Fächer

Knowunity KI

Mehr

Für Unternehmen

Karriere

Creator-Programm

Für Eltern

Knowunity Pro

App öffnen

Fächer

Mathematik

Geometrische Systeme und Modelle

Koordinatengeometrie

783

•

6. Feb. 2026

•

14 Seiten

Mathe LK Klausur: Vektorgeometrie Q1.2 - 10 Punkte Aufgaben

user profile picture

Nils Rosenberger

@nils_rosenberger

Diese Klausur zeigt dir, wie Vektorrechnung und Geraden im Raum... Mehr anzeigen

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
1 / 10
Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Grundlagen der Vektorrechnung

Vektoren zwischen Punkten sind eigentlich ziemlich simpel zu berechnen. Du ziehst einfach die Koordinaten des ersten Punkts von denen des zweiten ab: AB⃗=B−A\vec{AB} = B - A. Bei den Punkten A(1/2/1) und B(3/4/0) ergibt das AB⃗=(2 2 −1)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}.

Den Abstand zwischen Punkten findest du mit der Formel ∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}. In unserem Beispiel: 22+22+(−1)2=9=3\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3.

Bei Vektoroperationen rechnest du komponentenweise. Addition: c⃗+d⃗=(2+(−1) 3+2)=(1 5)\vec{c} + \vec{d} = \begin{pmatrix} 2+(-1) \ 3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 5 \end{pmatrix}. Skalare Multiplikation multipliziert jeden Eintrag mit der Zahl.

Tipp: Zeichne Vektoroperationen immer mit - das macht die Rechnung viel anschaulicher und hilft beim Verstehen!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Orientierung im Raum - Quader und Diagonalen

Quader konstruieren ist wie ein 3D-Puzzle lösen. Wenn du drei Eckpunkte kennst, findest du die anderen durch geschickte Vektoraddition. Bei unserem Quader mit A(1/1/0), B(1/7/0), C(-1/7/0) und E(1/1/3) ergänzt du systematisch die fehlenden Punkte.

Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken des Quaders. Du berechnest ihre Länge mit dR=l2+b2+h2d_R = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}, wobei l, b, h die Seitenlängen sind. Das ergibt hier dR=36+4+9=7d_R = \sqrt{36 + 4 + 9} = 7.

Der Mittelpunkt einer Diagonale liegt genau zwischen den Endpunkten. Du berechnest ihn als Mittelwert der Koordinaten: M = 12(A+G)\frac{1}{2}(A + G).

Vektordarstellung von Strecken funktioniert durch Addition der Seitenvektoren. BH→=vh⃗+vl⃗+vb⃗\overrightarrow{BH} = \vec{v_h} + \vec{v_l} + \vec{v_b} - du gehst quasi Schritt für Schritt von B zu H.

Merksatz: Im Quader sind gegenüberliegende Flächen parallel und gleich groß - das hilft beim Finden der Eckpunkte!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Geradengleichungen und Spurpunkte

Geradengleichungen aufstellen ist straightforward: Du brauchst einen Punkt auf der Gerade (Stützvektor) und die Richtung (Richtungsvektor). Für Punkte A(1/2/0) und B(2/-2/-4) ergibt das: g:x⃗=(1 2 0)+r⋅(1 −4 −4)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \ -4 \ -4 \end{pmatrix}.

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Gerade mit den Koordinatenebenen. P₁,₂ liegt in der x₁x₂-Ebene z=0z = 0, P₁,₃ in der x₁x₃-Ebene y=0y = 0 und P₂,₃ in der x₂x₃-Ebene x=0x = 0.

Um Schnittpunkte zweier Geraden zu finden, setzt du ihre Gleichungen gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. Haben alle drei Gleichungen dieselbe Lösung, schneiden sich die Geraden.

Bei der Lagebeziehung prüfst du zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind (parallel). Wenn nicht, suchst du nach Schnittpunkten.

Kontrolltipp: Setze deine Lösungen immer in beide ursprünglichen Geradengleichungen ein - so findest du Rechenfehler schnell!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Anwendung: Flugbahnen von Ballon und Flugzeug

Bewegungsgleichungen beschreiben reale Flugbahnen. Der Ballon startet bei A(2/5/0) und ist nach einer Stunde bei B(0/2/1). Seine Geschwindigkeit ist konstant: v⃗=B−A=(−2 −3 1)\vec{v} = B - A = \begin{pmatrix} -2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix} km/h.

