Mathe
Deutsch
Englisch
Biologie
Geschichte
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Imperialismus und erster weltkrieg
Das 20. jahrhundert
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Europa und globalisierung
Europa und die welt
Frühe neuzeit
Die zeit des nationalsozialismus
Der mensch und seine geschichte
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Akteure internationaler politik in politischer perspektive
Großreiche
Alle Themen
11
0
fiona
21.11.2025
Mathe
Mathematik Baisfach BW
587
•
21. Nov. 2025
•
fiona
@fionasophie.29
Hier sind die wichtigsten Mathe-Themen für deine Oberstufe kompakt zusammengefasst!... Mehr anzeigen
Quadratische Gleichungen löst du am besten mit der Mitternachtsformel: x₁/₂ = /(2a). Der Term unter der Wurzel verrät dir alles: Ist er negativ, gibt's keine Lösung. Bei null hast du eine doppelte Lösung, bei positiven Werten zwei verschiedene.
Das Nullprodukt macht dein Leben oft einfacher als die Mitternachtsformel. Bei x²-6x=0 klammerst du einfach x aus: x=0. Dann setzt du jeden Faktor gleich null und fertig!
Bei Potenz- und Exponentialfunktionen helfen dir Transformationen beim Verstehen. f(x) = ² + 3 verschiebt die normale Parabel um 4 nach rechts und 3 nach oben. Exponentialgleichungen wie e^x = 7 löst du mit dem natürlichen Logarithmus: x = ln(7).
Sinus- und Kosinusfunktionen haben ihre festen Regeln: Eine Periode dauert 2π, benachbarte Nullstellen sind π voneinander entfernt. Die Form f(x) = a·sin + d zeigt dir Amplitude (a), Periode und Verschiebungen (c und d) auf einen Blick.
Tipp: Bei komplexeren Aufgaben probiere zuerst das Nullprodukt, bevor du die Mitternachtsformel verwendest!
Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x hat eine Besonderheit: Sie ist ihre eigene Ableitung! Das macht sie super praktisch zum Rechnen. Sie hat keine Nullstellen und nähert sich für x → -∞ der x-Achse an.
Ableitungen von Grundfunktionen musst du auswendig können: f(x) = x^k wird zu f'(x) = k·x^, sin x wird zu cos x, cos x zu -sin x. Bei √x = x^(1/2) wird's zu (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x).
Extrempunkte findest du über die erste Ableitung. Setzt du f'(x) = 0, bekommst du die x-Werte. Ob's ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, checkst du mit dem Vorzeichenwechsel: von + zu - ist ein Hochpunkt, von - zu + ein Tiefpunkt.
Die Kettenregel brauchst du bei verketteten Funktionen: f(x) = u wird zu f'(x) = m · u'. Bei der Produktregel gilt: (u·v)' = u'·v + u·v'. Diese Regeln sind absolute Basics für komplexere Aufgaben.
Merke dir: e^x bleibt immer e^x, egal wie oft du ableitest!
Integration ist das Gegenteil vom Ableiten - du suchst die Stammfunktion F mit F'(x) = f(x). Bei x^k wird's zu x^/, bei sin x zu -cos x, bei cos x zu sin x. Die e-Funktion bleibt wieder sich selbst treu.
Integrale berechnen läuft in zwei Schritten: Erst die Stammfunktion finden, dann die Grenzen einsetzen. Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇ f(x)dx = ᵃᵇ = F(b) - F(a) gibt dir den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
Bei linearen Verkettungen mit mx + c teilst du durch den inneren Faktor m. Aus sin wird -1/5 · cos, aus e^(4x) wird 1/4 · e^(4x). Das ist die Umkehrung der Kettenregel.
Grenzen bestimmen funktioniert rückwärts: Du berechnest das Integral mit unbekannten Grenzen, setzt das Ergebnis gleich dem gegebenen Wert und löst nach der gesuchten Grenze auf.
Faustregel: Beim Integrieren teilst du durch den Exponenten, beim Ableiten multiplizierst du mit ihm!
Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse berechnest du systematisch. Zuerst findest du alle Nullstellen - die werden deine Integrationsgrenzen. Dann checkst du, ob der Graph zwischen den Nullstellen über oder unter der x-Achse verläuft.
Liegt der Graph über der x-Achse, rechnest du normal: A = ∫ᵃᵇ f(x)dx. Liegt er unter der x-Achse, wird das Integral negativ - für den Flächeninhalt brauchst du den Betrag: A = |∫ᵃᵇ f(x)dx|.
Bei mehreren Teilflächen addierst du die Beträge: A = A₁ + A₂ = |∫ᵃᵇ f(x)dx| + |∫ᵇᶜ f(x)dx|. Jede Teilfläche zwischen zwei benachbarten Nullstellen rechnest du separat.
Beispiel: f(x) = -3x² + 12 hat Nullstellen bei x = ±2. Bei x = 0 ist f(0) = 12 > 0, also verläuft der Graph zwischen den Nullstellen über der x-Achse. Das Integral ∫₋₂² dx = 32 gibt direkt die Fläche an.
Wichtig: Vergiss nicht die Beträge, wenn Teilflächen unter der x-Achse liegen!
Vektoren beschreiben Richtung und Länge im Raum. Der Ortsvektor verbindet den Ursprung mit einem Punkt, der Verbindungsvektor AB⃗ = b⃗ - a⃗ verbindet zwei beliebige Punkte. So einfach ist das!
Den Betrag eines Vektors (seine Länge) berechnest du mit |a⃗| = √. Das ist quasi der 3D-Pythagoras. Den Abstand zweier Punkte bekommst du über den Betrag ihres Verbindungsvektors.
Das Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ist mega praktisch: Ist es null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Damit berechnest du auch Winkel zwischen Vektoren: cos γ = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|).
Das Vektorprodukt a⃗ × b⃗ gibt dir einen Vektor, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. Das brauchst du für Normalenvektoren von Ebenen. Die Berechnung sieht kompliziert aus, folgt aber einem festen Schema.
Eselsbrücke: Skalarprodukt = eine Zahl, Vektorprodukt = ein neuer Vektor!
Ebenen kannst du in verschiedenen Formen darstellen. Die Parameterform E: x⃗ = a⃗ + r·b⃗ + s·c⃗ brauchst du einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren. Die Koordinatenform E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ist oft praktischer zum Rechnen.
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene findest du, indem du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzt. Gibt es eine Lösung für den Parameter t, hast du einen Schnittpunkt. Keine Lösung bedeutet: Gerade ist parallel zur Ebene.
Eine Ebene aufstellen geht auf verschiedene Wege: Durch drei Punkte A, B, C nimmst du einen als Stützvektor und bildest AB⃗ und AC⃗ als Richtungsvektoren. Bei Spurpunkten (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) kannst du direkt die Koordinatenform ablesen.
Von Parameterform zu Koordinatenform kommst du über das Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Das gibt dir den Normalenvektor, der direkt die Koordinaten in der Koordinatenform liefert.
Tipp: Spurpunkte musst du nur zum Zeichnen bestimmen, nicht für Rechnungen!
Lage zweier Geraden checkst du über ihre Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel. Zusätzlich identisch sind sie, wenn der Abstand ihrer Stützpunkte auch ein Vielfaches des Richtungsvektors ist.
Schnittgeraden zweier Ebenen bestimmst du, indem du beide Ebenengleichungen gleichzeitig löst. Das Ergebnis ist eine Gerade mit einem Punkt als Stützvektor und dem Vektorprodukt der Normalenvektoren als Richtungsvektor.
Bei Textaufgaben musst du die Situation erst verstehen. Im Beispiel mit dem Baum: Die Sonnenstrahlen bilden eine Gerade von der Baumspitze in Richtung des gegebenen Vektors. Der Schnittpunkt mit der Ebene (Hang) ist der gesuchte Schattenpunkt.
Abstand berechnen zwischen zwei Punkten funktioniert über den Betrag ihres Verbindungsvektors: |F⃗T⃗| = √. Das ist der 3D-Abstand, den du in vielen Aufgaben brauchst.
