Eigenschaften und Anwendungen von Exponentialfunktionen

Diese Seite vertieft das Verständnis von Exponentialfunktionen und ihren Anwendungen.

Die Exponentialfunktion f(x) = c·aˣ (mit a > 0; a ≠ 1) besitzt wichtige Eigenschaften:

1. Keine Nullstellen, der Graph verläuft über der x-Achse
2. Der Graph verläuft durch den Punkt (0,c)
3. Für sehr große x-Werte bei a < 1 bzw. sehr kleine x-Werte bei a > 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Achse beliebig an

Highlight: Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen, was sie von vielen anderen Funktionstypen unterscheidet.

Für praktische Anwendungen, wie die Bestimmung eines Zeitraums, in dem sich ein Bestand um einen bestimmten Faktor ändert, werden Exponentialgleichungen gelöst.

Beispiel: Um den Zeitraum zu ermitteln, in dem sich ein Bestand um ein Zehntel reduziert, löst man die Gleichung 50·0,6ˣ = 5.

Die Lösung solcher Gleichungen erfolgt oft durch Logarithmieren:

Definition: Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt: log_a(b) = x genau dann, wenn aˣ = b.

Die Seite erklärt auch den Unterschied zwischen exponentiellem Wachstum (a > 1) und exponentiellem Zerfall (0 < a < 1).

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor bei exponentiellem Zerfall wird als a = 1 - p berechnet, wobei p die prozentuale Abnahme ist.

Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen

Diese Seite behandelt den natürlichen Logarithmus und seine Anwendung bei der Ableitung von Exponentialfunktionen.

Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist nur für positive Werte definiert und steht in enger Beziehung zur e-Funktion:

eˣ = b ⇔ x = ln(b)

Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e.

Eine wichtige Eigenschaft ist:

ln(eˣ) = x

Der natürliche Logarithmus ermöglicht es, jede Exponentialfunktion f(x) = aˣ mit a > 0 als e-Funktion darzustellen:

f(x) = aˣ = (e^ln(a))ˣ = e^(x·ln(a))

Highlight: Diese Umformung ist entscheidend für die Ableitung von Exponentialfunktionen.

Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = aˣ lässt sich nun wie folgt herleiten:

f'(x) = ln(a) · e^(x·ln(a)) = ln(a) · aˣ

Example: Für f(x) = 2ˣ ergibt sich f'(x) = ln(2) · 2ˣ

Diese Formel zeigt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion proportional zur Funktion selbst ist, mit dem Proportionalitätsfaktor ln(a).

Vocabulary: Der Proportionalitätsfaktor ln(a) wird auch als Wachstumsrate bezeichnet.

Die Seite schließt mit der Anwendung des natürlichen Logarithmus zur Lösung von Exponentialgleichungen, was in vielen praktischen Situationen nützlich ist.