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Exponentialfunktion-Klausur
23.8.2021
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E-Phase Datum: 16.06.2021 Aufgabe 2 e Gegeben ist die Funktion f(x) = Freiwillige Probeklausur Name: Fatoş Güclü Aufgabe 1 Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen. Klammern Sie im Ergebnis, falls möglich, den Term mit der e-Funktion aus. a) f(x) = 2x³. e b) g(x) = e-1³+x Dabei gilt Folgendes: = 13 5,5 a) Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion, indem Sie den Funktionsterm zunächst umformen und dann die Produktregel anwenden. 1 Einheit der Funktionswerte 1 Einheit der t-Werte 6 BE c) h(x) = √√√x. ²+1 2+3 u(x) b) Für eine Funktion der Form f(x) kann man auch eine eigene Ableitungsregel aufstellen, die v(x) sogenannte Quotientenregel. Sie besagt, dass f'(x): u'(x) · v(x) — u(x) · v'(x) (v(x))² mit t > 0 1000 Käfer 1 Jahr 2+5 BE Berechnen Sie diesen Ausdruck für die gegebene Funktion f und weisen Sie nach, dass er mit Ihrem Ergebnis aus a) übereinstimmt. Aufgabe 3 Eine Käferpopulation wird ab einem bestimmten Anfangszeitpunkt beobachtet. Zwar kommen jedes Jahr durch Fortpflanzung neue Käfer hinzu, gleichzeitig wird die Population aber durch natürliche Feinde de- zimiert. Die Entwicklung der Käferpopulation kann durch die folgende Funktion k beschrieben werden: k(t) = (50+25t). e-0,1t 2 12,5 2 2 3 4,5 2+13+3+2+4+5 BE Im Material ist der Graph von k abgebildet. a) Zeigen Sie, dass die Käferpopulation zu Beobachtungsbeginn aus 50.000 Exemplaren besteht. b) Berechnen Sie ohne Bezugnahme auf den Graphen von k die Extrem- und Wendepunkte des Graphen. Verwenden Sie dabei ohne Nachweis, dass...
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k"(t) = (-4,5+0,25t)e-0,¹. c) Begründen Sie das Grenzwertverhalten des Graphen für t → ∞ anhand des Funktionsterms von k und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. d) Nutzen Sie Ihre bisher gewonnenen Erkenntnisse, um die Achsen im Material sinnvoll zu skalieren. e) Beschreiben Sie die Bedeutung der Angabe k'(35) < 0 im Sachzusammenhang. f) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangente g(t) an den Graphen von k an der Stelle t = 55 und zeichnen Sie sie im Material ein. Mathe-Klausur fcx) = 2× f'(x) = 2x x 1a) NR: b) gcx) = e 1) =e = (c) h(x) = √X h'(x): H Nr 2 a f(x) = ²x ex X X ze X e e +X g'(x) = ( − 3 x ² + 1). e- x³ + x = 3 C e 3 e b) f(x) = X (2x X 2 =2 X 1. +² e 3 2+1 √x².201 2x+1 7 U x 3 . · e übereinstimmen =e^ ( - ² + 1 ) * (-2) + A 3 ex (x e + 6ײ) 2x+1 2x+1 X ((√x¹2) (27X² + (2)2 2 mit 4 2 6x² + ✓ X 2x+1 e 2x) ✓ + ด) X ✓ . ^ 271 2x1 VIA ✓ ✓ 3 a' k(t) = (50 +25t). e k (0) = 50. b) Extrempunut berechnen: h(t) = (50 + 25t)・ e J k' (t) = (50 + 25t) · (-0,1). e -0,1t e 3 e e e e k' (t) = 0 0,1t 11 -0,1t = 50 1000 = 50,000 ✓ ✓ Es liegt vor. -Oint O Ź k" (t) = (-4₁5 + 0,25€) k" (8) * 1,12 >TP k (8) ☆ 11 2.33 ✓ A: -0,1t 0,1t V Wendepunkt berechnen: k" (t) = (-4₁5 + 0,25€). e k"(t) = 0 -0,16 + ·((50 +25t)· (0,1) + 25) C-5 +25) (-5€ +20)✓ old eoint 2 = Ont -0,10 + Gid +20=0 = St t k"(8) <0 = 0.25t e = -0,1€ ein Tiefpunut bei TPC 81112,33) 1-20 -20 1: (-5) A HP 0-4,5 +0.25+ 114.5 4.5 18 ✓ 25 10.25 ✓ Fortsetzung Nr 3: 4" (t) = (-4₁51 0.25€). e. k" (t) = (-4,5 +0,25€) e-oilt e-vilt dit C 2 . ((-4,5+ 20 3 10 0,1t Wenn man für t wenn die gehen würde, dann Mal aussterben und eines k" (18) ≈ 0.04 => R-L-W k (18) x 82,65 A: ES liegt Ⓒ) lim. ka) (-415+ 0,25+) e t48 (-0,1). e => WP (18 ein wendepunut bei . Fatos Guclu 1+1 40 es 0,25€). (-0,^) + 0,25) A 404 +0,2,5) · e-out Bry Tages für immer existieren würden. ✓ 01.t gabe mehr der Käferpopulation. Aus diesem das Grenzwertverhalten. -Sive. ✓ = O Math. Begründung Schilt t-s∞ einsetzen würde, d.h. aussterben e Daver, bzw. Zeit oder Jahre ins unendliche würden die Käfer irgendwann keine Entwicklung Grund des Graphen u 10%, e) k (35) < 0 Die Wachstumirate der Käfer bei kleiner als ist vo -ant 82,65) WP (18182,65) vor ✓ 0,25 ist auch da würden und nich it ✓ ca. 35 Jahren eventuell immer 1bzw. beliägt -2, da weniger Käfer existieren/ und night komplett aussterben. Siehe Nr. 36) f) k (t) = (50 + k' (t) = k(55) e ű e +256) -aut 01.55 ·m x = 0,48 ks (55) ≈ 5,82 Formel: I 32,27 = g(t) = -0,48 x ² + . out .e (-3/² t +20) (-52-55 + ✓ y=mx+ n 5. 82. = -0.48 · 55 +h 5.82 -26,4 C 32122 t=55 th ✓ 201 ✓ 1+ 26.4 Material k(t) 120 1x0 100 $ 80 70 600 SO 40 30 20 :✓ 10 b 10 20 30 g 40 50 60 70 80