Das Flugzeug startet bei C(-34/26/18) mit Geschwindigkeitsvektor u⃗=(60 −60 −30)\vec{u} = \begin{pmatrix} 60 \ -60 \ -30 \end{pmatrix} für 5 Stunden. Seine Stundengeschwindigkeit ist 15u⃗=(12 −12 −6)\frac{1}{5}\vec{u} = \begin{pmatrix} 12 \ -12 \ -6 \end{pmatrix} km/h.

Kollisionsgefahr prüfst du in zwei Schritten: Erst suchst du den Schnittpunkt der Flugbahnen, dann checkst du, ob beide Objekte zur gleichen Zeit dort sind. Hier kreuzen sich die Bahnen bei S(-4/-4/3), aber zu verschiedenen Zeiten.

Die Geschwindigkeitsbeträge berechnest du mit der Vektorlängenformel. Flugzeug: ∣v⃗∣=122+(−12)2+(−6)2=18|\vec{v}| = \sqrt{12² + (-12)² + (-6)²} = 18 km/h, Ballon: (−2)2+(−3)2+12=14≈3,7\sqrt{(-2)² + (-3)² + 1²} = \sqrt{14} ≈ 3,7 km/h.

Realitätscheck: Das Flugzeug ist etwa 5-mal schneller - das passt zu echten Geschwindigkeitsverhältnissen zwischen Flugzeugen und Ballons!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Exponentialfunktionen - Ableitungen und Extremstellen

Funktionsschar fa(x)=2ax⋅eax+1f_a(x) = 2ax \cdot e^{ax} + 1 zeigt verschiedene Verläufe je nach Parameter a. Bei a = 0,5 steigt die Funktion, bei a = -1 fällt sie nach einem Maximum ab.

Die erste Ableitung fa′(x)=2axeax⋅(1+ax)f'_a(x) = 2axe^{ax} \cdot (1 + ax) findest du mit der Produktregel. Für Extremstellen setzt du fa′(x)=0f'_a(x) = 0. Da eax>0e^{ax} > 0 immer gilt, muss $2ax1+ax1 + ax = 0$ sein.

Extremstellen liegen bei x = 0 und x = -1/a. Bei x = 0 ist immer f(0) = 1. Bei x = -1/a hängt die Art des Extremums vom Vorzeichen von a ab.

Die zweite Ableitung fa′′(x)=2a2⋅eax⋅(2+ax)f''_a(x) = 2a² \cdot e^{ax} \cdot (2 + ax) hilft dir bei der Bestimmung von Wendepunkten und der Art der Extremstellen.

Merkhilfe: Bei Exponentialfunktionen ist die e-Funktion nie null - das vereinfacht das Finden von Nullstellen der Ableitung!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Integration und Flächenberechnung

Stammfunktionen von Exponentialfunktionen findest du oft durch geschicktes Raten und Ableiten zur Kontrolle. Bei f−2(x)=−4xe−2x+1f_{-2}(x) = -4xe^{-2x} + 1 ist F−2(x)=2xe−2x+e−2x+xF_{-2}(x) = 2xe^{-2x} + e^{-2x} + x eine Stammfunktion.

Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse berechnest du mit bestimmten Integralen. Da f−2f_{-2} im Intervall [0;1] keine Nullstelle hat und f(-2)(0) = 1 > 0 ist, liegt die gesamte Kurve über der x-Achse.

Der Wendepunkt Wa(−2a;1−4e2)W_a(-\frac{2}{a}; 1-\frac{4}{e²}) ist für jedes a ≠ 0 gegeben. Seine Lage verändert sich mit dem Parameter a systematisch.

Wendetangenten berechnest du, indem du die Steigung im Wendepunkt =zweiteAbleitung= zweite Ableitung bestimmst und die Punkt-Steigungs-Form verwendest.

Integrationstrick: Bei Produkten aus Polynomen und e-Funktionen hilft oft partielle Integration oder das Erraten der Stammfunktion!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)
Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)
Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)
Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)


Wir dachten schon, du fragst nie...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.

Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.

Beliebtester Inhalt: Koordinatengeometrie

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

MatheMathe
13

Analytische Geometrie Grundlagen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der analytischen Geometrie, einschließlich der Parameterform von Geraden und Ebenen, Abstandsberechnungen, Lagebeziehungen zwischen Linien und Ebenen sowie Vektoroperationen. Ideal für das Abitur im Leistungskurs! Enthält wichtige Formeln und Beispiele zur Vertiefung des Verständnisses.

