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65
1
Lea
4.3.2021
Mathe
Exponentialfunktionen
2.457
•
4. März 2021
•
Lea
@lea_ed8cd3
Die Exponentialfunktionist eine grundlegende mathematische Funktion, die exponentielles Wachstum... Mehr anzeigen
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Diese Seite vertieft das Verständnis von Exponentialfunktionen und ihren Anwendungen.
Die Exponentialfunktion f = c·aˣ (mit a > 0; a ≠ 1) besitzt wichtige Eigenschaften:
Highlight: Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen, was sie von vielen anderen Funktionstypen unterscheidet.
Für praktische Anwendungen, wie die Bestimmung eines Zeitraums, in dem sich ein Bestand um einen bestimmten Faktor ändert, werden Exponentialgleichungen gelöst.
Beispiel: Um den Zeitraum zu ermitteln, in dem sich ein Bestand um ein Zehntel reduziert, löst man die Gleichung 50·0,6ˣ = 5.
Die Lösung solcher Gleichungen erfolgt oft durch Logarithmieren:
Definition: Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt: log_a = x genau dann, wenn aˣ = b.
Die Seite erklärt auch den Unterschied zwischen exponentiellem Wachstum (a > 1) und exponentiellem Zerfall (0 < a < 1).
Vocabulary: Der Wachstumsfaktor bei exponentiellem Zerfall wird als a = 1 - p berechnet, wobei p die prozentuale Abnahme ist.
Diese Seite konzentriert sich auf die natürliche Exponentialfunktion und ihre besonderen Eigenschaften.
Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form f = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist, eine irrationale Zahl mit dem Wert etwa 2,71828...
Definition: Die Eulersche Zahl e ist eine mathematische Konstante und die Basis der natürlichen Exponentialfunktion.
Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass jede Exponentialfunktion auf sie zurückgeführt werden kann:
aˣ = e^(x·ln(a))
Highlight: Diese Umformung ermöglicht es, Eigenschaften der e-Funktion auf alle Exponentialfunktionen zu übertragen.
Für die e-Funktion gelten besondere Potenzgesetze:
e⁰ = 1, eˣ · eʸ = e^, ʸ = e^(x·y)
Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft:
Example: Für f = eˣ gilt f' = eˣ. Die Funktion ist also ihre eigene Ableitung.
Allgemein gilt für Exponentialfunktionen:
Wenn f = aˣ , dann ist f' = f'(0) · aˣ
Diese Eigenschaften machen die e-Funktion besonders wichtig in der Analysis und in vielen Anwendungsgebieten.
Diese Seite behandelt den natürlichen Logarithmus und seine Anwendung bei der Ableitung von Exponentialfunktionen.
Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln, ist nur für positive Werte definiert und steht in enger Beziehung zur e-Funktion:
eˣ = b ⇔ x = ln(b)
Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e.
Eine wichtige Eigenschaft ist:
ln = x
Der natürliche Logarithmus ermöglicht es, jede Exponentialfunktion f = aˣ mit a > 0 als e-Funktion darzustellen:
f = aˣ = )ˣ = e^(x·ln(a))
Highlight: Diese Umformung ist entscheidend für die Ableitung von Exponentialfunktionen.
Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion f = aˣ lässt sich nun wie folgt herleiten:
f' = ln · e^) = ln(a) · aˣ
Example: Für f = 2ˣ ergibt sich f' = ln(2) · 2ˣ
Diese Formel zeigt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion proportional zur Funktion selbst ist, mit dem Proportionalitätsfaktor ln(a).
Vocabulary: Der Proportionalitätsfaktor ln(a) wird auch als Wachstumsrate bezeichnet.
Die Seite schließt mit der Anwendung des natürlichen Logarithmus zur Lösung von Exponentialgleichungen, was in vielen praktischen Situationen nützlich ist.
Diese Seite führt in die Grundlagen der Exponentialfunktionen und des exponentiellen Wachstums ein.
Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion wird als f = c·aˣ dargestellt, wobei c der Anfangsbestand und a die Basis ist. Bei exponentiellem Wachstum ist a > 1, bei exponentiellem Zerfall 0 < a < 1.
Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Form f = c·aˣ mit a > 0 und a ≠ 1.
Für das exponentielle Wachstum wird der Wachstumsfaktor a als a = 1 + p berechnet, wobei p die prozentuale Zunahme darstellt.
Beispiel: Bei einer 80%igen Zunahme wäre a = 1 + 0,8 = 1,8.
Die Ableitung einer Exponentialfunktion wird als f' = c·ln(a)·aˣ angegeben.
