Beispiel zur Bestimmung von Extrema

Diese Seite demonstriert die praktische Anwendung der Schritte zur Bestimmung von Extrema anhand eines konkreten Beispiels. Die Funktion f(x) = 2x³ + 6x² + 2 wird analysiert, um ihre Extrempunkte zu finden.

1. Erste Ableitung: f'(x) = 6x² + 12x

2. Notwendige Bedingung: 0 = 6x² + 12x Umformung: x(6x + 12) = 0 Lösungen: x₁ = 0 und x₂ = -2

3. Zweite Ableitung: f''(x) = 12x + 12

4. Hinreichende Bedingung:

   • Für x = 0: f''(0) = 12 > 0 → Tiefpunkt
   • Für x = -2: f''(-2) = -12 < 0 → Hochpunkt

5. Berechnung der y-Werte:

   • f(0) = 2 → Tiefpunkt (0|2)
   • f(-2) = -2³ + 6(-2)² + 2 = -8 + 24 + 2 = 18 → Hochpunkt (-2|18)

Example: Der Tiefpunkt der Funktion liegt bei (0|2), während der Hochpunkt bei (-2|18) liegt.

Diese Methode ermöglicht es, Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen PDF effizient zu lösen und ist besonders nützlich für Extremwertaufgaben Beispiele. Sie demonstriert, wie man Hochpunkt berechnen und Tiefpunkt berechnen kann, was grundlegend für das Verständnis von Funktionsverläufen ist.

Vocabulary:

• Hochpunkt: Ein lokales Maximum der Funktion.
• Tiefpunkt: Ein lokales Minimum der Funktion.
• Sattelpunkt: Ein Punkt, an dem die Funktion weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum hat, aber die erste Ableitung Null ist.

Diese Beispielaufgabe zeigt, wie man hoch- und tiefpunkte berechnen aufgaben mit lösungen in der Praxis angeht und ist ein wertvolles Werkzeug für Studierende, die Extremwertaufgaben Arbeitsblatt bearbeiten oder sich auf Prüfungen vorbereiten.