MatheMathe
11

Mathematik Abitur: Analysis & Geometrie

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik-Abitur, die Themen wie Differential- und Integralrechnung, analytische Geometrie, Stochastik, Hypothesentests und mehr abdeckt. Ideal für die Prüfungsvorbereitung. Enthält wichtige Konzepte wie Normalverteilung, Volumenberechnung, und graphische Differenzierung.

MatheMathe
11

Mathematik Abitur: Grundlagen bis Stochastik

Entdecke alle wichtigen Themen für das Mathe-Abitur, von den Grundlagen über Analysis, Analytische Geometrie bis hin zu Stochastik. Diese umfassende Zusammenstellung bietet dir die nötigen Konzepte, Formeln und Methoden, um erfolgreich zu lernen und zu bestehen. Ideal für die Vorbereitung auf die Mathematikprüfung.

MatheMathe
12

Abstände in der Analytischen Geometrie

Erlernen Sie die Berechnung von Abständen in der analytischen Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt die Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen, einschließlich paralleler und windschiefer Geraden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der analytischen Geometrie vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Mathe Abitur: Schlüsselthemen

Diese Zusammenfassung deckt alle wichtigen Themen für das Mathe-Abitur ab, einschließlich Analysis, Geometrie und Stochastik. Ideal für Leistungskurse und Grundkurse. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und mehr. Perfekt zur Vorbereitung auf Prüfungen.

MatheMathe
11

Analytische Geometrie Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung der analytischen Geometrie für das Abitur. Behandelt wichtige Themen wie Abstandsberechnung, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen, Vektoroperationen, und geometrische Eigenschaften. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

MatheMathe
11

Ebenen in der Analytischen Geometrie

Erfahren Sie alles über die verschiedenen Formen von Ebenen in der analytischen Geometrie: Parameterform, Koordinatenform und Normalenform. Lernen Sie, wie man Ebenengleichungen aufstellt und umformt, sowie die Konzepte von Spurpunkten und Spurgeraden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der analytischen Geometrie vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Analytische Geometrie Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung der analytischen Geometrie auf 16 Seiten. Behandelt werden Vektoren, Geraden, Ebenen, Lagebeziehungen, Abstände, Winkelberechnungen und Kreise. Ideal für die Abiturvorbereitung. Alle Lernmaterialien sind im Ordner 'Analytische Geometrie' verfügbar.

MatheMathe
11

Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

MatheMathe
8

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

MatheMathe
11

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

MatheMathe
13

Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

MatheMathe
11

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

MatheMathe
11

Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

MatheMathe
11

Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

MatheMathe
7

Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

MatheMathe
6

Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

DeutschDeutsch
11

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

DeutschDeutsch
12

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

DeutschDeutsch
11

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

DeutschDeutsch
11

Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

DeutschDeutsch
12

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

DeutschDeutsch
12

Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

DeutschDeutsch
11

Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

DeutschDeutsch
12

der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

DeutschDeutsch
11

Findest du nicht, was du suchst? Entdecke andere Fächer.

Schüler lieben uns — und du auch.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Mathematik

Geometrische Systeme und Modelle

Koordinatengeometrie

 

Mathe

•

783

•

6. Feb. 2026

•

14 Seiten

Mathe LK Klausur: Vektorgeometrie Q1.2 - 10 Punkte Aufgaben

user profile picture

Nils Rosenberger

@nils_rosenberger

Diese Klausur zeigt dir, wie Vektorrechnung und Geraden im Raum funktionieren - von einfachen Berechnungen bis hin zu realen Anwendungen wie Flugbahnen. Du lernst hier die wichtigsten Grundlagen, die du für deine Mathematikklausur brauchst.

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehenKostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Schließ dich Millionen Schülern an

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung

Grundlagen der Vektorrechnung

Vektoren zwischen Punkten sind eigentlich ziemlich simpel zu berechnen. Du ziehst einfach die Koordinaten des ersten Punkts von denen des zweiten ab: AB⃗=B−A\vec{AB} = B - A. Bei den Punkten A(1/2/1) und B(3/4/0) ergibt das AB⃗=(2 2 −1)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}.

Den Abstand zwischen Punkten findest du mit der Formel ∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}. In unserem Beispiel: 22+22+(−1)2=9=3\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3.

Bei Vektoroperationen rechnest du komponentenweise. Addition: c⃗+d⃗=(2+(−1) 3+2)=(1 5)\vec{c} + \vec{d} = \begin{pmatrix} 2+(-1) \ 3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 5 \end{pmatrix}. Skalare Multiplikation multipliziert jeden Eintrag mit der Zahl.

