Arbeiten mit gebrochenen Zahlen

Gebrochene Zahlen sind alle Zahlen, die du als Bruch oder Dezimalzahl schreiben kannst - sogar ganze Zahlen gehören dazu! Das Formelzeichen dafür ist Q⁺.

Beim Vergleichen von Brüchen wandelst du einfach alles in Dezimalzahlen um. So siehst du sofort, welche Zahl größer ist - zum Beispiel ist ⅕ = 0,2 und damit größer als 0,01.

Periodische Dezimalbrüche erkennst du daran, dass sich bestimmte Ziffern immer wiederholen. Du markierst sie mit einem Strich über die sich wiederholenden Zahlen - wie bei ⅓ = 0,3̄.

Merktipp: Bei der Division von Brüchen multiplizierst du einfach mit dem Kehrwert - "Durch einen Bruch teilen = Mit dem Kehrwert multiplizieren"!

Zuordnungen verstehen

Zuordnungen verbinden zwei Größen miteinander - wie Anzahl der Brötchen und Preis. Du kannst sie auf verschiedene Weise darstellen: als Tabelle, Diagramm oder Gleichung.

Bei proportionalen Zuordnungen $je-mehr-desto-mehr$ steigen beide Werte gleichmäßig. Doppelt so viele Brötchen kosten doppelt so viel Geld. Bei antiproportionalen Zuordnungen $je-mehr-desto-weniger$ ist es umgekehrt - mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit.

Der Dreisatz hilft dir beim Rechnen mit Zuordnungen. Du rechnest zuerst aus, was eine Einheit kostet, und dann hoch auf die gesuchte Menge.

Praxistipp: Frag dich immer: "Wird es mehr oder weniger?" - dann erkennst du sofort, ob es proportional oder antiproportional ist!

Dreiecke richtig beschriften

Dreiecke beschriftest du nach festen Regeln: Eckpunkte bekommen große Buchstaben (A, B, C), Seiten kleine Buchstaben (a, b, c) und Winkel griechische Buchstaben (α, β, γ).

Die Seite a liegt immer gegenüber von Eckpunkt A - das ist das Grundprinzip. So findest du dich in jeder Aufgabe zurecht.

Griechische Buchstaben musst du kennen: α (Alpha), β (Beta), γ (Gamma), δ (Delta). Die brauchst du nicht nur in Mathe, sondern später auch in Physik!

Eselsbrücke: "Große Eckpunkte, kleine Seiten, griechische Winkel" - so vergisst du die Beschriftung nie!

Dreiecke nach Winkeln und Seiten

Spitzwinklige Dreiecke haben alle Winkel unter 90°, rechtwinklige haben einen Winkel mit genau 90° und stumpfwinklige haben einen Winkel über 90°. Die Winkelsumme ist immer 180°!

Nach den Seiten unterscheidest du: Unregelmäßige Dreiecke (alle Seiten verschieden), gleichseitige Dreiecke (alle Seiten gleich, alle Winkel 60°) und gleichschenklige Dreiecke (zwei gleiche Seiten).

Die Dreiecksungleichung ist ein wichtiges Gesetz: Die Summe von zwei Seiten muss immer größer sein als die dritte Seite. Sonst kann kein Dreieck entstehen!

Kontrolltipp: Bei Textaufgaben prüf immer die Dreiecksungleichung - so merkst du sofort, ob deine Lösung stimmen kann!

Wichtige Dreiecksregeln

Die Seiten-Winkel-Relation besagt: Der größeren Seite liegt immer der größere Winkel gegenüber. Das hilft dir beim Schätzen und Kontrollieren.

Der Innenwinkelsatz ist super wichtig: α + β + γ = 180°. Wenn du zwei Winkel kennst, kannst du den dritten sofort ausrechnen!

Für Umfang und Flächeninhalt gibt es feste Formeln. Der Umfang ist immer U = a + b + c, der Flächeninhalt bei rechtwinkligen Dreiecken A = (a × b)/2.

