Grundlagen der Vektorrechnung

Vektoren zwischen Punkten sind eigentlich ziemlich simpel zu berechnen. Du ziehst einfach die Koordinaten des ersten Punkts von denen des zweiten ab: $\vec{AB} = B - A$. Bei den Punkten A$1/2/1$ und B$3/4/0$ ergibt das $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Den Abstand zwischen Punkten findest du mit der Formel $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$. In unserem Beispiel: $\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.

Bei Vektoroperationen rechnest du komponentenweise. Addition: $\vec{c} + \vec{d} = \begin{pmatrix} 2+(-1) \\ 3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$. Skalare Multiplikation multipliziert jeden Eintrag mit der Zahl.

Tipp: Zeichne Vektoroperationen immer mit - das macht die Rechnung viel anschaulicher und hilft beim Verstehen!

Orientierung im Raum - Quader und Diagonalen

Quader konstruieren ist wie ein 3D-Puzzle lösen. Wenn du drei Eckpunkte kennst, findest du die anderen durch geschickte Vektoraddition. Bei unserem Quader mit A$1/1/0$, B$1/7/0$, C$-1/7/0$ und E$1/1/3$ ergänzt du systematisch die fehlenden Punkte.

Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken des Quaders. Du berechnest ihre Länge mit $d_R = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$, wobei l, b, h die Seitenlängen sind. Das ergibt hier $d_R = \sqrt{36 + 4 + 9} = 7$.

Der Mittelpunkt einer Diagonale liegt genau zwischen den Endpunkten. Du berechnest ihn als Mittelwert der Koordinaten: M = $\frac{1}{2}(A + G)$.

Vektordarstellung von Strecken funktioniert durch Addition der Seitenvektoren. $\overrightarrow{BH} = \vec{v_h} + \vec{v_l} + \vec{v_b}$ - du gehst quasi Schritt für Schritt von B zu H.

Merksatz: Im Quader sind gegenüberliegende Flächen parallel und gleich groß - das hilft beim Finden der Eckpunkte!

Geradengleichungen und Spurpunkte

Geradengleichungen aufstellen ist straightforward: Du brauchst einen Punkt auf der Gerade (Stützvektor) und die Richtung (Richtungsvektor). Für Punkte A$1/2/0$ und B$2/-2/-4$ ergibt das: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$.

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Gerade mit den Koordinatenebenen. P₁,₂ liegt in der x₁x₂-Ebene $z = 0$, P₁,₃ in der x₁x₃-Ebene $y = 0$ und P₂,₃ in der x₂x₃-Ebene $x = 0$.

Um Schnittpunkte zweier Geraden zu finden, setzt du ihre Gleichungen gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. Haben alle drei Gleichungen dieselbe Lösung, schneiden sich die Geraden.

Bei der Lagebeziehung prüfst du zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind (parallel). Wenn nicht, suchst du nach Schnittpunkten.

Kontrolltipp: Setze deine Lösungen immer in beide ursprünglichen Geradengleichungen ein - so findest du Rechenfehler schnell!

Anwendung: Flugbahnen von Ballon und Flugzeug

Bewegungsgleichungen beschreiben reale Flugbahnen. Der Ballon startet bei A$2/5/0$ und ist nach einer Stunde bei B$0/2/1$. Seine Geschwindigkeit ist konstant: $\vec{v} = B - A = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ km/h.

Das Flugzeug startet bei C$-34/26/18$ mit Geschwindigkeitsvektor $\vec{u} = \begin{pmatrix} 60 \\ -60 \\ -30 \end{pmatrix}$ für 5 Stunden. Seine Stundengeschwindigkeit ist $\frac{1}{5}\vec{u} = \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix}$ km/h.

Kollisionsgefahr prüfst du in zwei Schritten: Erst suchst du den Schnittpunkt der Flugbahnen, dann checkst du, ob beide Objekte zur gleichen Zeit dort sind. Hier kreuzen sich die Bahnen bei S$-4/-4/3$, aber zu verschiedenen Zeiten.

Die Geschwindigkeitsbeträge berechnest du mit der Vektorlängenformel. Flugzeug: $|\vec{v}| = \sqrt{12² + (-12)² + (-6)²} = 18$ km/h, Ballon: $\sqrt{(-2)² + (-3)² + 1²} = \sqrt{14} ≈ 3,7$ km/h.

Realitätscheck: Das Flugzeug ist etwa 5-mal schneller - das passt zu echten Geschwindigkeitsverhältnissen zwischen Flugzeugen und Ballons!

Exponentialfunktionen - Ableitungen und Extremstellen

Funktionsschar $f_a(x) = 2ax \cdot e^{ax} + 1$ zeigt verschiedene Verläufe je nach Parameter a. Bei a = 0,5 steigt die Funktion, bei a = -1 fällt sie nach einem Maximum ab.

Die erste Ableitung $f'_a(x) = 2axe^{ax} \cdot (1 + ax)$ findest du mit der Produktregel. Für Extremstellen setzt du $f'_a(x) = 0$. Da $e^{ax} > 0$ immer gilt, muss $2ax(1 + ax) = 0$ sein.

Extremstellen liegen bei x = 0 und x = -1/a. Bei x = 0 ist immer f(0) = 1. Bei x = -1/a hängt die Art des Extremums vom Vorzeichen von a ab.

Die zweite Ableitung $f''_a(x) = 2a² \cdot e^{ax} \cdot (2 + ax)$ hilft dir bei der Bestimmung von Wendepunkten und der Art der Extremstellen.

Merkhilfe: Bei Exponentialfunktionen ist die e-Funktion nie null - das vereinfacht das Finden von Nullstellen der Ableitung!

Integration und Flächenberechnung

Stammfunktionen von Exponentialfunktionen findest du oft durch geschicktes Raten und Ableiten zur Kontrolle. Bei $f_{-2}(x) = -4xe^{-2x} + 1$ ist $F_{-2}(x) = 2xe^{-2x} + e^{-2x} + x$ eine Stammfunktion.

Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse berechnest du mit bestimmten Integralen. Da $f_{-2}$ im Intervall [0;1] keine Nullstelle hat und f$-2$(0) = 1 > 0 ist, liegt die gesamte Kurve über der x-Achse.

Der Wendepunkt $W_a(-\frac{2}{a}; 1-\frac{4}{e²})$ ist für jedes a ≠ 0 gegeben. Seine Lage verändert sich mit dem Parameter a systematisch.

Wendetangenten berechnest du, indem du die Steigung im Wendepunkt (= zweite Ableitung) bestimmst und die Punkt-Steigungs-Form verwendest.

Integrationstrick: Bei Produkten aus Polynomen und e-Funktionen hilft oft partielle Integration oder das Erraten der Stammfunktion!