Exponentielles Wachstum und lineares Wachstum
Diese Seite bietet einen umfassenden Überblick über exponentielles Wachstum und lineares Wachstum für Schüler der 10. Klasse im Mathematikunterricht. Sie erklärt die grundlegenden Konzepte, Formeln und Berechnungsmethoden für beide Wachstumsarten.
Wachstumsfaktor und Wachstumsrate
Der Wachstumsfaktor a ist ein zentrales Element beim exponentiellen Wachstum. Er lässt sich aus der prozentualen Wachstumsrate p berechnen:
Formel: a = 1 + p/100
Diese Formel ermöglicht es, den Wachstumsfaktor aus einer gegebenen prozentualen Wachstumsrate zu bestimmen.
Wachstumsfunktion
Die allgemeine Form der exponentiellen Wachstumsfunktion lautet:
Formel: f(n) = c * a^n
Hierbei ist c der Anfangswert, a der Wachstumsfaktor und n die Zeit.
Beispiel: Die Bevölkerung Chinas betrug im Jahr 2005 2 Milliarden und wuchs jährlich um 7%. Wie viele Einwohner hatte China 2009?
Gegeben:
- c = 2 Milliarden
- n = 2009 - 2005 = 4 Jahre
- p = 7%
Berechnung:
- Wachstumsfaktor: a = 1 + 0,07 = 1,07
- f(4) = 2 * 1,07^4 ≈ 2,6 Milliarden
Highlight: China hatte im Jahr 2009 etwa 2,6 Milliarden Einwohner.
Zinseszinsen
Das Prinzip der Zinseszinsen funktioniert ähnlich wie die exponentielle Wachstumsfunktion, wird aber auf Kapital angewendet.
Beispiel: Maya legt 9200€ mit einem Zinssatz von 7% für 4 Jahre fest an. Wie viel Geld kann sie nach diesen 4 Jahren auszahlen lassen?
Gegeben:
- c = 9200€
- n = 4 Jahre
- p = 7%
Berechnung:
- Wachstumsfaktor: a = 1 + 7/100 = 1,07
- f(4) = 9200 * 1,07^4 ≈ 12059,3€
Highlight: Nach 4 Jahren werden Maya 12059,3€ ausbezahlt.
Lineares Wachstum vs. Exponentielles Wachstum
Lineares Wachstum:
- Ein Wert oder eine Größe wächst immer um den gleichen Betrag
- Die Funktion ist eine Gerade
- Funktionsgleichung: f(x) = m * x + b
Beispiel: Kathis Schule hat 800 Schüler. Jedes Jahr kommen 150 dazu. Wie viele Schüler hat Kathis Schule in 1,5 Jahren?
Berechnung: f(1,5) = 150 * 1,5 + 800 = 1125 Schüler
Exponentielles Wachstum:
- Ein Wert oder eine Größe wächst oder schrumpft immer um den gleichen Prozentsatz
- Die Funktion ist eine Hyperbel (Kurve)
- Funktionsgleichung: f(n) = c * a^n
Highlight: Der Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum wird besonders deutlich, wenn man die Werte über einen längeren Zeitraum betrachtet.
Die Seite enthält auch eine Tabelle zur Veranschaulichung der Umrechnung von Wachstumsraten in Wachstumsfaktoren und umgekehrt, sowie Beispiele für verschiedene Wachstumsraten und deren Auswirkungen über die Zeit.
