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Mathe /
Einstieg Ähnlichkeit
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Dies ist der Einstieg in den Themenbereich „Ähnlichkeit“ in der Mathematik der 9. Klasse am Gymnasium.
1.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Wir betrachten zwei Dreiecke, die zwei Winkel mit gleichen Größen haben. ܬܐ ܥܠ ܐ b A C a k.b D k.c =(¹ Haupt ähnlichkeitssatz Wenn Dreiecke in der Größe vonzwei Winkeln übereinstimmen, dann sind Sie ähnlich zueinander. Aufgabe 1+2 a, b, c LOT2) 17 A B' k.a E L' ة لا Wir koustruieren (in Gedankend ein drittes Dreieck DEF, sodass es ähulich ist &u SABC mit den Ähnlichkeitsfaktor k. F B₁ = α (1 to R ß Seitenverhältniss: k == Das Dreieck DEF ist kongruent zum Dreiecks A'B'C', weil Sie in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite übereinstimmen (Wsw). Das heißt: Das Dreieck A'B'C' ist ähnlich zum Dreieck ABC. (11 entsprechende Winkel gleichgroß+drei Winkel gemeinsam gleichgroß (2) alle Seifen (drei) sind mit den gleichen Faktor skaliert. => Mit Hauplähulichkeitsatx muss man nur noch rever Winkel überprüfen, von tu entscheiden, ob ruxi Dreiecke ähnlich sind. 21 a, b₁c a) ähnlich nach HÄS (Hauptähnlichkeilysatz = d+p+y = 180° oder y-B-a=180° Strahlensats # B AZAB~ AZA'B' ähnlich, da d' A'B' = k. AB ZA¹ = k·ZA ZB¹ = k· zB hllg (h ist parallel zug) Maßstabberechnung / Ähnl. fkt die Länge der neuen Seite die Länge der alten Seite 40" k... Ähnlichkeitsfaktor alk= 551 = 1,375 Alle Seiten mit dem gleichen Faktor vergrößert." A'B AB I 2. Steckenlängen, Flächeninhalt und Volumina ähnlicher Figuien 2B¹ zB 2.1. Strecken augeh ähnlicher Figuien Sind sevei Nielecke ähnlich zueinander, so sind alle Seiten des einen Vielecks h-ual so lang wie die entsprechenden Seiten des anderen Vielecks. (Alle Seiten werden mit demselben Faktor, k” gestreckt oder gestaucht.) 2.2 Flächen in half ähnlicher...
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Figuien (1) TV-Geräte (16:9) Gerät 1 40" Gerät 2 55" " ऽऽ' ZA' ZA a) Bestimme den Ähulichkeitsfaktor bi Une welchen Faktor ändert sich die Displayfläche? A² = 4². A b7 A=a.b, A'= a·b' Die Displayfläche ist k² = 1,890625-mal größer. (2) a) Gilt der Zusammenhang aus Aufg. 16) auch för rechtw. Dreiecke? Ja, weil sich bei der Vergrößerung nur die Seitenlängen ändern, aber die Winkel gleich bleiben. => A' = K². A b) Gitt der Zusammenhang auch für beliebige Dreiecke? b A=1 chc с a A² = ²A .8. a ähnlich à a c'=h.c c) Ja. Man kann jedes Vieleck in ein Dreieck Serlegen. SATZ: Sind zwei Vieleda Nund w ähnlich zueinander und W ensteht aus V durch maßstäbliche Vergrößerung ! Verkleinerung mit den Ähu- lichkeits faktor k, dann ist der Flächeninhalt con to mal so groß wie der Flächeninhalt von W, genau 4²- Aw = K² Av k=√² A 2.3 Volumen zueinander ähnlicher Körper Wann sind zeoli Polyeder sulinander ähnlich? Zwei Polyeder k₁ und k₂ sind genau dann ähulich zueinander, wenn депеш 2 (1) einander entsprechende Winkel von K, und K₂ glich groß sind und (2) das Längenverhältnis entsprechender Kauten von K₁ und K₂ für alle Kauten gleich groß ist. 4 3 U• 1. Sind entsprechende Flächen ähnlicher Körper ähnlich zueinander? Ja. Winkel v. Seiten verh 2. Sind alle Würfel zueinander ähnlich? Begründe. gleich Ja. Winkel gleich a = alternativ: ADA Zulegong in 2 rechtw. Dreiecks. = k für alle Kaufen A₁ = K². An A₂ = 4².A₂ A'= Ai+ A'z = K² (Antal) A' = K².A 3. Wie verändert sich dass Volumen eines Würfels, wenn man seine Kautenlänge verdoppelt? Skizze: V'=8V V=a3 V² = (2a)³ =2³a3 V=23. V=QV
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Dies ist der Einstieg in den Themenbereich „Ähnlichkeit“ in der Mathematik der 9. Klasse am Gymnasium.