Highlight: Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist proportional zur Funktion selbst, was eine einzigartige Eigenschaft darstellt.
Zur Bestimmung des Wachstumsfaktors aus gegebenen Daten kann der Mittelwert der Quotienten aufeinanderfolgender Werte berechnet werden.
Vocabulary: Der Wachstumsfaktor gibt an, um welchen Faktor sich eine Größe in einem bestimmten Zeitintervall ändert.
Die Seite endet mit der Erwähnung der Stammfunktion einer Exponentialfunktion, die als F = (c / ln(a)) · aˣ angegeben wird.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Julia S
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Marcus B
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Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Lea
@lea_ed8cd3
Die Exponentialfunktionist eine grundlegende mathematische Funktion, die exponentielles Wachstum oder Zerfall beschreibt. Sie hat die Form f(x) = c·aˣ, wobei a die Basis und c der Anfangswert ist. Wichtige Eigenschaften sind der Verlauf durch den Punkt (0,c), keine Nullstellen... Mehr anzeigen
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Die Exponentialfunktion f = c·aˣ (mit a > 0; a ≠ 1) besitzt wichtige Eigenschaften:
Highlight: Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen, was sie von vielen anderen Funktionstypen unterscheidet.
Für praktische Anwendungen, wie die Bestimmung eines Zeitraums, in dem sich ein Bestand um einen bestimmten Faktor ändert, werden Exponentialgleichungen gelöst.
Beispiel: Um den Zeitraum zu ermitteln, in dem sich ein Bestand um ein Zehntel reduziert, löst man die Gleichung 50·0,6ˣ = 5.
Die Lösung solcher Gleichungen erfolgt oft durch Logarithmieren:
Definition: Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt: log_a = x genau dann, wenn aˣ = b.
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Vocabulary: Der Wachstumsfaktor bei exponentiellem Zerfall wird als a = 1 - p berechnet, wobei p die prozentuale Abnahme ist.
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Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form f = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist, eine irrationale Zahl mit dem Wert etwa 2,71828...
Definition: Die Eulersche Zahl e ist eine mathematische Konstante und die Basis der natürlichen Exponentialfunktion.
Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass jede Exponentialfunktion auf sie zurückgeführt werden kann:
aˣ = e^(x·ln(a))
Highlight: Diese Umformung ermöglicht es, Eigenschaften der e-Funktion auf alle Exponentialfunktionen zu übertragen.
Für die e-Funktion gelten besondere Potenzgesetze:
e⁰ = 1, eˣ · eʸ = e^, ʸ = e^(x·y)
Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft:
Example: Für f = eˣ gilt f' = eˣ. Die Funktion ist also ihre eigene Ableitung.
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Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln, ist nur für positive Werte definiert und steht in enger Beziehung zur e-Funktion:
eˣ = b ⇔ x = ln(b)
Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e.
Eine wichtige Eigenschaft ist:
ln = x
Der natürliche Logarithmus ermöglicht es, jede Exponentialfunktion f = aˣ mit a > 0 als e-Funktion darzustellen:
f = aˣ = )ˣ = e^(x·ln(a))
Highlight: Diese Umformung ist entscheidend für die Ableitung von Exponentialfunktionen.
Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion f = aˣ lässt sich nun wie folgt herleiten:
f' = ln · e^) = ln(a) · aˣ
Example: Für f = 2ˣ ergibt sich f' = ln(2) · 2ˣ
Diese Formel zeigt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion proportional zur Funktion selbst ist, mit dem Proportionalitätsfaktor ln(a).
Vocabulary: Der Proportionalitätsfaktor ln(a) wird auch als Wachstumsrate bezeichnet.
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Diese Seite führt in die Grundlagen der Exponentialfunktionen und des exponentiellen Wachstums ein.
Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion wird als f = c·aˣ dargestellt, wobei c der Anfangsbestand und a die Basis ist. Bei exponentiellem Wachstum ist a > 1, bei exponentiellem Zerfall 0 < a < 1.
Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Form f = c·aˣ mit a > 0 und a ≠ 1.
Für das exponentielle Wachstum wird der Wachstumsfaktor a als a = 1 + p berechnet, wobei p die prozentuale Zunahme darstellt.
Beispiel: Bei einer 80%igen Zunahme wäre a = 1 + 0,8 = 1,8.
Die Ableitung einer Exponentialfunktion wird als f' = c·ln(a)·aˣ angegeben.
Highlight: Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist proportional zur Funktion selbst, was eine einzigartige Eigenschaft darstellt.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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