Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Exponentialfunktion

E funktion

Lerne die Exponentialfunktion: Aufgaben, Formeln und Beispiele

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Öffnen

Lerne die Exponentialfunktion: Aufgaben, Formeln und Beispiele

Lea

@lea_ed8cd3

33 Follower

Die Exponentialfunktion ist eine grundlegende mathematische Funktion, die exponentielles Wachstum oder Zerfall beschreibt. Sie hat die Form f(x) = c·aˣ, wobei a die Basis und c der Anfangswert ist. Wichtige Eigenschaften sind der Verlauf durch den Punkt (0,c), keine Nullstellen und die Annäherung an die x-Achse für bestimmte Werte. Die Ableitung der Exponentialfunktion ergibt sich als f'(x) = c·ln(a)·aˣ. Besonders bedeutsam ist die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e (Eulersche Zahl). Der natürliche Logarithmus ermöglicht die Umwandlung jeder Exponentialfunktion in eine e-Funktion. Anwendungen finden sich bei exponentiellem Wachstum, z.B. in der Biologie oder Wirtschaft.

4.3.2021

1725

FOTOMJI
n
exponentielles Wachstum / Zerfall
f(x) =
f'(x) = c.ln(a) ağ
exponentielles Wachstum
G (0): a = G(1)
G(1) a
G(0)
1
G (n)
24
48
2
77

Öffnen

Eigenschaften und Anwendungen von Exponentialfunktionen

Diese Seite vertieft das Verständnis von Exponentialfunktionen und ihren Anwendungen.

Die Exponentialfunktion f(x) = c·aˣ (mit a > 0; a ≠ 1) besitzt wichtige Eigenschaften:

Keine Nullstellen, der Graph verläuft über der x-Achse
Der Graph verläuft durch den Punkt (0,c)
Für sehr große x-Werte bei a < 1 bzw. sehr kleine x-Werte bei a > 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Achse beliebig an

Highlight: Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen, was sie von vielen anderen Funktionstypen unterscheidet.

Für praktische Anwendungen, wie die Bestimmung eines Zeitraums, in dem sich ein Bestand um einen bestimmten Faktor ändert, werden Exponentialgleichungen gelöst.

Beispiel: Um den Zeitraum zu ermitteln, in dem sich ein Bestand um ein Zehntel reduziert, löst man die Gleichung 50·0,6ˣ = 5.

Die Lösung solcher Gleichungen erfolgt oft durch Logarithmieren:

Definition: Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt: log_a(b) = x genau dann, wenn aˣ = b.

Die Seite erklärt auch den Unterschied zwischen exponentiellem Wachstum (a > 1) und exponentiellem Zerfall (0 < a < 1).

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor bei exponentiellem Zerfall wird als a = 1 - p berechnet, wobei p die prozentuale Abnahme ist.

Öffnen

Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Diese Seite konzentriert sich auf die natürliche Exponentialfunktion und ihre besonderen Eigenschaften.

Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form f(x) = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist, eine irrationale Zahl mit dem Wert etwa 2,71828...

Definition: Die Eulersche Zahl e ist eine mathematische Konstante und die Basis der natürlichen Exponentialfunktion.

Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass jede Exponentialfunktion auf sie zurückgeführt werden kann:

aˣ = e^(x·ln(a))

Highlight: Diese Umformung ermöglicht es, Eigenschaften der e-Funktion auf alle Exponentialfunktionen zu übertragen.

Für die e-Funktion gelten besondere Potenzgesetze:

e⁰ = 1, eˣ · eʸ = e^(x+y), (eˣ)ʸ = e^(x·y)

Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft:

Example: Für f(x) = eˣ gilt f'(x) = eˣ. Die Funktion ist also ihre eigene Ableitung.

Allgemein gilt für Exponentialfunktionen:

Wenn f(x) = aˣ (a > 0), dann ist f'(x) = f'(0) · aˣ

Diese Eigenschaften machen die e-Funktion besonders wichtig in der Analysis und in vielen Anwendungsgebieten.

Öffnen

Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen

Diese Seite behandelt den natürlichen Logarithmus und seine Anwendung bei der Ableitung von Exponentialfunktionen.

Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist nur für positive Werte definiert und steht in enger Beziehung zur e-Funktion:

eˣ = b ⇔ x = ln(b)

Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e.

