Exponentialfunktion und ihre Parametervariationen
Die Definition der Exponentialfunktion lautet y = b^x, wobei b > 0 und b ≠ 1 ist. Diese Funktion besitzt mehrere charakteristische Eigenschaften der Exponentialfunktion:
- Der Graph steigt für b > 1 und fällt für 0 < b < 1.
- Der Graph liegt stets oberhalb der x-Achse.
- Die Wertemenge umfasst alle positiven reellen Zahlen (R+).
- Der Graph nähert sich asymptotisch der x-Achse.
- Bei jeder Erhöhung von x um eine Einheit wird der Funktionswert mit b multipliziert.
- Alle Graphen schneiden sich im Punkt P(0/1).
Definition: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form y = b^x, wobei b die Basis ist und b > 0, b ≠ 1 gilt.
Highlight: Die Grundeigenschaft der Exponentialfunktion besagt, dass bei jeder Erhöhung von x um s der Funktionswert mit dem Faktor b^s multipliziert wird.
Die Parameter der Exponentialfunktion ermöglichen verschiedene Transformationen:
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Verschiebung in y-Richtung: g(x) = b^x + c
Man verschiebt den Graphen um |c| Einheiten nach oben (c > 0) oder unten (c < 0).
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Streckung in y-Richtung: g(x) = a * b^x
Der Graph wird mit dem Faktor |a| parallel zur y-Achse gestreckt.
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Verschiebung in x-Richtung: g(x) = b^(x+c)
Der Graph wird um |c| Einheiten nach links (c > 0) oder rechts (c < 0) verschoben.
Example: Bei g(x) = 2^x + 3 wird der Graph von f(x) = 2^x um 3 Einheiten nach oben verschoben.
Vocabulary: Asymptotisch bedeutet, dass sich der Graph einer Linie (hier der x-Achse) immer weiter annähert, ohne sie je zu erreichen.
Um die Parameter der Exponentialfunktion zu bestimmen, kann man charakteristische Punkte des Graphen ablesen. Der y-Achsenabschnitt gibt beispielsweise Aufschluss über eine mögliche Verschiebung in y-Richtung.
Highlight: Die allgemeine Form der Exponentialfunktion lautet f(x) = a * b^(x+d) + c, wobei a die Streckung, b die Basis, c die Verschiebung in y-Richtung und d die Verschiebung in x-Richtung bestimmen.
Das Aufstellen einer Exponentialfunktion erfordert oft das Ablesen von Informationen aus einem gegebenen Graphen oder aus Wertetabellen. Dabei ist es wichtig, die Auswirkungen der verschiedenen Parameter zu verstehen, um die Formel der Exponentialfunktion korrekt zu bestimmen.