Strategie: Bei Textaufgaben zuerst alle gegebenen Informationen sammeln und dann schrittweise die Geometrie aufbauen!
Lage von Gerade und Ebene untersuchst du, indem du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzt. Lösbar für t → Schnittpunkt. Keine Lösung → parallel. Jeder Wert für t erfüllt die Gleichung → Gerade liegt in der Ebene.
Gegenseitige Lage zweier Ebenen erkennst du an ihren Koordinatenformen. Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander, sind die Ebenen parallel. Ist auch die rechte Seite proportional, sind sie identisch.
Bei Spurpunkten setzt du jeweils zwei Koordinaten null und löst nach der dritten auf. S₁(6|0|0), S₂(0|3|0), S₃(0|0|2) bei E: x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 6. Die brauchst du hauptsächlich zum Zeichnen.
Spiegelungen funktionieren mit Vektoraddition. Punkt P an Punkt S gespiegelt: P' = P + 2·PS⃗. Bei Spiegelung an einer Ebene brauchst du erst den Lotfußpunkt L, dann P' = P + 2·PL⃗.
Merke: Spurpunkte nur zum Zeichnen, für Rechnungen meist unnötig!
Von Parameterform zu Koordinatenform gehst du über das Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Das gibt dir den Normalenvektor n⃗ = (a|b|c), woraus die Koordinatenform ax₁ + bx₂ + cx₃ = d wird. Den Wert d bestimmst du, indem du den Stützvektor einsetzt.
Von Normalform zu Koordinatenform ist noch einfacher. Die Normalform n⃗ · = 0 multiplizierst du aus: n⃗ · x⃗ - n⃗ · a⃗ = 0. Das wird direkt zu ax₁ + bx₂ + cx₃ = d, wobei d = n⃗ · a⃗ ist.
Bei parallel oder identisch vergleichst du die Normalenvektoren. Bei E: 3x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 8 und F: 6x₁ + 4x₂ + 4x₃ = 16 ist der Normalenvektor von F das Doppelte von E. Da auch d verdoppelt ist (8 → 16), sind die Ebenen identisch.
Echt parallel wären sie, wenn nur die Normalenvektoren proportional sind, aber d nicht im gleichen Verhältnis steht. Dann haben die Ebenen überall den gleichen Abstand.
Check: Normalenvektoren proportional = parallel, d-Werte auch proportional = identisch!
Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1. Ereignis A und sein Gegenereignis Ā ergänzen sich zu 1: P(A) + P(Ā) = 1. Das ist super praktisch, wenn P(Ā) einfacher zu berechnen ist.
Laplace-Experimente haben gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Dann gilt: P(A) = günstige Fälle / mögliche Fälle. Beim Glücksrad mit 8 gleichen Feldern ist P(gerade Zahl) = 4/8 = 1/2.
Baumdiagramme helfen bei mehrstufigen Experimenten. Die erste Pfadregel besagt: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren. Die zweite Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade addieren.
Der Erwartungswert E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... zeigt dir den durchschnittlichen Gewinn/Verlust. Bei E(X) = 0 ist ein Spiel fair. Bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) = P(A∩B)/P(B) gibt die Wahrscheinlichkeit von A an, wenn B bereits eingetreten ist.
Faires Spiel: Der Erwartungswert des Gewinns ist null - langfristig gewinnst und verlierst du gleich viel!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
fiona
@fionasophie.29
Hier sind die wichtigsten Mathe-Themen für deine Oberstufe kompakt zusammengefasst! Von quadratischen Gleichungen über Analysis bis hin zu Stochastik - alles was du für Klausuren brauchst, klar und verständlich erklärt.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Quadratische Gleichungen löst du am besten mit der Mitternachtsformel: x₁/₂ = /(2a). Der Term unter der Wurzel verrät dir alles: Ist er negativ, gibt's keine Lösung. Bei null hast du eine doppelte Lösung, bei positiven Werten zwei verschiedene.
Das Nullprodukt macht dein Leben oft einfacher als die Mitternachtsformel. Bei x²-6x=0 klammerst du einfach x aus: x=0. Dann setzt du jeden Faktor gleich null und fertig!
