Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung
Diese Seite konzentriert sich auf die natürliche Exponentialfunktion und ihre besonderen Eigenschaften.
Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form fx = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist, eine irrationale Zahl mit dem Wert etwa 2,71828...
Definition: Die Eulersche Zahl e ist eine mathematische Konstante und die Basis der natürlichen Exponentialfunktion.
Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass jede Exponentialfunktion auf sie zurückgeführt werden kann:
aˣ = e^x⋅ln(a)
Highlight: Diese Umformung ermöglicht es, Eigenschaften der e-Funktion auf alle Exponentialfunktionen zu übertragen.
Für die e-Funktion gelten besondere Potenzgesetze:
e⁰ = 1, eˣ · eʸ = e^x+y, exʸ = e^x⋅y
Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft:
Example: Für fx = eˣ gilt f'x = eˣ. Die Funktion ist also ihre eigene Ableitung.
Allgemein gilt für Exponentialfunktionen:
Wenn fx = aˣ a>0, dann ist f'x = f'0 · aˣ
Diese Eigenschaften machen die e-Funktion besonders wichtig in der Analysis und in vielen Anwendungsgebieten.