Tipp: Zeichne Vektoroperationen immer mit - das macht die Rechnung viel anschaulicher und hilft beim Verstehen!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehenKostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Schließ dich Millionen Schülern an

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung

Orientierung im Raum - Quader und Diagonalen

Quader konstruieren ist wie ein 3D-Puzzle lösen. Wenn du drei Eckpunkte kennst, findest du die anderen durch geschickte Vektoraddition. Bei unserem Quader mit A(1/1/0), B(1/7/0), C(-1/7/0) und E(1/1/3) ergänzt du systematisch die fehlenden Punkte.

Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken des Quaders. Du berechnest ihre Länge mit dR=l2+b2+h2d_R = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}, wobei l, b, h die Seitenlängen sind. Das ergibt hier dR=36+4+9=7d_R = \sqrt{36 + 4 + 9} = 7.

Der Mittelpunkt einer Diagonale liegt genau zwischen den Endpunkten. Du berechnest ihn als Mittelwert der Koordinaten: M = 12(A+G)\frac{1}{2}(A + G).

Vektordarstellung von Strecken funktioniert durch Addition der Seitenvektoren. BH→=vh⃗+vl⃗+vb⃗\overrightarrow{BH} = \vec{v_h} + \vec{v_l} + \vec{v_b} - du gehst quasi Schritt für Schritt von B zu H.

Merksatz: Im Quader sind gegenüberliegende Flächen parallel und gleich groß - das hilft beim Finden der Eckpunkte!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehenKostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Schließ dich Millionen Schülern an

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung

Geradengleichungen und Spurpunkte

Geradengleichungen aufstellen ist straightforward: Du brauchst einen Punkt auf der Gerade (Stützvektor) und die Richtung (Richtungsvektor). Für Punkte A(1/2/0) und B(2/-2/-4) ergibt das: g:x⃗=(1 2 0)+r⋅(1 −4 −4)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \ -4 \ -4 \end{pmatrix}.

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Gerade mit den Koordinatenebenen. P₁,₂ liegt in der x₁x₂-Ebene z=0z = 0, P₁,₃ in der x₁x₃-Ebene y=0y = 0 und P₂,₃ in der x₂x₃-Ebene x=0x = 0.

Um Schnittpunkte zweier Geraden zu finden, setzt du ihre Gleichungen gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. Haben alle drei Gleichungen dieselbe Lösung, schneiden sich die Geraden.

Bei der Lagebeziehung prüfst du zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind (parallel). Wenn nicht, suchst du nach Schnittpunkten.

Kontrolltipp: Setze deine Lösungen immer in beide ursprünglichen Geradengleichungen ein - so findest du Rechenfehler schnell!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehenKostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Schließ dich Millionen Schülern an

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung

Anwendung: Flugbahnen von Ballon und Flugzeug

Bewegungsgleichungen beschreiben reale Flugbahnen. Der Ballon startet bei A(2/5/0) und ist nach einer Stunde bei B(0/2/1). Seine Geschwindigkeit ist konstant: v⃗=B−A=(−2 −3 1)\vec{v} = B - A = \begin{pmatrix} -2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix} km/h.

Das Flugzeug startet bei C(-34/26/18) mit Geschwindigkeitsvektor u⃗=(60 −60 −30)\vec{u} = \begin{pmatrix} 60 \ -60 \ -30 \end{pmatrix} für 5 Stunden. Seine Stundengeschwindigkeit ist 15u⃗=(12 −12 −6)\frac{1}{5}\vec{u} = \begin{pmatrix} 12 \ -12 \ -6 \end{pmatrix} km/h.

Kollisionsgefahr prüfst du in zwei Schritten: Erst suchst du den Schnittpunkt der Flugbahnen, dann checkst du, ob beide Objekte zur gleichen Zeit dort sind. Hier kreuzen sich die Bahnen bei S(-4/-4/3), aber zu verschiedenen Zeiten.

Die Geschwindigkeitsbeträge berechnest du mit der Vektorlängenformel. Flugzeug: ∣v⃗∣=122+(−12)2+(−6)2=18|\vec{v}| = \sqrt{12² + (-12)² + (-6)²} = 18 km/h, Ballon: (−2)2+(−3)2+12=14≈3,7\sqrt{(-2)² + (-3)² + 1²} = \sqrt{14} ≈ 3,7 km/h.