Rechencheck: Die Winkelsumme 180° ist dein bester Freund beim Kontrollieren - sie muss immer stimmen!

Dreiecke konstruieren

Dreieckskonstruktionen folgst du immer dem gleichen Schema: Erst eine Planfigur skizzieren, dann Schritt für Schritt konstruieren.

Bei der WSW-Konstruktion (zwei Winkel, eine Seite) zeichnest du zuerst die Seite und trägst dann die Winkel an. Die SWS-Konstruktion startet mit einer Seite, dann dem Winkel und der zweiten Seite.

Gleichseitige Dreiecke konstruierst du mit dem Zirkel: Um jeden Eckpunkt schlägst du einen Kreis mit der Seitenlänge als Radius.

Konstruktionstipp: Eine saubere Planfigur spart dir viel Zeit und Nerven - investiere die zwei Minuten!

Besondere Linien im Dreieck

Mittelsenkrechte stehen senkrecht auf einer Seite und halbieren sie. Alle drei Mittelsenkrechten treffen sich im Umkreismittelpunkt U.

Seitenhalbierende verbinden einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Sie treffen sich im Schwerpunkt S, der jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1 teilt.

Höhen stehen senkrecht auf den Seiten und können auch außerhalb des Dreiecks liegen. Ihr Schnittpunkt ist der Höhenschnittpunkt H.

Winkelhalbierende teilen die Innenwinkel in zwei gleiche Teile und treffen sich im Inkreismittelpunkt I.

Merkspruch: "UMSH" - Umkreis, Mittelsenkrechte, Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt - so behältst du alle besonderen Punkte im Kopf!

Kongruenz bei Dreiecken

Kongruente Dreiecke sind deckungsgleich - sie stimmen in allen Seiten und Winkeln überein. Mit den Kongruenzsätzen kannst du beweisen, dass zwei Dreiecke kongruent sind.

SSS (alle drei Seiten gleich), SWS (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel), SSW (zwei Seiten und Winkel gegenüber der größeren Seite) und WSW (eine Seite und beide anliegenden Winkel) sind die vier wichtigen Sätze.

Diese Sätze helfen dir zu verstehen, wann ein Dreieck eindeutig bestimmt ist - also wann es nur eine mögliche Form gibt.

Anwendungstrick: Bei Konstruktionsaufgaben erkennst du am Kongruenzsatz, ob die Konstruktion eindeutig möglich ist!

Vierecke unterscheiden

Konvexe Vierecke haben alle Diagonalen im Inneren, bei nicht-konvexen Vierecken liegt mindestens eine Diagonale außerhalb.

Das Quadrat ist das "perfekte" Viereck: Alle Seiten gleich lang, alle Winkel 90°. Umfang = 4a, Flächeninhalt = a².

Vierecke haben eine wichtige Gemeinsamkeit: Die Summe aller Innenwinkel beträgt immer 360° - genau doppelt so viel wie bei Dreiecken!

Alltagsbezug: Quadrate findest du überall - von Fliesen bis Bildschirmen. Die Formeln brauchst du zum Beispiel beim Berechnen von Zimmergrößen!

Spezielle Vierecke

Rechtecke haben gegenüberliegende Seiten gleich lang und alle Winkel 90°. Umfang = 2a + 2b, Flächeninhalt = a × b.

Parallelogramme haben gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Der Flächeninhalt ist Grundseite × Höhe.

Trapeze haben mindestens zwei parallele Seiten, Rauten haben alle Seiten gleich lang. Jedes Viereck hat seine besonderen Eigenschaften und Formeln.

Der Innenwinkelsatz für Vierecke lautet: α + β + γ + δ = 360°. Das ist dein wichtigster Kontrolltrick bei allen Viereck-Aufgaben!

Übungstipp: Zeichne dir die verschiedenen Vierecke mit ihren Eigenschaften auf - so siehst du die Unterschiede auf einen Blick!