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24. Jan. 2026
•
Eleanor Boyles
@elli.bls2312
Extremwertaufgaben sind ein wichtiger Bereich der Mathematik, der die Ermittlung... Mehr anzeigen
Bei der Lösung von Extremwertaufgaben ist der erste Schritt die genaue Analyse des Problems und die Aufstellung der entsprechenden Funktionsgleichung. Im Beispiel des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang wird dies deutlich.
Vocabulary: Flächeninhalt (A) = Fläche eines geometrischen Objekts Vocabulary: Umfang (U) = Länge der äußeren Begrenzung einer Fläche
Die Analyse führt zu folgenden Gleichungen:
Um die Differentialrechnung anwenden zu können, muss eine Variable eliminiert werden. Durch Umformung der Umfangsgleichung erhalten wir:
b = 2 - a
Einsetzen in die Flächeninhaltgleichung ergibt:
A(a) = a = 2a - a²
Highlight: Die Reduzierung auf eine Funktion mit einer Variablen ist entscheidend für die Anwendung der Differentialrechnung in Extremwertaufgaben.
Diese Umformung ermöglicht es, den Flächeninhalt als Funktion einer einzigen Variablen (a) darzustellen, was für die weitere Analyse mittels Differentialrechnung essentiell ist.
Example: In diesem Fall wird die Funktion A(a) = 2a - a² untersucht, um das Maximum des Flächeninhalts zu finden.
Nach der Aufstellung der Funktionsgleichung folgt die Anwendung der Differentialrechnung zur Lösung der Extremwertaufgabe. Dies umfasst die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung sowie die Interpretation der Ergebnisse.
Erste Ableitung: A'(a) = dA/da = 2 - 2a
Extremumsbedingung: A'(a) = 2 - 2a = 0
Lösung der Gleichung: a = 1
Highlight: Die Lösung a = 1 ist ein Kandidat für die Extremalstelle der Funktion.
Um zu bestätigen, dass es sich um ein Maximum handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:
A''(a) = -2
Definition: Wenn die zweite Ableitung an der Extremalstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum.
Da A''(a) = -2 < 0 ist, bestätigt sich, dass bei a = 1 tatsächlich ein Maximum vorliegt.
Lösung des Problems:
Example: Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt bei einem Umfang von 4 cm ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm.
Highlight: Bei Extremwertaufgaben wie dieser zeigt sich, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.
Diese Methode der Extremwertaufgaben lässt sich auf viele praktische Probleme anwenden, bei denen es um die Optimierung von Größen unter bestimmten Bedingungen geht.
Extremwertaufgaben oder Extremalprobleme befassen sich mit der Ermittlung von Extremwerten einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Diese Methode basiert auf dem Satz 15VG über lokale Extrema und folgt einem strukturierten Lösungsansatz.
Definition: Extremalprobleme sind mathematische Aufgaben, bei denen die Extremwerte (Maxima oder Minima) einer Funktion unter bestimmten Bedingungen gesucht werden.
Der Lösungsansatz für Extremwertaufgaben umfasst folgende Schritte:
Beispiel: Ein klassisches Problem der Extremwertaufgaben ist die Ermittlung des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang von 4 cm.
Highlight: Die Anwendung von Extremwertaufgaben ist besonders wichtig in der Optimierung und findet in vielen praktischen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften Anwendung.
Extremwertaufgaben sind Aufgaben, bei denen du den maximalen oder minimalen Wert einer Funktion bestimmen sollst. In der Mathematik der Oberstufe arbeitest du oft mit Extremwertaufgaben mit Lösungen Klasse 11, bei denen du eine Funktion einer Veränderlichen optimierst. Der typische Lösungsweg umfasst: Aufstellen der Funktion mit Nebenbedingungen, Berechnen der ersten Ableitung, Nullstellen der Ableitung finden (potenzielle Extremstellen) und durch die zweite Ableitung prüfen, ob es sich um Minimum oder Maximum handelt.
Bei Funktionen mit Nebenbedingungen musst du zuerst eine Variable eliminieren. Wie bei Extremwertaufgaben Beispielen üblich, nutzt du dafür die gegebene Nebenbedingung (z.B. Umfang = konstant), um eine Variable durch die andere auszudrücken. Dann setzt du diesen Ausdruck in die Zielfunktion ein, sodass du eine Funktion mit nur einer Variablen erhältst. Diese differenzierst du, setzt die Ableitung gleich Null und löst nach der Variable auf. Mit der zweiten Ableitung kannst du dann bestätigen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.
Bei Extremwertaufgaben erkennst du den Unterschied durch die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung an der Extremstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum - wie bei Extremwert berechnen quadratischer Funktionen oft zu sehen. Ist die zweite Ableitung positiv, liegt ein Minimum vor. Im Beispiel mit dem Rechteck erhält man f''(a) = -2, was auf ein Maximum hindeutet. Das bedeutet in diesem Fall, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.
Extremwertaufgaben begegnen dir in vielen praktischen Situationen. Ein typisches Beispiel ist die Berechnung eines Rechtecks maximaler Flächeninhalt bei gegebenem Umfang. Solche Optimierungsprobleme findest du auch in der Wirtschaft (Kosten minimieren, Gewinn maximieren), in der Physik (energieeffiziente Konstruktionen) oder bei Alltagsproblemen wie der optimalen Form von Behältern. Bei einem Zaun mit fester Länge willst du beispielsweise wissen, wie du die größtmögliche Fläche einzäunen kannst – die Antwort ist übrigens ein Quadrat!
Metzler Mathematik: Analysis für die Oberstufe von Tobias Bahr, Klett Verlag 2019, Lehrbuch, Umfassende Darstellung von Extremwertaufgaben mit detaillierten Lösungswegen - Link
Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien: Analysis von Hans-Wolfgang Henn, Klett Verlag 2018, Lehrbuch, Enthält ein gesondertes Kapitel zu Extremwertaufgaben mit praxisnahen Beispielen - Link
Mathematik Neue Wege: Analysis von Dietrich Lind, Schroedel Verlag 2020, Lehrbuch, Bietet zahlreiche Übungsaufgaben zu Extremwertproblemen mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden - Link
STARK Training Mathematik: Extremwertaufgaben und Kurvendiskussion von Michael Hartmann, Stark Verlag 2021, Übungsbuch, Spezialisiertes Übungsmaterial mit schrittweise gelösten Extremwertaufgaben - Link
Modelliere ein reales Extremwertproblem: Fotografiere ein Objekt in deiner Umgebung und erstelle eine mathematische Funktion, die ein Extremalproblem daran beschreibt (z.B. maximales Volumen einer Dose bei gegebenem Material).
Erstelle ein digitales Lernplakat zu den wichtigsten Schritten bei der Lösung von Extremwertaufgaben und sammle typische Anwendungsfälle (maximaler Flächeninhalt bei Rechtecken, Trapezen, Dreiecken) mit Formeln und Skizzen.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Thomas R
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Xander S
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Elisha
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Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Eleanor Boyles
@elli.bls2312
Extremwertaufgaben sind ein wichtiger Bereich der Mathematik, der die Ermittlung von Maxima und Minima von Funktionen behandelt. Diese Methode findet Anwendung in vielen praktischen Problemen.
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Bei der Lösung von Extremwertaufgaben ist der erste Schritt die genaue Analyse des Problems und die Aufstellung der entsprechenden Funktionsgleichung. Im Beispiel des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang wird dies deutlich.
Vocabulary: Flächeninhalt (A) = Fläche eines geometrischen Objekts Vocabulary: Umfang (U) = Länge der äußeren Begrenzung einer Fläche
Die Analyse führt zu folgenden Gleichungen:
Um die Differentialrechnung anwenden zu können, muss eine Variable eliminiert werden. Durch Umformung der Umfangsgleichung erhalten wir:
b = 2 - a
Einsetzen in die Flächeninhaltgleichung ergibt:
A(a) = a = 2a - a²
Highlight: Die Reduzierung auf eine Funktion mit einer Variablen ist entscheidend für die Anwendung der Differentialrechnung in Extremwertaufgaben.