Realitätscheck: Das Flugzeug ist etwa 5-mal schneller - das passt zu echten Geschwindigkeitsverhältnissen zwischen Flugzeugen und Ballons!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehenKostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Schließ dich Millionen Schülern an

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung

Exponentialfunktionen - Ableitungen und Extremstellen

Funktionsschar fa(x)=2ax⋅eax+1f_a(x) = 2ax \cdot e^{ax} + 1 zeigt verschiedene Verläufe je nach Parameter a. Bei a = 0,5 steigt die Funktion, bei a = -1 fällt sie nach einem Maximum ab.

Die erste Ableitung fa′(x)=2axeax⋅(1+ax)f'_a(x) = 2axe^{ax} \cdot (1 + ax) findest du mit der Produktregel. Für Extremstellen setzt du fa′(x)=0f'_a(x) = 0. Da eax>0e^{ax} > 0 immer gilt, muss $2ax1+ax1 + ax = 0$ sein.

Extremstellen liegen bei x = 0 und x = -1/a. Bei x = 0 ist immer f(0) = 1. Bei x = -1/a hängt die Art des Extremums vom Vorzeichen von a ab.

Die zweite Ableitung fa′′(x)=2a2⋅eax⋅(2+ax)f''_a(x) = 2a² \cdot e^{ax} \cdot (2 + ax) hilft dir bei der Bestimmung von Wendepunkten und der Art der Extremstellen.

Merkhilfe: Bei Exponentialfunktionen ist die e-Funktion nie null - das vereinfacht das Finden von Nullstellen der Ableitung!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehenKostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Schließ dich Millionen Schülern an

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung

Integration und Flächenberechnung

Stammfunktionen von Exponentialfunktionen findest du oft durch geschicktes Raten und Ableiten zur Kontrolle. Bei f−2(x)=−4xe−2x+1f_{-2}(x) = -4xe^{-2x} + 1 ist F−2(x)=2xe−2x+e−2x+xF_{-2}(x) = 2xe^{-2x} + e^{-2x} + x eine Stammfunktion.

Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse berechnest du mit bestimmten Integralen. Da f−2f_{-2} im Intervall [0;1] keine Nullstelle hat und f(-2)(0) = 1 > 0 ist, liegt die gesamte Kurve über der x-Achse.

Der Wendepunkt Wa(−2a;1−4e2)W_a(-\frac{2}{a}; 1-\frac{4}{e²}) ist für jedes a ≠ 0 gegeben. Seine Lage verändert sich mit dem Parameter a systematisch.

Wendetangenten berechnest du, indem du die Steigung im Wendepunkt =zweiteAbleitung= zweite Ableitung bestimmst und die Punkt-Steigungs-Form verwendest.

Integrationstrick: Bei Produkten aus Polynomen und e-Funktionen hilft oft partielle Integration oder das Erraten der Stammfunktion!

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehenKostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Schließ dich Millionen Schülern an

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehenKostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Schließ dich Millionen Schülern an

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehenKostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Schließ dich Millionen Schülern an

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung

Name: Vils Rosenberge Q1 MG3-WEBE 6.6.2023 4. Klausur - Nachschreibtermin Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1 (Grundlagen: 2+2+2+2+2 Punkte)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehenKostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Schließ dich Millionen Schülern an

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung

Wir dachten schon, du fragst nie...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.

Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.

19

Smart Tools NEU

Verwandle diesen Lernzettel in: ✓ 50+ Übungsfragen ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Komplette Probeklausur ✓ Aufsatzgliederungen

Probeklausur
Quiz
Karteikarten
Aufsatz

Ähnlicher Inhalt

Geraden und Ebenen im Raum

Entdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit Fokus auf Vektoren, Geraden und Ebenen. Erfahren Sie mehr über Lagebeziehungen, Abstände, Winkel und Orthogonalität. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Vertiefung des Verständnisses.

MatheMathe
11

Ebenen im Koordinatensystem

Diese Zusammenfassung erklärt, wie man Ebenen im Koordinatensystem veranschaulicht, einschließlich der Berechnung von Spurpunkten und der Darstellung von Ebenen anhand ihrer Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und analytische Geometrie vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.

MatheMathe
11

Vektorgeometrie Klausur 13 Punkte

Diese Klausur umfasst 13 Punkte im Fach Mathematik LK und behandelt zentrale Themen der Vektorgeometrie, einschließlich der Parameter- und Koordinatenform von Ebenen, Schnittpunkte zwischen Geraden und Ebenen, Normalenvektoren, sowie Abstandsberechnungen zwischen Punkten und Ebenen. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis geometrischer Konzepte.

