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Lerne die Exponentialfunktion: Aufgaben, Formeln und Beispiele

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Lerne die Exponentialfunktion: Aufgaben, Formeln und Beispiele

Die Exponentialfunktion ist eine grundlegende mathematische Funktion, die exponentielles Wachstum oder Zerfall beschreibt. Sie hat die Form f(x) = c·aˣ, wobei a die Basis und c der Anfangswert ist. Wichtige Eigenschaften sind der Verlauf durch den Punkt (0,c), keine Nullstellen und die Annäherung an die x-Achse für bestimmte Werte. Die Ableitung der Exponentialfunktion ergibt sich als f'(x) = c·ln(a)·aˣ. Besonders bedeutsam ist die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e (Eulersche Zahl). Der natürliche Logarithmus ermöglicht die Umwandlung jeder Exponentialfunktion in eine e-Funktion. Anwendungen finden sich bei exponentiellem Wachstum, z.B. in der Biologie oder Wirtschaft.

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4.3.2021

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FOTOMJI n exponentielles Wachstum / Zerfall f(x) = f'(x) = c.ln(a) ağ exponentielles Wachstum G (0): a = G(1) G(1) a G(0) 1 G (n) 24 48 2 77

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Eigenschaften und Anwendungen von Exponentialfunktionen

Diese Seite vertieft das Verständnis von Exponentialfunktionen und ihren Anwendungen.

Die Exponentialfunktion f(x) = c·aˣ (mit a > 0; a ≠ 1) besitzt wichtige Eigenschaften:

  1. Keine Nullstellen, der Graph verläuft über der x-Achse
  2. Der Graph verläuft durch den Punkt (0,c)
  3. Für sehr große x-Werte bei a < 1 bzw. sehr kleine x-Werte bei a > 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Achse beliebig an

Highlight: Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen, was sie von vielen anderen Funktionstypen unterscheidet.

Für praktische Anwendungen, wie die Bestimmung eines Zeitraums, in dem sich ein Bestand um einen bestimmten Faktor ändert, werden Exponentialgleichungen gelöst.

Beispiel: Um den Zeitraum zu ermitteln, in dem sich ein Bestand um ein Zehntel reduziert, löst man die Gleichung 50·0,6ˣ = 5.

Die Lösung solcher Gleichungen erfolgt oft durch Logarithmieren:

Definition: Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt: log_a(b) = x genau dann, wenn aˣ = b.

Die Seite erklärt auch den Unterschied zwischen exponentiellem Wachstum (a > 1) und exponentiellem Zerfall (0 < a < 1).

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor bei exponentiellem Zerfall wird als a = 1 - p berechnet, wobei p die prozentuale Abnahme ist.

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Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Diese Seite konzentriert sich auf die natürliche Exponentialfunktion und ihre besonderen Eigenschaften.

Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form f(x) = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist, eine irrationale Zahl mit dem Wert etwa 2,71828...

Definition: Die Eulersche Zahl e ist eine mathematische Konstante und die Basis der natürlichen Exponentialfunktion.

Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass jede Exponentialfunktion auf sie zurückgeführt werden kann:

aˣ = e^(x·ln(a))

Highlight: Diese Umformung ermöglicht es, Eigenschaften der e-Funktion auf alle Exponentialfunktionen zu übertragen.

Für die e-Funktion gelten besondere Potenzgesetze:

e⁰ = 1, eˣ · eʸ = e^(x+y), (eˣ)ʸ = e^(x·y)

Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft:

Example: Für f(x) = eˣ gilt f'(x) = eˣ. Die Funktion ist also ihre eigene Ableitung.

Allgemein gilt für Exponentialfunktionen:

Wenn f(x) = aˣ (a > 0), dann ist f'(x) = f'(0) · aˣ

Diese Eigenschaften machen die e-Funktion besonders wichtig in der Analysis und in vielen Anwendungsgebieten.

FOTOMJI n exponentielles Wachstum / Zerfall f(x) = f'(x) = c.ln(a) ağ exponentielles Wachstum G (0): a = G(1) G(1) a G(0) 1 G (n) 24 48 2 77

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Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen

Diese Seite behandelt den natürlichen Logarithmus und seine Anwendung bei der Ableitung von Exponentialfunktionen.

Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist nur für positive Werte definiert und steht in enger Beziehung zur e-Funktion:

eˣ = b ⇔ x = ln(b)

Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e.

Eine wichtige Eigenschaft ist:

ln(eˣ) = x

Der natürliche Logarithmus ermöglicht es, jede Exponentialfunktion f(x) = aˣ mit a > 0 als e-Funktion darzustellen:

f(x) = aˣ = (e^ln(a))ˣ = e^(x·ln(a))

Highlight: Diese Umformung ist entscheidend für die Ableitung von Exponentialfunktionen.

Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = aˣ lässt sich nun wie folgt herleiten:

f'(x) = ln(a) · e^(x·ln(a)) = ln(a) · aˣ

Example: Für f(x) = 2ˣ ergibt sich f'(x) = ln(2) · 2ˣ

Diese Formel zeigt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion proportional zur Funktion selbst ist, mit dem Proportionalitätsfaktor ln(a).

Vocabulary: Der Proportionalitätsfaktor ln(a) wird auch als Wachstumsrate bezeichnet.

