Ebenen im Koordinatensystem veranschaulichen
Um eine Ebene in einem Koordinatensystem zu visualisieren, zeichnet man einen Ausschnitt der Ebene, wobei man sich an den Schnittpunkten der Ebene mit den Koordinatenachsen orientiert. Diese Punkte werden als Spurpunkte bezeichnet und sind entscheidend für die Lage von Ebenen im Koordinatensystem.
Definition: Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen.
Die Berechnung der Spurpunkte erfolgt durch Einsetzen von Null für jeweils zwei Koordinaten in die Ebenengleichung. Beispielsweise erhält man den x₁-Spurpunkt, indem man x₂ = 0 und x₃ = 0 in die Gleichung einsetzt.
Example: Für die Ebene E: x₁ + x₂ + x₃ = 2 ergeben sich folgende Spurpunkte:
- S₁(2|0|0) auf der x₁-Achse
- S₂(0|2|0) auf der x₂-Achse
- S₃(0|0|2) auf der x₃-Achse
Die Verbindungslinien zwischen den Spurpunkten bilden die Spurgeraden, die die Schnittlinien der Ebene mit den Koordinatenebenen darstellen. Um einen Ausschnitt der Ebene zu zeichnen, markiert man die Spurpunkte auf den Koordinatenachsen und verbindet sie.
Vocabulary: Spurgeraden sind die Schnittlinien einer Ebene mit den Koordinatenebenen.
Es gibt drei mögliche Fälle für die Lage einer Ebene im Koordinatensystem:
- Die Ebene besitzt drei Spurpunkte: Dies ist der allgemeine Fall.
- Die Ebene besitzt zwei Spurpunkte: In diesem Fall ist die Ebene parallel zu einer Koordinatenachse.
- Die Ebene besitzt einen Spurpunkt: Hier ist die Ebene parallel zu einer Koordinatenebene.
Highlight: Die Anzahl der Spurpunkte gibt Aufschluss über die besondere Lage von Ebenen im Koordinatensystem.
Ein interessanter Aspekt ist, dass man aus den Koordinaten der drei Spurpunkte S₁(1/0/0), S₂(0/v/0) und S₃(0/0/w) direkt eine Koordinatengleichung der Ebene ableiten kann: E: x₁/u + x₂/v + x₃/w = 1. Diese Gleichung wird anschließend mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von u, v und w multipliziert, um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten.
Example: Für eine Ebene mit den Spurpunkten S₁(3|0|0), S₂(0|2|0) und S₃(0|0|6) lautet die Koordinatengleichung:
E: x₁/3 + x₂/2 + x₃/6 = 1, nach Multiplikation mit 6: 2x₁ + 3x₂ + x₃ = 6
Abschließend werden noch einige Spezialfälle betrachtet:
- E: x₁ = 0 beschreibt die x₂x₃-Ebene
- E: x₂ = 0 beschreibt die x₁x₃-Ebene
- E: x₃ = 0 beschreibt die x₁x₂-Ebene
Diese Fälle sind besonders wichtig für das Verständnis der Lage von Ebenen im Koordinatensystem und helfen bei der Visualisierung komplexerer Ebenengleichungen.
Highlight: Das Verständnis dieser Grundlagen ist essentiell für das Ebenen Zeichnen Online und die Arbeit mit Ebenen in GeoGebra.
