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19. Apr. 2021

•

3 Seiten

Extremwertaufgaben Übungen und Lösungen PDF für Klasse 9 und 11 📑

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Eleanor Boyles

@elli.bls2312

Extremwertaufgaben sind ein wichtiger Bereich der Mathematik, der die Ermittlung... Mehr anzeigen

Extremalprobleme Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass man die Extremwerte einer Funktion ermittelt. Diese F

Analyse und Aufstellung der Funktionsgleichung

Bei der Lösung von Extremwertaufgaben ist der erste Schritt die genaue Analyse des Problems und die Aufstellung der entsprechenden Funktionsgleichung. Im Beispiel des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang wird dies deutlich.

Vocabulary: Flächeninhalt AA = Fläche eines geometrischen Objekts Vocabulary: Umfang UU = Länge der äußeren Begrenzung einer Fläche

Die Analyse führt zu folgenden Gleichungen:

  1. Flächeninhalt: A = a * b maximierenmaximieren
  2. Umfang: U = 2a + 2b = 4 cm NebenbedingungNebenbedingung

Um die Differentialrechnung anwenden zu können, muss eine Variable eliminiert werden. Durch Umformung der Umfangsgleichung erhalten wir:

b = 2 - a

Einsetzen in die Flächeninhaltgleichung ergibt:

Aaa = a2−a2-a = 2a - a²

Highlight: Die Reduzierung auf eine Funktion mit einer Variablen ist entscheidend für die Anwendung der Differentialrechnung in Extremwertaufgaben.

Diese Umformung ermöglicht es, den Flächeninhalt als Funktion einer einzigen Variablen aa darzustellen, was für die weitere Analyse mittels Differentialrechnung essentiell ist.

Example: In diesem Fall wird die Funktion Aaa = 2a - a² untersucht, um das Maximum des Flächeninhalts zu finden.

Extremalprobleme Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass man die Extremwerte einer Funktion ermittelt. Diese F

Anwendung der Differentialrechnung und Lösung

Nach der Aufstellung der Funktionsgleichung folgt die Anwendung der Differentialrechnung zur Lösung der Extremwertaufgabe. Dies umfasst die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung sowie die Interpretation der Ergebnisse.

  1. Erste Ableitung: A'aa = dA/da = 2 - 2a
  2. Extremumsbedingung: A'aa = 2 - 2a = 0
  3. Lösung der Gleichung: a = 1

Highlight: Die Lösung a = 1 ist ein Kandidat für die Extremalstelle der Funktion.

Um zu bestätigen, dass es sich um ein Maximum handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:

A''aa = -2

Definition: Wenn die zweite Ableitung an der Extremalstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum.

Da A''aa = -2 < 0 ist, bestätigt sich, dass bei a = 1 tatsächlich ein Maximum vorliegt.

Lösung des Problems:

  • a = 1
  • b = 2 - a = 1

Example: Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt bei einem Umfang von 4 cm ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm.

Highlight: Bei Extremwertaufgaben wie dieser zeigt sich, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.

Diese Methode der Extremwertaufgaben lässt sich auf viele praktische Probleme anwenden, bei denen es um die Optimierung von Größen unter bestimmten Bedingungen geht.

Extremalprobleme Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass man die Extremwerte einer Funktion ermittelt. Diese F

Einführung in Extremalprobleme

Extremwertaufgaben oder Extremalprobleme befassen sich mit der Ermittlung von Extremwerten einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Diese Methode basiert auf dem Satz 15VG über lokale Extrema und folgt einem strukturierten Lösungsansatz.

Definition: Extremalprobleme sind mathematische Aufgaben, bei denen die Extremwerte MaximaoderMinimaMaxima oder Minima einer Funktion unter bestimmten Bedingungen gesucht werden.

Der Lösungsansatz für Extremwertaufgaben umfasst folgende Schritte:

  1. Analyse der Problemstellung und Aufstellung der Funktionsgleichung
  2. Berechnung der ersten Ableitung
  3. Lösung der Gleichung f'xx = 0 zur Ermittlung potenzieller Extremalstellen
  4. Berechnung der zweiten Ableitung und Bestimmung der Art des Extremums
  5. Diskussion und Interpretation des Ergebnisses

Beispiel: Ein klassisches Problem der Extremwertaufgaben ist die Ermittlung des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang von 4 cm.