MatheMathe
11

Vektoren und Kollinearität

Entdecken Sie die Konzepte von Richtungsvektoren, Ortsvektoren und Kollinearität. Diese Zusammenfassung behandelt die Punktprobe, die Symmetrieeigenschaften von Funktionen und die Berechnung von Extrem- und Wendepunkten. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in Vektoren und deren Anwendungen vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Spurpunkte von Ebenen

Erfahren Sie alles über Spurpunkte von Ebenen und deren Schnittpunkte mit Koordinatenachsen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition, die Berechnung von Spurpunkten (S1, S2, S3) und die Bedeutung von Spurgeraden. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Geometrie und analytischer Geometrie beschäftigen.

MatheMathe
12

Ebenengleichungen: Formen & Umwandlungen

Entdecken Sie die verschiedenen Formen von Ebenengleichungen, einschließlich Parameterform, Normalform und Kordinatenform. Lernen Sie die Umwandlung zwischen diesen Formen und die Berechnung von Normalvektoren. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.

MatheMathe
11

Beliebtester Inhalt: Koordinatengeometrie

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

MatheMathe
13

Analytische Geometrie Grundlagen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der analytischen Geometrie, einschließlich der Parameterform von Geraden und Ebenen, Abstandsberechnungen, Lagebeziehungen zwischen Linien und Ebenen sowie Vektoroperationen. Ideal für das Abitur im Leistungskurs! Enthält wichtige Formeln und Beispiele zur Vertiefung des Verständnisses.

MatheMathe
11

Mathematik Abitur: Analysis & Geometrie

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik-Abitur, die Themen wie Differential- und Integralrechnung, analytische Geometrie, Stochastik, Hypothesentests und mehr abdeckt. Ideal für die Prüfungsvorbereitung. Enthält wichtige Konzepte wie Normalverteilung, Volumenberechnung, und graphische Differenzierung.

MatheMathe
11

Mathematik Abitur: Grundlagen bis Stochastik

Entdecke alle wichtigen Themen für das Mathe-Abitur, von den Grundlagen über Analysis, Analytische Geometrie bis hin zu Stochastik. Diese umfassende Zusammenstellung bietet dir die nötigen Konzepte, Formeln und Methoden, um erfolgreich zu lernen und zu bestehen. Ideal für die Vorbereitung auf die Mathematikprüfung.

MatheMathe
12

Abstände in der Analytischen Geometrie

Erlernen Sie die Berechnung von Abständen in der analytischen Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt die Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen, einschließlich paralleler und windschiefer Geraden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der analytischen Geometrie vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Mathe Abitur: Schlüsselthemen

Diese Zusammenfassung deckt alle wichtigen Themen für das Mathe-Abitur ab, einschließlich Analysis, Geometrie und Stochastik. Ideal für Leistungskurse und Grundkurse. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und mehr. Perfekt zur Vorbereitung auf Prüfungen.

MatheMathe
11

Analytische Geometrie Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung der analytischen Geometrie für das Abitur. Behandelt wichtige Themen wie Abstandsberechnung, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen, Vektoroperationen, und geometrische Eigenschaften. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

MatheMathe
11

Ebenen in der Analytischen Geometrie

Erfahren Sie alles über die verschiedenen Formen von Ebenen in der analytischen Geometrie: Parameterform, Koordinatenform und Normalenform. Lernen Sie, wie man Ebenengleichungen aufstellt und umformt, sowie die Konzepte von Spurpunkten und Spurgeraden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der analytischen Geometrie vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Analytische Geometrie Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung der analytischen Geometrie auf 16 Seiten. Behandelt werden Vektoren, Geraden, Ebenen, Lagebeziehungen, Abstände, Winkelberechnungen und Kreise. Ideal für die Abiturvorbereitung. Alle Lernmaterialien sind im Ordner 'Analytische Geometrie' verfügbar.

MatheMathe
11

Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

MatheMathe
8

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

MatheMathe
11

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

MatheMathe
13

Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

MatheMathe
11

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

MatheMathe
11

Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

MatheMathe
11

Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

MatheMathe
7

Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

MatheMathe
6

Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

DeutschDeutsch
11

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

DeutschDeutsch
12

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

DeutschDeutsch
11

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

DeutschDeutsch
11

Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

DeutschDeutsch
12

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

DeutschDeutsch
12

Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

DeutschDeutsch
11

Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

DeutschDeutsch
12

der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

DeutschDeutsch
11

Findest du nicht, was du suchst? Entdecke andere Fächer.

Schüler lieben uns — und du auch.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer