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Exponentialfunktion-Klausur
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E-Phase Datum: 16.06.2021 Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2 Freiwillige Probeklausur Aufgabe 1 6 BE Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen. Klammern Sie im Ergebnis, falls möglich, den Term mit der e-Funktion aus. a) f(x) = 2x³. et b) g(x) = e-z¹+z u(x) v(x) sogenannte Quotientenregel. Sie besagt, dass Name: Fatoş Güclü b) Für eine Funktion der Form f(x) = = = 13 a) Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion, indem Sie den Funktionsterm zunächst umformen und dann die Produktregel anwenden. 5,5 u'(x) v(x) - u(x). v'(x) (v(x))² c) h(x)=√√r. ²x+1 2+3 Dabei gilt Folgendes: 1 Einheit der Funktionswerte 1 Einheit der t-Werte 2+5 BE kann man auch eine eigene Ableitungsregel aufstellen, die Berechnen Sie diesen Ausdruck für die gegebene Funktion f und weisen Sie nach, dass er mit Ihrem Ergebnis aus a) übereinstimmt. 2 12,5 2 2 3 4,5 2+13+3+2+4+5 BE Aufgabe 3 Eine Käferpopulation wird ab einem bestimmten Anfangszeitpunkt beobachtet. Zwar kommen jedes Jahr durch Fortpflanzung neue Käfer hinzu, gleichzeitig wird die Population aber durch natürliche Feinde de- zimiert. Die Entwicklung der Käferpopulation kann durch die folgende Funktion k beschrieben werden: k(t) = (50+25t) -e-0,1t mit t≥ 0 1000 Käfer = 1 Jahr Im Material ist der Graph von k abgebildet. a) Zeigen Sie, dass die Käferpopulation zu Beobachtungsbeginn aus 50.000 Exemplaren besteht. b) Berechnen Sie ohne Bezugnahme auf den Graphen von k die Extrem- und Wendepunkte des Graphen. Verwenden Sie dabei ohne Nachweis, dass...
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k" (t) = (-4,5+0,25t)e-0,1t c) Begründen Sie das Grenzwertverhalten des Graphen für t→∞o anhand des Funktionsterms von k und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. d) Nutzen Sie Ihre bisher gewonnenen Erkenntnisse, um die Achsen im Material sinnvoll zu skalieren. e) Beschreiben Sie die Bedeutung der Angabe k'(35) < 0 im Sachzusammenhang. f) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangente g(t) an den Graphen von k an der Stelle t = 55 und zeichnen Sie sie im Material ein. Mathe-Klausur 3 1) a) f(x) = 2x³.et NR: f'(x) = 2x b) gcx? Nr 2) a f(x) = 11 =e C c) h(x)=√x H b) f(x) ex xx/xx X e X x F₁(x) = e +X 3 g'(x) = (-3x² + 1) e-x³ + x G X . 3 x (2x e e X e X X +3 X . e √x². 201 f'(x) = (ex 3 D X 7 + ex . . 3 übereinstimmen e X² =e^(- ² + 1) te 2X14 ((1) 2) + 277) 2x+1 (21X¹ 277) + 6ײ) 2×11 2x+1 + X ▾ 2 ex (x² 4 x ²) - (ex (x²)² И x² ✓ 7 6x mit (a) ? + 2 2x+1 ● 2x) ✓ e S X ✓ TA 2x1 ✓ 3) a k(t) = (50 +25€). e k(0) = 50 50 1000 = b) Extrempunut berechnen: h(t) = (50 + 25t) e V k' (t) = (50 + 25t) · (-0,1). e out + -0,10 d e Ĉ e ki(t) = 0 e vitt -0,1t é -0.ht A = 0 Ź k" (t) = (-4,5 + 0,25€) k" (8) * - 1,12 этр k (8) ☆ 1 1 2 3 3 ✓ ( 50.000 ✓ =03 e ((50+25t)· (0,1) +25) (-5-²/² + +25) +20)✓ • -0,10 0.1t Wendepunut berechnen: k" (t) = (-4₁5 + 0,25€). e е k" (t) = 0 -0,16 7 e -=√² + 20 = 0 2 - 0,16 St = - 01t H t (1 = k" (8) <0 HP -20 -20 J 8 A: Es liegt ein Tiefpunut bei TPC 81112,33) vor. -0,1t 0=-4,5 +0.25t 1+4.5 4.5 = 0,25t 18 1-20 1: 1: (-) ✓ ✓ 125 10.25 Fortsetzung Nr 3: 4" (t) = (-4151 0.25€).e k" (t) = (-4₁₁5 + 0,25+) -0,1t (4 a (1 e O 2 -Sie 0₁1t o, it . ( Ch 0,1t (-0,1)e-0 ( (-4,5 + 0,25€). (-0,^) + 0,25) g 20 to, 2,5) 2) lim, ka) (-4,5 + 0,25+). 848 gehen würde, clann Mal aussterben und 1 त k" (18) ≈ 0.04 =D R-L-W I 140x k (18) x 82,65 A: Es liegt ein Wendepunut bei es 40 Fatoş Guclu => WP (18182,65) g +) würde, dann würden die By for immer existieren würden. ✓ Math. Begründung fehlt Wenn man für + t-s∞ einsetzen würde, d.n. wenn die Daver, bzw. Zeit oder Jahre ins unendliche kafer irgendwann ✓ 01.t mehr der Käferpopulation. Aus diesem. das Grenzwertverhalten. + eines Tages aussterben bzw. beträgt -2, da weniger Käfer existieren / und gabe keine Entwicklung des Graphen u WP (18/82.65) vor cont e worden Grund ist auch 10⁰, da • 0,25 und ✓ e) k (35) 20 Die Wachstumrate der Käfer bei ca. 35 Jahren kleiner als ist O eventuell immer hichit ✓ nicht komplett aussterben. Siehe Nr. 36) f) k (t). k' (t) = k (55) ≈ e -01t Formel: (50 +25€).e е (-3²t +20) ( - 22.55 +20) ✓ 01.55 im x = 0.48 k (55) ≈ 5,82 y=mx²+ n 25 82. 5.82 f 21 32,27 = g(t) = -0,48 x ² + - -9,At ·0.48 55 th - 26,4 C 32122 t = 55 ты ✓ ✓ 1+ 26.4 Material k(t) 120 100 go 80 R 60 SO 40 30 20 10 T b Ao 20 30 g 40 50 60 ad 80 got ✓