Analyse und Aufstellung der Funktionsgleichung

Bei der Lösung von Extremwertaufgaben ist der erste Schritt die genaue Analyse des Problems und die Aufstellung der entsprechenden Funktionsgleichung. Im Beispiel des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang wird dies deutlich.

Vocabulary: Flächeninhalt (A) = Fläche eines geometrischen Objekts Vocabulary: Umfang (U) = Länge der äußeren Begrenzung einer Fläche

Die Analyse führt zu folgenden Gleichungen:

1. Flächeninhalt: A = a * b (maximieren)
2. Umfang: U = 2a + 2b = 4 cm (Nebenbedingung)

Um die Differentialrechnung anwenden zu können, muss eine Variable eliminiert werden. Durch Umformung der Umfangsgleichung erhalten wir:

b = 2 - a

Einsetzen in die Flächeninhaltgleichung ergibt:

A(a) = a(2-a) = 2a - a²

Highlight: Die Reduzierung auf eine Funktion mit einer Variablen ist entscheidend für die Anwendung der Differentialrechnung in Extremwertaufgaben.

Diese Umformung ermöglicht es, den Flächeninhalt als Funktion einer einzigen Variablen (a) darzustellen, was für die weitere Analyse mittels Differentialrechnung essentiell ist.

Example: In diesem Fall wird die Funktion A(a) = 2a - a² untersucht, um das Maximum des Flächeninhalts zu finden.

Anwendung der Differentialrechnung und Lösung

Nach der Aufstellung der Funktionsgleichung folgt die Anwendung der Differentialrechnung zur Lösung der Extremwertaufgabe. Dies umfasst die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung sowie die Interpretation der Ergebnisse.

1. Erste Ableitung: A'(a) = dA/da = 2 - 2a

2. Extremumsbedingung: A'(a) = 2 - 2a = 0

3. Lösung der Gleichung: a = 1

Highlight: Die Lösung a = 1 ist ein Kandidat für die Extremalstelle der Funktion.

Um zu bestätigen, dass es sich um ein Maximum handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:

A''(a) = -2

Definition: Wenn die zweite Ableitung an der Extremalstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum.

Da A''(a) = -2 < 0 ist, bestätigt sich, dass bei a = 1 tatsächlich ein Maximum vorliegt.

Lösung des Problems:

• a = 1
• b = 2 - a = 1

Example: Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt bei einem Umfang von 4 cm ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm.

Highlight: Bei Extremwertaufgaben wie dieser zeigt sich, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.

Diese Methode der Extremwertaufgaben lässt sich auf viele praktische Probleme anwenden, bei denen es um die Optimierung von Größen unter bestimmten Bedingungen geht.