Bei Potenz- und Exponentialfunktionen helfen dir Transformationen beim Verstehen. f(x) = ² + 3 verschiebt die normale Parabel um 4 nach rechts und 3 nach oben. Exponentialgleichungen wie e^x = 7 löst du mit dem natürlichen Logarithmus: x = ln(7).
Sinus- und Kosinusfunktionen haben ihre festen Regeln: Eine Periode dauert 2π, benachbarte Nullstellen sind π voneinander entfernt. Die Form f(x) = a·sin + d zeigt dir Amplitude (a), Periode und Verschiebungen (c und d) auf einen Blick.
Tipp: Bei komplexeren Aufgaben probiere zuerst das Nullprodukt, bevor du die Mitternachtsformel verwendest!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x hat eine Besonderheit: Sie ist ihre eigene Ableitung! Das macht sie super praktisch zum Rechnen. Sie hat keine Nullstellen und nähert sich für x → -∞ der x-Achse an.
Ableitungen von Grundfunktionen musst du auswendig können: f(x) = x^k wird zu f'(x) = k·x^, sin x wird zu cos x, cos x zu -sin x. Bei √x = x^(1/2) wird's zu (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x).
Extrempunkte findest du über die erste Ableitung. Setzt du f'(x) = 0, bekommst du die x-Werte. Ob's ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, checkst du mit dem Vorzeichenwechsel: von + zu - ist ein Hochpunkt, von - zu + ein Tiefpunkt.
Die Kettenregel brauchst du bei verketteten Funktionen: f(x) = u wird zu f'(x) = m · u'. Bei der Produktregel gilt: (u·v)' = u'·v + u·v'. Diese Regeln sind absolute Basics für komplexere Aufgaben.
Merke dir: e^x bleibt immer e^x, egal wie oft du ableitest!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Integration ist das Gegenteil vom Ableiten - du suchst die Stammfunktion F mit F'(x) = f(x). Bei x^k wird's zu x^/, bei sin x zu -cos x, bei cos x zu sin x. Die e-Funktion bleibt wieder sich selbst treu.
Integrale berechnen läuft in zwei Schritten: Erst die Stammfunktion finden, dann die Grenzen einsetzen. Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇ f(x)dx = ᵃᵇ = F(b) - F(a) gibt dir den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
Bei linearen Verkettungen mit mx + c teilst du durch den inneren Faktor m. Aus sin wird -1/5 · cos, aus e^(4x) wird 1/4 · e^(4x). Das ist die Umkehrung der Kettenregel.
Grenzen bestimmen funktioniert rückwärts: Du berechnest das Integral mit unbekannten Grenzen, setzt das Ergebnis gleich dem gegebenen Wert und löst nach der gesuchten Grenze auf.
Faustregel: Beim Integrieren teilst du durch den Exponenten, beim Ableiten multiplizierst du mit ihm!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse berechnest du systematisch. Zuerst findest du alle Nullstellen - die werden deine Integrationsgrenzen. Dann checkst du, ob der Graph zwischen den Nullstellen über oder unter der x-Achse verläuft.
Liegt der Graph über der x-Achse, rechnest du normal: A = ∫ᵃᵇ f(x)dx. Liegt er unter der x-Achse, wird das Integral negativ - für den Flächeninhalt brauchst du den Betrag: A = |∫ᵃᵇ f(x)dx|.
Bei mehreren Teilflächen addierst du die Beträge: A = A₁ + A₂ = |∫ᵃᵇ f(x)dx| + |∫ᵇᶜ f(x)dx|. Jede Teilfläche zwischen zwei benachbarten Nullstellen rechnest du separat.
Beispiel: f(x) = -3x² + 12 hat Nullstellen bei x = ±2. Bei x = 0 ist f(0) = 12 > 0, also verläuft der Graph zwischen den Nullstellen über der x-Achse. Das Integral ∫₋₂² dx = 32 gibt direkt die Fläche an.
