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Brand: Knowunity

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Lea

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Die Exponentialfunktion ist eine grundlegende mathematische Funktion, die exponentielles Wachstum oder Zerfall beschreibt. Sie hat die Form f(x) = c·aˣ, wobei a die Basis und c der Anfangswert ist. Wichtige Eigenschaften sind der Verlauf durch den Punkt (0,c), keine Nullstellen und die Annäherung an die x-Achse für bestimmte Werte. Die Ableitung der Exponentialfunktion ergibt sich als f'(x) = c·ln(a)·aˣ. Besonders bedeutsam ist die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e (Eulersche Zahl). Der natürliche Logarithmus ermöglicht die Umwandlung jeder Exponentialfunktion in eine e-Funktion. Anwendungen finden sich bei exponentiellem Wachstum, z.B. in der Biologie oder Wirtschaft.

4.3.2021

1696

FOTOMJI
n
exponentielles Wachstum / Zerfall
f(x) =
f'(x) = c.ln(a) ağ
exponentielles Wachstum
G (0): a = G(1)
G(1) a
G(0)
1
G (n)
24
48
2
77

Eigenschaften und Anwendungen von Exponentialfunktionen

Diese Seite vertieft das Verständnis von Exponentialfunktionen und ihren Anwendungen.

Die Exponentialfunktion f(x) = c·aˣ (mit a > 0; a ≠ 1) besitzt wichtige Eigenschaften:

Keine Nullstellen, der Graph verläuft über der x-Achse
Der Graph verläuft durch den Punkt (0,c)
Für sehr große x-Werte bei a < 1 bzw. sehr kleine x-Werte bei a > 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Achse beliebig an

Highlight: Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen, was sie von vielen anderen Funktionstypen unterscheidet.

Für praktische Anwendungen, wie die Bestimmung eines Zeitraums, in dem sich ein Bestand um einen bestimmten Faktor ändert, werden Exponentialgleichungen gelöst.

Beispiel: Um den Zeitraum zu ermitteln, in dem sich ein Bestand um ein Zehntel reduziert, löst man die Gleichung 50·0,6ˣ = 5.

Die Lösung solcher Gleichungen erfolgt oft durch Logarithmieren:

Definition: Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt: log_a(b) = x genau dann, wenn aˣ = b.

Die Seite erklärt auch den Unterschied zwischen exponentiellem Wachstum (a > 1) und exponentiellem Zerfall (0 < a < 1).

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor bei exponentiellem Zerfall wird als a = 1 - p berechnet, wobei p die prozentuale Abnahme ist.

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Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Diese Seite konzentriert sich auf die natürliche Exponentialfunktion und ihre besonderen Eigenschaften.

Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form f(x) = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist, eine irrationale Zahl mit dem Wert etwa 2,71828...

Definition: Die Eulersche Zahl e ist eine mathematische Konstante und die Basis der natürlichen Exponentialfunktion.

Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass jede Exponentialfunktion auf sie zurückgeführt werden kann:

aˣ = e^(x·ln(a))

Highlight: Diese Umformung ermöglicht es, Eigenschaften der e-Funktion auf alle Exponentialfunktionen zu übertragen.

Für die e-Funktion gelten besondere Potenzgesetze:

e⁰ = 1, eˣ · eʸ = e^(x+y), (eˣ)ʸ = e^(x·y)

Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft:

Example: Für f(x) = eˣ gilt f'(x) = eˣ. Die Funktion ist also ihre eigene Ableitung.

Allgemein gilt für Exponentialfunktionen:

Wenn f(x) = aˣ (a > 0), dann ist f'(x) = f'(0) · aˣ

Diese Eigenschaften machen die e-Funktion besonders wichtig in der Analysis und in vielen Anwendungsgebieten.

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Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen

Diese Seite behandelt den natürlichen Logarithmus und seine Anwendung bei der Ableitung von Exponentialfunktionen.

Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist nur für positive Werte definiert und steht in enger Beziehung zur e-Funktion:

eˣ = b ⇔ x = ln(b)

Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e.

Eine wichtige Eigenschaft ist:

ln(eˣ) = x

Der natürliche Logarithmus ermöglicht es, jede Exponentialfunktion f(x) = aˣ mit a > 0 als e-Funktion darzustellen:

f(x) = aˣ = (e^ln(a))ˣ = e^(x·ln(a))

Highlight: Diese Umformung ist entscheidend für die Ableitung von Exponentialfunktionen.

Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = aˣ lässt sich nun wie folgt herleiten:

f'(x) = ln(a) · e^(x·ln(a)) = ln(a) · aˣ

Example: Für f(x) = 2ˣ ergibt sich f'(x) = ln(2) · 2ˣ

Diese Formel zeigt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion proportional zur Funktion selbst ist, mit dem Proportionalitätsfaktor ln(a).

Vocabulary: Der Proportionalitätsfaktor ln(a) wird auch als Wachstumsrate bezeichnet.

Die Seite schließt mit der Anwendung des natürlichen Logarithmus zur Lösung von Exponentialgleichungen, was in vielen praktischen Situationen nützlich ist.

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Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum

Diese Seite führt in die Grundlagen der Exponentialfunktionen und des exponentiellen Wachstums ein.

Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion wird als f(x) = c·aˣ dargestellt, wobei c der Anfangsbestand und a die Basis ist. Bei exponentiellem Wachstum ist a > 1, bei exponentiellem Zerfall 0 < a < 1.

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = c·aˣ mit a > 0 und a ≠ 1.

Für das exponentielle Wachstum wird der Wachstumsfaktor a als a = 1 + p berechnet, wobei p die prozentuale Zunahme darstellt.

Beispiel: Bei einer 80%igen Zunahme wäre a = 1 + 0,8 = 1,8.

Die Ableitung einer Exponentialfunktion wird als f'(x) = c·ln(a)·aˣ angegeben.

Highlight: Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist proportional zur Funktion selbst, was eine einzigartige Eigenschaft darstellt.

Zur Bestimmung des Wachstumsfaktors aus gegebenen Daten kann der Mittelwert der Quotienten aufeinanderfolgender Werte berechnet werden.

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor gibt an, um welchen Faktor sich eine Größe in einem bestimmten Zeitintervall ändert.

Die Seite endet mit der Erwähnung der Stammfunktion einer Exponentialfunktion, die als F(x) = (c / ln(a)) · aˣ angegeben wird.

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Eigenschaften und Anwendungen von Exponentialfunktionen

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Die Exponentialfunktion f(x) = c·aˣ (mit a > 0; a ≠ 1) besitzt wichtige Eigenschaften:

Keine Nullstellen, der Graph verläuft über der x-Achse
Der Graph verläuft durch den Punkt (0,c)
Für sehr große x-Werte bei a < 1 bzw. sehr kleine x-Werte bei a > 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Achse beliebig an

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Beispiel: Um den Zeitraum zu ermitteln, in dem sich ein Bestand um ein Zehntel reduziert, löst man die Gleichung 50·0,6ˣ = 5.

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Definition: Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt: log_a(b) = x genau dann, wenn aˣ = b.

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Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

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Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass jede Exponentialfunktion auf sie zurückgeführt werden kann:

aˣ = e^(x·ln(a))

Highlight: Diese Umformung ermöglicht es, Eigenschaften der e-Funktion auf alle Exponentialfunktionen zu übertragen.

Für die e-Funktion gelten besondere Potenzgesetze:

e⁰ = 1, eˣ · eʸ = e^(x+y), (eˣ)ʸ = e^(x·y)

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Example: Für f(x) = eˣ gilt f'(x) = eˣ. Die Funktion ist also ihre eigene Ableitung.

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Wenn f(x) = aˣ (a > 0), dann ist f'(x) = f'(0) · aˣ

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Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist nur für positive Werte definiert und steht in enger Beziehung zur e-Funktion:

eˣ = b ⇔ x = ln(b)

Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e.

Eine wichtige Eigenschaft ist:

ln(eˣ) = x

Der natürliche Logarithmus ermöglicht es, jede Exponentialfunktion f(x) = aˣ mit a > 0 als e-Funktion darzustellen:

f(x) = aˣ = (e^ln(a))ˣ = e^(x·ln(a))

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Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = aˣ lässt sich nun wie folgt herleiten:

f'(x) = ln(a) · e^(x·ln(a)) = ln(a) · aˣ

Example: Für f(x) = 2ˣ ergibt sich f'(x) = ln(2) · 2ˣ

Diese Formel zeigt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion proportional zur Funktion selbst ist, mit dem Proportionalitätsfaktor ln(a).

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Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum

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Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = c·aˣ mit a > 0 und a ≠ 1.

Für das exponentielle Wachstum wird der Wachstumsfaktor a als a = 1 + p berechnet, wobei p die prozentuale Zunahme darstellt.

Beispiel: Bei einer 80%igen Zunahme wäre a = 1 + 0,8 = 1,8.

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