Eine wichtige Eigenschaft ist:

ln(eˣ) = x

Der natürliche Logarithmus ermöglicht es, jede Exponentialfunktion f(x) = aˣ mit a > 0 als e-Funktion darzustellen:

f(x) = aˣ = (e^ln(a))ˣ = e^(x·ln(a))

Highlight: Diese Umformung ist entscheidend für die Ableitung von Exponentialfunktionen.

Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = aˣ lässt sich nun wie folgt herleiten:

f'(x) = ln(a) · e^(x·ln(a)) = ln(a) · aˣ

Example: Für f(x) = 2ˣ ergibt sich f'(x) = ln(2) · 2ˣ

Diese Formel zeigt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion proportional zur Funktion selbst ist, mit dem Proportionalitätsfaktor ln(a).

Vocabulary: Der Proportionalitätsfaktor ln(a) wird auch als Wachstumsrate bezeichnet.

Die Seite schließt mit der Anwendung des natürlichen Logarithmus zur Lösung von Exponentialgleichungen, was in vielen praktischen Situationen nützlich ist.

Öffnen

Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum

Diese Seite führt in die Grundlagen der Exponentialfunktionen und des exponentiellen Wachstums ein.

Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion wird als f(x) = c·aˣ dargestellt, wobei c der Anfangsbestand und a die Basis ist. Bei exponentiellem Wachstum ist a > 1, bei exponentiellem Zerfall 0 < a < 1.

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = c·aˣ mit a > 0 und a ≠ 1.

Für das exponentielle Wachstum wird der Wachstumsfaktor a als a = 1 + p berechnet, wobei p die prozentuale Zunahme darstellt.

Beispiel: Bei einer 80%igen Zunahme wäre a = 1 + 0,8 = 1,8.

Die Ableitung einer Exponentialfunktion wird als f'(x) = c·ln(a)·aˣ angegeben.

Highlight: Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist proportional zur Funktion selbst, was eine einzigartige Eigenschaft darstellt.

Zur Bestimmung des Wachstumsfaktors aus gegebenen Daten kann der Mittelwert der Quotienten aufeinanderfolgender Werte berechnet werden.

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor gibt an, um welchen Faktor sich eine Größe in einem bestimmten Zeitintervall ändert.

Die Seite endet mit der Erwähnung der Stammfunktion einer Exponentialfunktion, die als F(x) = (c / ln(a)) · aˣ angegeben wird.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Exponentialfunktion

E funktion

Lerne die Exponentialfunktion: Aufgaben, Formeln und Beispiele

Lea

@lea_ed8cd3

33 Follower

4.3.2021

1725

11/12

Mathe

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Kostenlose Notizen für jedes Fach, erstellt von den besten Schülern

Bekomme Noten mit intelligenter KI-Unterstützung

Lerne schlauer, weniger Stress - Jederzeit und überall

Mit E-Mail anmelden

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Eigenschaften und Anwendungen von Exponentialfunktionen

Diese Seite vertieft das Verständnis von Exponentialfunktionen und ihren Anwendungen.

Die Exponentialfunktion f(x) = c·aˣ (mit a > 0; a ≠ 1) besitzt wichtige Eigenschaften:

Keine Nullstellen, der Graph verläuft über der x-Achse
Der Graph verläuft durch den Punkt (0,c)
Für sehr große x-Werte bei a < 1 bzw. sehr kleine x-Werte bei a > 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Achse beliebig an

Highlight: Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen, was sie von vielen anderen Funktionstypen unterscheidet.

Für praktische Anwendungen, wie die Bestimmung eines Zeitraums, in dem sich ein Bestand um einen bestimmten Faktor ändert, werden Exponentialgleichungen gelöst.

Beispiel: Um den Zeitraum zu ermitteln, in dem sich ein Bestand um ein Zehntel reduziert, löst man die Gleichung 50·0,6ˣ = 5.

Die Lösung solcher Gleichungen erfolgt oft durch Logarithmieren:

Definition: Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt: log_a(b) = x genau dann, wenn aˣ = b.

Die Seite erklärt auch den Unterschied zwischen exponentiellem Wachstum (a > 1) und exponentiellem Zerfall (0 < a < 1).

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor bei exponentiellem Zerfall wird als a = 1 - p berechnet, wobei p die prozentuale Abnahme ist.

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Kostenlose Notizen für jedes Fach, erstellt von den besten Schülern

Bekomme Noten mit intelligenter KI-Unterstützung

Lerne schlauer, weniger Stress - Jederzeit und überall

Mit E-Mail anmelden

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Diese Seite konzentriert sich auf die natürliche Exponentialfunktion und ihre besonderen Eigenschaften.

Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form f(x) = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist, eine irrationale Zahl mit dem Wert etwa 2,71828...

Definition: Die Eulersche Zahl e ist eine mathematische Konstante und die Basis der natürlichen Exponentialfunktion.

Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass jede Exponentialfunktion auf sie zurückgeführt werden kann:

aˣ = e^(x·ln(a))

Highlight: Diese Umformung ermöglicht es, Eigenschaften der e-Funktion auf alle Exponentialfunktionen zu übertragen.

Für die e-Funktion gelten besondere Potenzgesetze:

e⁰ = 1, eˣ · eʸ = e^(x+y), (eˣ)ʸ = e^(x·y)

Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft:

Example: Für f(x) = eˣ gilt f'(x) = eˣ. Die Funktion ist also ihre eigene Ableitung.

Allgemein gilt für Exponentialfunktionen:

Wenn f(x) = aˣ (a > 0), dann ist f'(x) = f'(0) · aˣ

Diese Eigenschaften machen die e-Funktion besonders wichtig in der Analysis und in vielen Anwendungsgebieten.

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Kostenlose Notizen für jedes Fach, erstellt von den besten Schülern

Bekomme Noten mit intelligenter KI-Unterstützung

Lerne schlauer, weniger Stress - Jederzeit und überall

Mit E-Mail anmelden

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen

Diese Seite behandelt den natürlichen Logarithmus und seine Anwendung bei der Ableitung von Exponentialfunktionen.

Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist nur für positive Werte definiert und steht in enger Beziehung zur e-Funktion:

eˣ = b ⇔ x = ln(b)

Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e.

Eine wichtige Eigenschaft ist:

ln(eˣ) = x

Der natürliche Logarithmus ermöglicht es, jede Exponentialfunktion f(x) = aˣ mit a > 0 als e-Funktion darzustellen:

f(x) = aˣ = (e^ln(a))ˣ = e^(x·ln(a))

Highlight: Diese Umformung ist entscheidend für die Ableitung von Exponentialfunktionen.

Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = aˣ lässt sich nun wie folgt herleiten:

f'(x) = ln(a) · e^(x·ln(a)) = ln(a) · aˣ

Example: Für f(x) = 2ˣ ergibt sich f'(x) = ln(2) · 2ˣ

Diese Formel zeigt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion proportional zur Funktion selbst ist, mit dem Proportionalitätsfaktor ln(a).

Vocabulary: Der Proportionalitätsfaktor ln(a) wird auch als Wachstumsrate bezeichnet.

Die Seite schließt mit der Anwendung des natürlichen Logarithmus zur Lösung von Exponentialgleichungen, was in vielen praktischen Situationen nützlich ist.

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Kostenlose Notizen für jedes Fach, erstellt von den besten Schülern

Bekomme Noten mit intelligenter KI-Unterstützung

Lerne schlauer, weniger Stress - Jederzeit und überall

Mit E-Mail anmelden

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum

Diese Seite führt in die Grundlagen der Exponentialfunktionen und des exponentiellen Wachstums ein.

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = c·aˣ mit a > 0 und a ≠ 1.

Für das exponentielle Wachstum wird der Wachstumsfaktor a als a = 1 + p berechnet, wobei p die prozentuale Zunahme darstellt.

Beispiel: Bei einer 80%igen Zunahme wäre a = 1 + 0,8 = 1,8.

Die Ableitung einer Exponentialfunktion wird als f'(x) = c·ln(a)·aˣ angegeben.

Highlight: Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist proportional zur Funktion selbst, was eine einzigartige Eigenschaft darstellt.

Zur Bestimmung des Wachstumsfaktors aus gegebenen Daten kann der Mittelwert der Quotienten aufeinanderfolgender Werte berechnet werden.

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor gibt an, um welchen Faktor sich eine Größe in einem bestimmten Zeitintervall ändert.

Die Seite endet mit der Erwähnung der Stammfunktion einer Exponentialfunktion, die als F(x) = (c / ln(a)) · aˣ angegeben wird.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Lerne die Exponentialfunktion: Aufgaben, Formeln und Beispiele

Eigenschaften und Anwendungen von Exponentialfunktionen

Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum

Ähnliche Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

13 M

#1

950 K+

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Lerne die Exponentialfunktion: Aufgaben, Formeln und Beispiele

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Eigenschaften und Anwendungen von Exponentialfunktionen

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum

Ähnliche Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

13 M

#1

950 K+

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.