Ähnlichkeit :)
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Kongruenz
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Ähnlichkeitssätze
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s t r a h l e n s ä t z e / ä h n l i c h k e i t
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1.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Wir betrachten zwei Dreiecke, die zwei Winkel mit gleichen Größen haben. ܬܐ ܥܠ ܐ b A C a k.b D k.c =(¹ Haupt ähnlichkeitssatz Wenn Dreiecke in der Größe vonzwei Winkeln übereinstimmen, dann sind Sie ähnlich zueinander. Aufgabe 1+2 a, b, c LOT2) 17 A B' k.a E L' ة لا Wir koustruieren (in Gedankend ein drittes Dreieck DEF, sodass es ähulich ist &u SABC mit den Ähnlichkeitsfaktor k. F B₁ = α (1 to R ß Seitenverhältniss: k == Das Dreieck DEF ist kongruent zum Dreiecks A'B'C', weil Sie in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite übereinstimmen (Wsw). Das heißt: Das Dreieck A'B'C' ist ähnlich zum Dreieck ABC. (11 entsprechende Winkel gleichgroß+drei Winkel gemeinsam gleichgroß (2) alle Seifen (drei) sind mit den gleichen Faktor skaliert. => Mit Hauplähulichkeitsatx muss man nur noch rever Winkel überprüfen, von tu entscheiden, ob ruxi Dreiecke ähnlich sind. 21 a, b₁c a) ähnlich nach HÄS (Hauptähnlichkeilysatz = d+p+y = 180° oder y-B-a=180° Strahlensats # B AZAB~ AZA'B' ähnlich, da d' A'B' = k. AB ZA¹ = k·ZA ZB¹ = k· zB hllg (h ist parallel zug) Maßstabberechnung / Ähnl. fkt die Länge der neuen Seite die Länge der alten Seite 40" k... Ähnlichkeitsfaktor alk= 551 = 1,375 Alle Seiten mit dem gleichen Faktor vergrößert." A'B AB I 2. Steckenlängen, Flächeninhalt und Volumina ähnlicher Figuien 2B¹ zB 2.1. Strecken augeh ähnlicher Figuien Sind sevei Nielecke ähnlich zueinander, so sind alle Seiten des einen Vielecks h-ual so lang wie die entsprechenden Seiten des anderen Vielecks. (Alle Seiten werden mit demselben Faktor, k” gestreckt oder gestaucht.) 2.2 Flächen in half ähnlicher...
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Figuien (1) TV-Geräte (16:9) Gerät 1 40" Gerät 2 55" " ऽऽ' ZA' ZA a) Bestimme den Ähulichkeitsfaktor bi Une welchen Faktor ändert sich die Displayfläche? A² = 4². A b7 A=a.b, A'= a·b' Die Displayfläche ist k² = 1,890625-mal größer. (2) a) Gilt der Zusammenhang aus Aufg. 16) auch för rechtw. Dreiecke? Ja, weil sich bei der Vergrößerung nur die Seitenlängen ändern, aber die Winkel gleich bleiben. => A' = K². A b) Gitt der Zusammenhang auch für beliebige Dreiecke? b A=1 chc с a A² = ²A .8. a ähnlich à a c'=h.c c) Ja. Man kann jedes Vieleck in ein Dreieck Serlegen. SATZ: Sind zwei Vieleda Nund w ähnlich zueinander und W ensteht aus V durch maßstäbliche Vergrößerung ! Verkleinerung mit den Ähu- lichkeits faktor k, dann ist der Flächeninhalt con to mal so groß wie der Flächeninhalt von W, genau 4²- Aw = K² Av k=√² A 2.3 Volumen zueinander ähnlicher Körper Wann sind zeoli Polyeder sulinander ähnlich? Zwei Polyeder k₁ und k₂ sind genau dann ähulich zueinander, wenn депеш 2 (1) einander entsprechende Winkel von K, und K₂ glich groß sind und (2) das Längenverhältnis entsprechender Kauten von K₁ und K₂ für alle Kauten gleich groß ist. 4 3 U• 1. Sind entsprechende Flächen ähnlicher Körper ähnlich zueinander? Ja. Winkel v. Seiten verh 2. Sind alle Würfel zueinander ähnlich? Begründe. gleich Ja. Winkel gleich a = alternativ: ADA Zulegong in 2 rechtw. Dreiecks. = k für alle Kaufen A₁ = K². An A₂ = 4².A₂ A'= Ai+ A'z = K² (Antal) A' = K².A 3. Wie verändert sich dass Volumen eines Würfels, wenn man seine Kautenlänge verdoppelt? Skizze: V'=8V V=a3 V² = (2a)³ =2³a3 V=23. V=QV