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23
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Eleanor Boyles
19.4.2021
Mathe
Extremalprobleme (Extremwertaufgaben) 📑
610
•
19. Apr. 2021
•
Eleanor Boyles
@elli.bls2312
Extremwertaufgaben sind ein wichtiger Bereich der Mathematik, der die Ermittlung... Mehr anzeigen
Bei der Lösung von Extremwertaufgaben ist der erste Schritt die genaue Analyse des Problems und die Aufstellung der entsprechenden Funktionsgleichung. Im Beispiel des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang wird dies deutlich.
Vocabulary: Flächeninhalt (A) = Fläche eines geometrischen Objekts Vocabulary: Umfang (U) = Länge der äußeren Begrenzung einer Fläche
Die Analyse führt zu folgenden Gleichungen:
Um die Differentialrechnung anwenden zu können, muss eine Variable eliminiert werden. Durch Umformung der Umfangsgleichung erhalten wir:
b = 2 - a
Einsetzen in die Flächeninhaltgleichung ergibt:
A(a) = a(2-a) = 2a - a²
Highlight: Die Reduzierung auf eine Funktion mit einer Variablen ist entscheidend für die Anwendung der Differentialrechnung in Extremwertaufgaben.
Diese Umformung ermöglicht es, den Flächeninhalt als Funktion einer einzigen Variablen (a) darzustellen, was für die weitere Analyse mittels Differentialrechnung essentiell ist.
Example: In diesem Fall wird die Funktion A(a) = 2a - a² untersucht, um das Maximum des Flächeninhalts zu finden.
Nach der Aufstellung der Funktionsgleichung folgt die Anwendung der Differentialrechnung zur Lösung der Extremwertaufgabe. Dies umfasst die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung sowie die Interpretation der Ergebnisse.
Erste Ableitung: A'(a) = dA/da = 2 - 2a
Extremumsbedingung: A'(a) = 2 - 2a = 0
Lösung der Gleichung: a = 1
Highlight: Die Lösung a = 1 ist ein Kandidat für die Extremalstelle der Funktion.
Um zu bestätigen, dass es sich um ein Maximum handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:
A''(a) = -2
Definition: Wenn die zweite Ableitung an der Extremalstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum.
Da A''(a) = -2 < 0 ist, bestätigt sich, dass bei a = 1 tatsächlich ein Maximum vorliegt.
Lösung des Problems:
Example: Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt bei einem Umfang von 4 cm ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm.
Highlight: Bei Extremwertaufgaben wie dieser zeigt sich, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.
Diese Methode der Extremwertaufgaben lässt sich auf viele praktische Probleme anwenden, bei denen es um die Optimierung von Größen unter bestimmten Bedingungen geht.
Extremwertaufgaben oder Extremalprobleme befassen sich mit der Ermittlung von Extremwerten einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Diese Methode basiert auf dem Satz 15VG über lokale Extrema und folgt einem strukturierten Lösungsansatz.
Definition: Extremalprobleme sind mathematische Aufgaben, bei denen die Extremwerte (Maxima oder Minima) einer Funktion unter bestimmten Bedingungen gesucht werden.
Der Lösungsansatz für Extremwertaufgaben umfasst folgende Schritte:
Beispiel: Ein klassisches Problem der Extremwertaufgaben ist die Ermittlung des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang von 4 cm.
Highlight: Die Anwendung von Extremwertaufgaben ist besonders wichtig in der Optimierung und findet in vielen praktischen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften Anwendung.
Extremwertaufgaben sind Aufgaben, bei denen du den maximalen oder minimalen Wert einer Funktion bestimmen sollst. In der Mathematik der Oberstufe arbeitest du oft mit Extremwertaufgaben mit Lösungen Klasse 11, bei denen du eine Funktion einer Veränderlichen optimierst. Der typische Lösungsweg umfasst: Aufstellen der Funktion mit Nebenbedingungen, Berechnen der ersten Ableitung, Nullstellen der Ableitung finden (potenzielle Extremstellen) und durch die zweite Ableitung prüfen, ob es sich um Minimum oder Maximum handelt.
Bei Funktionen mit Nebenbedingungen musst du zuerst eine Variable eliminieren. Wie bei Extremwertaufgaben Beispielen üblich, nutzt du dafür die gegebene Nebenbedingung (z.B. Umfang = konstant), um eine Variable durch die andere auszudrücken. Dann setzt du diesen Ausdruck in die Zielfunktion ein, sodass du eine Funktion mit nur einer Variablen erhältst. Diese differenzierst du, setzt die Ableitung gleich Null und löst nach der Variable auf. Mit der zweiten Ableitung kannst du dann bestätigen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.