Highlight: Die Anwendung von Extremwertaufgaben ist besonders wichtig in der Optimierung und findet in vielen praktischen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften Anwendung.



Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Eleanor Boyles

@elli.bls2312

Extremwertaufgaben sind ein wichtiger Bereich der Mathematik, der die Ermittlung von Maxima und Minima von Funktionen behandelt. Diese Methode findet Anwendung in vielen praktischen Problemen.

  • Extremwertaufgaben konzentrieren sich auf die Bestimmung von Extremwerten einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen.
  • Die... Mehr anzeigen

Extremalprobleme Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass man die Extremwerte einer Funktion ermittelt. Diese F

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Analyse und Aufstellung der Funktionsgleichung

Bei der Lösung von Extremwertaufgaben ist der erste Schritt die genaue Analyse des Problems und die Aufstellung der entsprechenden Funktionsgleichung. Im Beispiel des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang wird dies deutlich.

Vocabulary: Flächeninhalt AA = Fläche eines geometrischen Objekts Vocabulary: Umfang UU = Länge der äußeren Begrenzung einer Fläche

Die Analyse führt zu folgenden Gleichungen:

  1. Flächeninhalt: A = a * b maximierenmaximieren
  2. Umfang: U = 2a + 2b = 4 cm NebenbedingungNebenbedingung

Um die Differentialrechnung anwenden zu können, muss eine Variable eliminiert werden. Durch Umformung der Umfangsgleichung erhalten wir:

b = 2 - a

Einsetzen in die Flächeninhaltgleichung ergibt:

Aaa = a2−a2-a = 2a - a²

Highlight: Die Reduzierung auf eine Funktion mit einer Variablen ist entscheidend für die Anwendung der Differentialrechnung in Extremwertaufgaben.

Diese Umformung ermöglicht es, den Flächeninhalt als Funktion einer einzigen Variablen aa darzustellen, was für die weitere Analyse mittels Differentialrechnung essentiell ist.

Example: In diesem Fall wird die Funktion Aaa = 2a - a² untersucht, um das Maximum des Flächeninhalts zu finden.

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Anwendung der Differentialrechnung und Lösung

Nach der Aufstellung der Funktionsgleichung folgt die Anwendung der Differentialrechnung zur Lösung der Extremwertaufgabe. Dies umfasst die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung sowie die Interpretation der Ergebnisse.

  1. Erste Ableitung: A'aa = dA/da = 2 - 2a
  2. Extremumsbedingung: A'aa = 2 - 2a = 0
  3. Lösung der Gleichung: a = 1

Highlight: Die Lösung a = 1 ist ein Kandidat für die Extremalstelle der Funktion.

Um zu bestätigen, dass es sich um ein Maximum handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:

A''aa = -2

Definition: Wenn die zweite Ableitung an der Extremalstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum.

Da A''aa = -2 < 0 ist, bestätigt sich, dass bei a = 1 tatsächlich ein Maximum vorliegt.

Lösung des Problems:

  • a = 1
  • b = 2 - a = 1

Example: Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt bei einem Umfang von 4 cm ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm.

Highlight: Bei Extremwertaufgaben wie dieser zeigt sich, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.

Diese Methode der Extremwertaufgaben lässt sich auf viele praktische Probleme anwenden, bei denen es um die Optimierung von Größen unter bestimmten Bedingungen geht.

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Definition: Extremalprobleme sind mathematische Aufgaben, bei denen die Extremwerte MaximaoderMinimaMaxima oder Minima einer Funktion unter bestimmten Bedingungen gesucht werden.

Der Lösungsansatz für Extremwertaufgaben umfasst folgende Schritte:

  1. Analyse der Problemstellung und Aufstellung der Funktionsgleichung
  2. Berechnung der ersten Ableitung
  3. Lösung der Gleichung f'xx = 0 zur Ermittlung potenzieller Extremalstellen
  4. Berechnung der zweiten Ableitung und Bestimmung der Art des Extremums
  5. Diskussion und Interpretation des Ergebnisses

Beispiel: Ein klassisches Problem der Extremwertaufgaben ist die Ermittlung des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang von 4 cm.

Highlight: Die Anwendung von Extremwertaufgaben ist besonders wichtig in der Optimierung und findet in vielen praktischen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften Anwendung.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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