Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen
Diese Seite behandelt den natürlichen Logarithmus und seine Anwendung bei der Ableitung von Exponentialfunktionen.
Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist nur für positive Werte definiert und steht in enger Beziehung zur e-Funktion:
eˣ = b ⇔ x = ln(b)
Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e.
Eine wichtige Eigenschaft ist:
ln(eˣ) = x
Der natürliche Logarithmus ermöglicht es, jede Exponentialfunktion f(x) = aˣ mit a > 0 als e-Funktion darzustellen:
f(x) = aˣ = (e^ln(a))ˣ = e^(x·ln(a))
Highlight: Diese Umformung ist entscheidend für die Ableitung von Exponentialfunktionen.
Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = aˣ lässt sich nun wie folgt herleiten:
f'(x) = ln(a) · e^(x·ln(a)) = ln(a) · aˣ
Example: Für f(x) = 2ˣ ergibt sich f'(x) = ln(2) · 2ˣ
Diese Formel zeigt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion proportional zur Funktion selbst ist, mit dem Proportionalitätsfaktor ln(a).
Vocabulary: Der Proportionalitätsfaktor ln(a) wird auch als Wachstumsrate bezeichnet.
Die Seite schließt mit der Anwendung des natürlichen Logarithmus zur Lösung von Exponentialgleichungen, was in vielen praktischen Situationen nützlich ist.