Diese Umformung ermöglicht es, den Flächeninhalt als Funktion einer einzigen Variablen (a) darzustellen, was für die weitere Analyse mittels Differentialrechnung essentiell ist.
Example: In diesem Fall wird die Funktion A(a) = 2a - a² untersucht, um das Maximum des Flächeninhalts zu finden.
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Nach der Aufstellung der Funktionsgleichung folgt die Anwendung der Differentialrechnung zur Lösung der Extremwertaufgabe. Dies umfasst die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung sowie die Interpretation der Ergebnisse.
Erste Ableitung: A'(a) = dA/da = 2 - 2a
Extremumsbedingung: A'(a) = 2 - 2a = 0
Lösung der Gleichung: a = 1
Highlight: Die Lösung a = 1 ist ein Kandidat für die Extremalstelle der Funktion.
Um zu bestätigen, dass es sich um ein Maximum handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:
A''(a) = -2
Definition: Wenn die zweite Ableitung an der Extremalstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum.
Da A''(a) = -2 < 0 ist, bestätigt sich, dass bei a = 1 tatsächlich ein Maximum vorliegt.
Lösung des Problems:
Example: Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt bei einem Umfang von 4 cm ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm.
Highlight: Bei Extremwertaufgaben wie dieser zeigt sich, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.
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Extremwertaufgaben oder Extremalprobleme befassen sich mit der Ermittlung von Extremwerten einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Diese Methode basiert auf dem Satz 15VG über lokale Extrema und folgt einem strukturierten Lösungsansatz.
Definition: Extremalprobleme sind mathematische Aufgaben, bei denen die Extremwerte (Maxima oder Minima) einer Funktion unter bestimmten Bedingungen gesucht werden.
Der Lösungsansatz für Extremwertaufgaben umfasst folgende Schritte:
Beispiel: Ein klassisches Problem der Extremwertaufgaben ist die Ermittlung des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang von 4 cm.
Highlight: Die Anwendung von Extremwertaufgaben ist besonders wichtig in der Optimierung und findet in vielen praktischen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften Anwendung.
Extremwertaufgaben sind Aufgaben, bei denen du den maximalen oder minimalen Wert einer Funktion bestimmen sollst. In der Mathematik der Oberstufe arbeitest du oft mit Extremwertaufgaben mit Lösungen Klasse 11, bei denen du eine Funktion einer Veränderlichen optimierst. Der typische Lösungsweg umfasst: Aufstellen der Funktion mit Nebenbedingungen, Berechnen der ersten Ableitung, Nullstellen der Ableitung finden (potenzielle Extremstellen) und durch die zweite Ableitung prüfen, ob es sich um Minimum oder Maximum handelt.
Bei Funktionen mit Nebenbedingungen musst du zuerst eine Variable eliminieren. Wie bei Extremwertaufgaben Beispielen üblich, nutzt du dafür die gegebene Nebenbedingung (z.B. Umfang = konstant), um eine Variable durch die andere auszudrücken. Dann setzt du diesen Ausdruck in die Zielfunktion ein, sodass du eine Funktion mit nur einer Variablen erhältst. Diese differenzierst du, setzt die Ableitung gleich Null und löst nach der Variable auf. Mit der zweiten Ableitung kannst du dann bestätigen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.
Bei Extremwertaufgaben erkennst du den Unterschied durch die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung an der Extremstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum - wie bei Extremwert berechnen quadratischer Funktionen oft zu sehen. Ist die zweite Ableitung positiv, liegt ein Minimum vor. Im Beispiel mit dem Rechteck erhält man f''(a) = -2, was auf ein Maximum hindeutet. Das bedeutet in diesem Fall, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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Elisha
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