Wichtig: Vergiss nicht die Beträge, wenn Teilflächen unter der x-Achse liegen!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Vektoren beschreiben Richtung und Länge im Raum. Der Ortsvektor verbindet den Ursprung mit einem Punkt, der Verbindungsvektor AB⃗ = b⃗ - a⃗ verbindet zwei beliebige Punkte. So einfach ist das!
Den Betrag eines Vektors (seine Länge) berechnest du mit |a⃗| = √. Das ist quasi der 3D-Pythagoras. Den Abstand zweier Punkte bekommst du über den Betrag ihres Verbindungsvektors.
Das Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ist mega praktisch: Ist es null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Damit berechnest du auch Winkel zwischen Vektoren: cos γ = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|).
Das Vektorprodukt a⃗ × b⃗ gibt dir einen Vektor, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. Das brauchst du für Normalenvektoren von Ebenen. Die Berechnung sieht kompliziert aus, folgt aber einem festen Schema.
Eselsbrücke: Skalarprodukt = eine Zahl, Vektorprodukt = ein neuer Vektor!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Ebenen kannst du in verschiedenen Formen darstellen. Die Parameterform E: x⃗ = a⃗ + r·b⃗ + s·c⃗ brauchst du einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren. Die Koordinatenform E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ist oft praktischer zum Rechnen.
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene findest du, indem du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzt. Gibt es eine Lösung für den Parameter t, hast du einen Schnittpunkt. Keine Lösung bedeutet: Gerade ist parallel zur Ebene.
Eine Ebene aufstellen geht auf verschiedene Wege: Durch drei Punkte A, B, C nimmst du einen als Stützvektor und bildest AB⃗ und AC⃗ als Richtungsvektoren. Bei Spurpunkten (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) kannst du direkt die Koordinatenform ablesen.
Von Parameterform zu Koordinatenform kommst du über das Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Das gibt dir den Normalenvektor, der direkt die Koordinaten in der Koordinatenform liefert.
Tipp: Spurpunkte musst du nur zum Zeichnen bestimmen, nicht für Rechnungen!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Lage zweier Geraden checkst du über ihre Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel. Zusätzlich identisch sind sie, wenn der Abstand ihrer Stützpunkte auch ein Vielfaches des Richtungsvektors ist.
Schnittgeraden zweier Ebenen bestimmst du, indem du beide Ebenengleichungen gleichzeitig löst. Das Ergebnis ist eine Gerade mit einem Punkt als Stützvektor und dem Vektorprodukt der Normalenvektoren als Richtungsvektor.
Bei Textaufgaben musst du die Situation erst verstehen. Im Beispiel mit dem Baum: Die Sonnenstrahlen bilden eine Gerade von der Baumspitze in Richtung des gegebenen Vektors. Der Schnittpunkt mit der Ebene (Hang) ist der gesuchte Schattenpunkt.
Abstand berechnen zwischen zwei Punkten funktioniert über den Betrag ihres Verbindungsvektors: |F⃗T⃗| = √. Das ist der 3D-Abstand, den du in vielen Aufgaben brauchst.
Strategie: Bei Textaufgaben zuerst alle gegebenen Informationen sammeln und dann schrittweise die Geometrie aufbauen!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Lage von Gerade und Ebene untersuchst du, indem du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzt. Lösbar für t → Schnittpunkt. Keine Lösung → parallel. Jeder Wert für t erfüllt die Gleichung → Gerade liegt in der Ebene.
Gegenseitige Lage zweier Ebenen erkennst du an ihren Koordinatenformen. Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander, sind die Ebenen parallel. Ist auch die rechte Seite proportional, sind sie identisch.
Bei Spurpunkten setzt du jeweils zwei Koordinaten null und löst nach der dritten auf. S₁(6|0|0), S₂(0|3|0), S₃(0|0|2) bei E: x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 6. Die brauchst du hauptsächlich zum Zeichnen.
Spiegelungen funktionieren mit Vektoraddition. Punkt P an Punkt S gespiegelt: P' = P + 2·PS⃗. Bei Spiegelung an einer Ebene brauchst du erst den Lotfußpunkt L, dann P' = P + 2·PL⃗.