Bei Extremwertaufgaben erkennst du den Unterschied durch die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung an der Extremstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum - wie bei Extremwert berechnen quadratischer Funktionen oft zu sehen. Ist die zweite Ableitung positiv, liegt ein Minimum vor. Im Beispiel mit dem Rechteck erhält man f''(a) = -2, was auf ein Maximum hindeutet. Das bedeutet in diesem Fall, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.
Extremwertaufgaben begegnen dir in vielen praktischen Situationen. Ein typisches Beispiel ist die Berechnung eines Rechtecks maximaler Flächeninhalt bei gegebenem Umfang. Solche Optimierungsprobleme findest du auch in der Wirtschaft (Kosten minimieren, Gewinn maximieren), in der Physik (energieeffiziente Konstruktionen) oder bei Alltagsproblemen wie der optimalen Form von Behältern. Bei einem Zaun mit fester Länge willst du beispielsweise wissen, wie du die größtmögliche Fläche einzäunen kannst – die Antwort ist übrigens ein Quadrat!
Metzler Mathematik: Analysis für die Oberstufe von Tobias Bahr, Klett Verlag 2019, Lehrbuch, Umfassende Darstellung von Extremwertaufgaben mit detaillierten Lösungswegen - Link
Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien: Analysis von Hans-Wolfgang Henn, Klett Verlag 2018, Lehrbuch, Enthält ein gesondertes Kapitel zu Extremwertaufgaben mit praxisnahen Beispielen - Link
Mathematik Neue Wege: Analysis von Dietrich Lind, Schroedel Verlag 2020, Lehrbuch, Bietet zahlreiche Übungsaufgaben zu Extremwertproblemen mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden - Link
STARK Training Mathematik: Extremwertaufgaben und Kurvendiskussion von Michael Hartmann, Stark Verlag 2021, Übungsbuch, Spezialisiertes Übungsmaterial mit schrittweise gelösten Extremwertaufgaben - Link
Modelliere ein reales Extremwertproblem: Fotografiere ein Objekt in deiner Umgebung und erstelle eine mathematische Funktion, die ein Extremalproblem daran beschreibt (z.B. maximales Volumen einer Dose bei gegebenem Material).
Erstelle ein digitales Lernplakat zu den wichtigsten Schritten bei der Lösung von Extremwertaufgaben und sammle typische Anwendungsfälle (maximaler Flächeninhalt bei Rechtecken, Trapezen, Dreiecken) mit Formeln und Skizzen.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hans T
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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
Eleanor Boyles
@elli.bls2312
Extremwertaufgaben sind ein wichtiger Bereich der Mathematik, der die Ermittlung von Maxima und Minima von Funktionen behandelt. Diese Methode findet Anwendung in vielen praktischen Problemen.
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Bei der Lösung von Extremwertaufgaben ist der erste Schritt die genaue Analyse des Problems und die Aufstellung der entsprechenden Funktionsgleichung. Im Beispiel des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang wird dies deutlich.
Vocabulary: Flächeninhalt (A) = Fläche eines geometrischen Objekts Vocabulary: Umfang (U) = Länge der äußeren Begrenzung einer Fläche
Die Analyse führt zu folgenden Gleichungen:
Um die Differentialrechnung anwenden zu können, muss eine Variable eliminiert werden. Durch Umformung der Umfangsgleichung erhalten wir:
b = 2 - a
Einsetzen in die Flächeninhaltgleichung ergibt:
A(a) = a(2-a) = 2a - a²
Highlight: Die Reduzierung auf eine Funktion mit einer Variablen ist entscheidend für die Anwendung der Differentialrechnung in Extremwertaufgaben.
Diese Umformung ermöglicht es, den Flächeninhalt als Funktion einer einzigen Variablen (a) darzustellen, was für die weitere Analyse mittels Differentialrechnung essentiell ist.
Example: In diesem Fall wird die Funktion A(a) = 2a - a² untersucht, um das Maximum des Flächeninhalts zu finden.
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Nach der Aufstellung der Funktionsgleichung folgt die Anwendung der Differentialrechnung zur Lösung der Extremwertaufgabe. Dies umfasst die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung sowie die Interpretation der Ergebnisse.
