Eigenschaften und Anwendungen von Exponentialfunktionen

Diese Seite vertieft das Verständnis von Exponentialfunktionen und ihren Anwendungen.

Die Exponentialfunktion f(x) = c·aˣ (mit a > 0; a ≠ 1) besitzt wichtige Eigenschaften:

1. Keine Nullstellen, der Graph verläuft über der x-Achse
2. Der Graph verläuft durch den Punkt (0,c)
3. Für sehr große x-Werte bei a < 1 bzw. sehr kleine x-Werte bei a > 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Achse beliebig an

Highlight: Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen, was sie von vielen anderen Funktionstypen unterscheidet.

Für praktische Anwendungen, wie die Bestimmung eines Zeitraums, in dem sich ein Bestand um einen bestimmten Faktor ändert, werden Exponentialgleichungen gelöst.

Beispiel: Um den Zeitraum zu ermitteln, in dem sich ein Bestand um ein Zehntel reduziert, löst man die Gleichung 50·0,6ˣ = 5.

Die Lösung solcher Gleichungen erfolgt oft durch Logarithmieren:

Definition: Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt: log_a(b) = x genau dann, wenn aˣ = b.

Die Seite erklärt auch den Unterschied zwischen exponentiellem Wachstum (a > 1) und exponentiellem Zerfall (0 < a < 1).

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor bei exponentiellem Zerfall wird als a = 1 - p berechnet, wobei p die prozentuale Abnahme ist.

Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum

Diese Seite führt in die Grundlagen der Exponentialfunktionen und des exponentiellen Wachstums ein.

Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion wird als f(x) = c·aˣ dargestellt, wobei c der Anfangsbestand und a die Basis ist. Bei exponentiellem Wachstum ist a > 1, bei exponentiellem Zerfall 0 < a < 1.

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = c·aˣ mit a > 0 und a ≠ 1.

Für das exponentielle Wachstum wird der Wachstumsfaktor a als a = 1 + p berechnet, wobei p die prozentuale Zunahme darstellt.

Beispiel: Bei einer 80%igen Zunahme wäre a = 1 + 0,8 = 1,8.

Die Ableitung einer Exponentialfunktion wird als f'(x) = c·ln(a)·aˣ angegeben.

Highlight: Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist proportional zur Funktion selbst, was eine einzigartige Eigenschaft darstellt.

Zur Bestimmung des Wachstumsfaktors aus gegebenen Daten kann der Mittelwert der Quotienten aufeinanderfolgender Werte berechnet werden.

Vocabulary: Der Wachstumsfaktor gibt an, um welchen Faktor sich eine Größe in einem bestimmten Zeitintervall ändert.

Die Seite endet mit der Erwähnung der Stammfunktion einer Exponentialfunktion, die als F(x) = (c / ln(a)) · aˣ angegeben wird.