Merke: Spurpunkte nur zum Zeichnen, für Rechnungen meist unnötig!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Von Parameterform zu Koordinatenform gehst du über das Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Das gibt dir den Normalenvektor n⃗ = (a|b|c), woraus die Koordinatenform ax₁ + bx₂ + cx₃ = d wird. Den Wert d bestimmst du, indem du den Stützvektor einsetzt.
Von Normalform zu Koordinatenform ist noch einfacher. Die Normalform n⃗ · = 0 multiplizierst du aus: n⃗ · x⃗ - n⃗ · a⃗ = 0. Das wird direkt zu ax₁ + bx₂ + cx₃ = d, wobei d = n⃗ · a⃗ ist.
Bei parallel oder identisch vergleichst du die Normalenvektoren. Bei E: 3x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 8 und F: 6x₁ + 4x₂ + 4x₃ = 16 ist der Normalenvektor von F das Doppelte von E. Da auch d verdoppelt ist (8 → 16), sind die Ebenen identisch.
Echt parallel wären sie, wenn nur die Normalenvektoren proportional sind, aber d nicht im gleichen Verhältnis steht. Dann haben die Ebenen überall den gleichen Abstand.
Check: Normalenvektoren proportional = parallel, d-Werte auch proportional = identisch!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1. Ereignis A und sein Gegenereignis Ā ergänzen sich zu 1: P(A) + P(Ā) = 1. Das ist super praktisch, wenn P(Ā) einfacher zu berechnen ist.
Laplace-Experimente haben gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Dann gilt: P(A) = günstige Fälle / mögliche Fälle. Beim Glücksrad mit 8 gleichen Feldern ist P(gerade Zahl) = 4/8 = 1/2.
Baumdiagramme helfen bei mehrstufigen Experimenten. Die erste Pfadregel besagt: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren. Die zweite Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade addieren.
Der Erwartungswert E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... zeigt dir den durchschnittlichen Gewinn/Verlust. Bei E(X) = 0 ist ein Spiel fair. Bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) = P(A∩B)/P(B) gibt die Wahrscheinlichkeit von A an, wenn B bereits eingetreten ist.
Faires Spiel: Der Erwartungswert des Gewinns ist null - langfristig gewinnst und verlierst du gleich viel!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
11
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Konzepte von Richtungsvektoren, Ortsvektoren und Kollinearität. Diese Zusammenfassung behandelt die Punktprobe, die Symmetrieeigenschaften von Funktionen und die Berechnung von Extrem- und Wendepunkten. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in Vektoren und deren Anwendungen vertiefen möchten.
MatheDiese Klausur behandelt die Vektorgeometrie mit einem Fokus auf Verschiebungsvektoren, Abstandsberechnungen zwischen Punkten, das Aufstellen von Geraden aus zwei Punkten, Spurpunkte und die Lagebeziehung zwischen Geraden. Ideal für Schüler, die sich auf ihre Mathe LK Klausur vorbereiten. Enthält praxisnahe Anwendungsaufgaben und wichtige Konzepte der Geometrie im 3D-Koordinatensystem.
MatheErfahren Sie alles über Spurpunkte von Ebenen und deren Schnittpunkte mit Koordinatenachsen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition, die Berechnung von Spurpunkten (S1, S2, S3) und die Bedeutung von Spurgeraden. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Geometrie und analytischer Geometrie beschäftigen.
MatheDiese Zusammenfassung erklärt, wie man Ebenen im Koordinatensystem veranschaulicht, einschließlich der Berechnung von Spurpunkten und der Darstellung von Ebenen anhand ihrer Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und analytische Geometrie vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
MatheDiese Klausur umfasst 13 Punkte im Fach Mathematik LK und behandelt zentrale Themen der Vektorgeometrie, einschließlich der Parameter- und Koordinatenform von Ebenen, Schnittpunkte zwischen Geraden und Ebenen, Normalenvektoren, sowie Abstandsberechnungen zwischen Punkten und Ebenen. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis geometrischer Konzepte.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit Fokus auf Vektoren, Geraden und Ebenen. Erfahren Sie mehr über Lagebeziehungen, Abstände, Winkel und Orthogonalität. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Vertiefung des Verständnisses.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