Erste Ableitung: A'(a) = dA/da = 2 - 2a
Extremumsbedingung: A'(a) = 2 - 2a = 0
Lösung der Gleichung: a = 1
Highlight: Die Lösung a = 1 ist ein Kandidat für die Extremalstelle der Funktion.
Um zu bestätigen, dass es sich um ein Maximum handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:
A''(a) = -2
Definition: Wenn die zweite Ableitung an der Extremalstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum.
Da A''(a) = -2 < 0 ist, bestätigt sich, dass bei a = 1 tatsächlich ein Maximum vorliegt.
Lösung des Problems:
Example: Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt bei einem Umfang von 4 cm ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm.
Highlight: Bei Extremwertaufgaben wie dieser zeigt sich, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.
Diese Methode der Extremwertaufgaben lässt sich auf viele praktische Probleme anwenden, bei denen es um die Optimierung von Größen unter bestimmten Bedingungen geht.
Extremwertaufgaben oder Extremalprobleme befassen sich mit der Ermittlung von Extremwerten einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Diese Methode basiert auf dem Satz 15VG über lokale Extrema und folgt einem strukturierten Lösungsansatz.
Definition: Extremalprobleme sind mathematische Aufgaben, bei denen die Extremwerte (Maxima oder Minima) einer Funktion unter bestimmten Bedingungen gesucht werden.
Der Lösungsansatz für Extremwertaufgaben umfasst folgende Schritte:
Beispiel: Ein klassisches Problem der Extremwertaufgaben ist die Ermittlung des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang von 4 cm.
Highlight: Die Anwendung von Extremwertaufgaben ist besonders wichtig in der Optimierung und findet in vielen praktischen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften Anwendung.
Extremwertaufgaben sind Aufgaben, bei denen du den maximalen oder minimalen Wert einer Funktion bestimmen sollst. In der Mathematik der Oberstufe arbeitest du oft mit Extremwertaufgaben mit Lösungen Klasse 11, bei denen du eine Funktion einer Veränderlichen optimierst. Der typische Lösungsweg umfasst: Aufstellen der Funktion mit Nebenbedingungen, Berechnen der ersten Ableitung, Nullstellen der Ableitung finden (potenzielle Extremstellen) und durch die zweite Ableitung prüfen, ob es sich um Minimum oder Maximum handelt.
Bei Funktionen mit Nebenbedingungen musst du zuerst eine Variable eliminieren. Wie bei Extremwertaufgaben Beispielen üblich, nutzt du dafür die gegebene Nebenbedingung (z.B. Umfang = konstant), um eine Variable durch die andere auszudrücken. Dann setzt du diesen Ausdruck in die Zielfunktion ein, sodass du eine Funktion mit nur einer Variablen erhältst. Diese differenzierst du, setzt die Ableitung gleich Null und löst nach der Variable auf. Mit der zweiten Ableitung kannst du dann bestätigen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.
Bei Extremwertaufgaben erkennst du den Unterschied durch die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung an der Extremstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum - wie bei Extremwert berechnen quadratischer Funktionen oft zu sehen. Ist die zweite Ableitung positiv, liegt ein Minimum vor. Im Beispiel mit dem Rechteck erhält man f''(a) = -2, was auf ein Maximum hindeutet. Das bedeutet in diesem Fall, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.
Extremwertaufgaben begegnen dir in vielen praktischen Situationen. Ein typisches Beispiel ist die Berechnung eines Rechtecks maximaler Flächeninhalt bei gegebenem Umfang. Solche Optimierungsprobleme findest du auch in der Wirtschaft (Kosten minimieren, Gewinn maximieren), in der Physik (energieeffiziente Konstruktionen) oder bei Alltagsproblemen wie der optimalen Form von Behältern. Bei einem Zaun mit fester Länge willst du beispielsweise wissen, wie du die größtmögliche Fläche einzäunen kannst – die Antwort ist übrigens ein Quadrat!
Metzler Mathematik: Analysis für die Oberstufe von Tobias Bahr, Klett Verlag 2019, Lehrbuch, Umfassende Darstellung von Extremwertaufgaben mit detaillierten Lösungswegen - Link
Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien: Analysis von Hans-Wolfgang Henn, Klett Verlag 2018, Lehrbuch, Enthält ein gesondertes Kapitel zu Extremwertaufgaben mit praxisnahen Beispielen - Link
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STARK Training Mathematik: Extremwertaufgaben und Kurvendiskussion von Michael Hartmann, Stark Verlag 2021, Übungsbuch, Spezialisiertes Übungsmaterial mit schrittweise gelösten Extremwertaufgaben - Link
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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