem.

Ein interessanter Aspekt ist, dass man aus den Koordinaten der drei Spurpunkte S₁1/0/01/0/0, S₂0/v/00/v/0 und S₃0/0/w0/0/w direkt eine Koordinatengleichung der Ebene ableiten kann: E: x₁/u + x₂/v + x₃/w = 1. Diese Gleichung wird anschließend mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von u, v und w multipliziert, um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten.

Example: Für eine Ebene mit den Spurpunkten S₁3003|0|0, S₂0200|2|0 und S₃0060|0|6 lautet die Koordinatengleichung: E: x₁/3 + x₂/2 + x₃/6 = 1, nach Multiplikation mit 6: 2x₁ + 3x₂ + x₃ = 6

Abschließend werden noch einige Spezialfälle betrachtet:

  • E: x₁ = 0 beschreibt die x₂x₃-Ebene
  • E: x₂ = 0 beschreibt die x₁x₃-Ebene
  • E: x₃ = 0 beschreibt die x₁x₂-Ebene

Diese Fälle sind besonders wichtig für das Verständnis der Lage von Ebenen im Koordinatensystem und helfen bei der Visualisierung komplexerer Ebenengleichungen.

Highlight: Das Verständnis dieser Grundlagen ist essentiell für das Ebenen Zeichnen Online und die Arbeit mit Ebenen in GeoGebra.

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