Die Seite schließt mit der Anwendung des natürlichen Logarithmus zur Lösung von Exponentialgleichungen, was in vielen praktischen Situationen nützlich ist.

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4. März 2021

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Lea

@lea_ed8cd3

Die Exponentialfunktionist eine grundlegende mathematische Funktion, die exponentielles Wachstum oder Zerfall beschreibt. Sie hat die Form f(x) = c·aˣ, wobei a die Basis und c der Anfangswert ist. Wichtige Eigenschaften sind der Verlauf durch den Punkt (0,c), keine Nullstellen... Mehr anzeigen

FOTOMJI n exponentielles Wachstum / Zerfall f(x) = f'(x) = c.ln(a) ağ exponentielles Wachstum G (0): a = G(1) G(1) a G(0) 1 G (n) 24 48 2 77

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Eigenschaften und Anwendungen von Exponentialfunktionen

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Die Exponentialfunktion f(x) = c·aˣ (mit a > 0; a ≠ 1) besitzt wichtige Eigenschaften:

  1. Keine Nullstellen, der Graph verläuft über der x-Achse
  2. Der Graph verläuft durch den Punkt (0,c)
  3. Für sehr große x-Werte bei a < 1 bzw. sehr kleine x-Werte bei a > 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Achse beliebig an

Highlight: Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen, was sie von vielen anderen Funktionstypen unterscheidet.

Für praktische Anwendungen, wie die Bestimmung eines Zeitraums, in dem sich ein Bestand um einen bestimmten Faktor ändert, werden Exponentialgleichungen gelöst.

Beispiel: Um den Zeitraum zu ermitteln, in dem sich ein Bestand um ein Zehntel reduziert, löst man die Gleichung 50·0,6ˣ = 5.

Die Lösung solcher Gleichungen erfolgt oft durch Logarithmieren:

Definition: Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt: log_a(b) = x genau dann, wenn aˣ = b.

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Vocabulary: Der Wachstumsfaktor bei exponentiellem Zerfall wird als a = 1 - p berechnet, wobei p die prozentuale Abnahme ist.

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Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Diese Seite konzentriert sich auf die natürliche Exponentialfunktion und ihre besonderen Eigenschaften.

Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form f(x) = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist, eine irrationale Zahl mit dem Wert etwa 2,71828...

Definition: Die Eulersche Zahl e ist eine mathematische Konstante und die Basis der natürlichen Exponentialfunktion.

Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass jede Exponentialfunktion auf sie zurückgeführt werden kann:

aˣ = e^(x·ln(a))

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e⁰ = 1, eˣ · eʸ = e^(x+y), (eˣ)ʸ = e^(x·y)

Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft:

Example: Für f(x) = eˣ gilt f'(x) = eˣ. Die Funktion ist also ihre eigene Ableitung.

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Wenn f(x) = aˣ (a > 0), dann ist f'(x) = f'(0) · aˣ

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Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen

Diese Seite behandelt den natürlichen Logarithmus und seine Anwendung bei der Ableitung von Exponentialfunktionen.

Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist nur für positive Werte definiert und steht in enger Beziehung zur e-Funktion:

eˣ = b ⇔ x = ln(b)

Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e.

Eine wichtige Eigenschaft ist:

ln(eˣ) = x

Der natürliche Logarithmus ermöglicht es, jede Exponentialfunktion f(x) = aˣ mit a > 0 als e-Funktion darzustellen:

f(x) = aˣ = (e^ln(a))ˣ = e^(x·ln(a))

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Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = aˣ lässt sich nun wie folgt herleiten:

f'(x) = ln(a) · e^(x·ln(a)) = ln(a) · aˣ

Example: Für f(x) = 2ˣ ergibt sich f'(x) = ln(2) · 2ˣ

Diese Formel zeigt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion proportional zur Funktion selbst ist, mit dem Proportionalitätsfaktor ln(a).

Vocabulary: Der Proportionalitätsfaktor ln(a) wird auch als Wachstumsrate bezeichnet.

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Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum

Diese Seite führt in die Grundlagen der Exponentialfunktionen und des exponentiellen Wachstums ein.

Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion wird als f(x) = c·aˣ dargestellt, wobei c der Anfangsbestand und a die Basis ist. Bei exponentiellem Wachstum ist a > 1, bei exponentiellem Zerfall 0 < a < 1.

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = c·aˣ mit a > 0 und a ≠ 1.

Für das exponentielle Wachstum wird der Wachstumsfaktor a als a = 1 + p berechnet, wobei p die prozentuale Zunahme darstellt.

Beispiel: Bei einer 80%igen Zunahme wäre a = 1 + 0,8 = 1,8.

Die Ableitung einer Exponentialfunktion wird als f'(x) = c·ln(a)·aˣ angegeben.

Highlight: Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist proportional zur Funktion selbst, was eine einzigartige Eigenschaft darstellt.

Zur Bestimmung des Wachstumsfaktors aus gegebenen Daten kann der Mittelwert der Quotienten aufeinanderfolgender Werte berechnet werden.

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor gibt an, um welchen Faktor sich eine Größe in einem bestimmten Zeitintervall ändert.

Die Seite endet mit der Erwähnung der Stammfunktion einer Exponentialfunktion, die als F(x) = (c / ln(a)) · aˣ angegeben wird.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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