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Extremwertaufgaben Übungen und Lösungen PDF für Klasse 9 und 11 📑

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Extremwertaufgaben Übungen und Lösungen PDF für Klasse 9 und 11 📑
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Eleanor Boyles

@elli.bls2312

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Extremwertaufgaben sind ein wichtiger Bereich der Mathematik, der die Ermittlung von Maxima und Minima von Funktionen behandelt. Diese Methode findet Anwendung in vielen praktischen Problemen.

  • Extremwertaufgaben konzentrieren sich auf die Bestimmung von Extremwerten einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen.
  • Die Lösung basiert auf dem Satz über lokale Extrema und folgt einem strukturierten Vorgehen.
  • Ein typisches Beispiel ist die Ermittlung des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang.
  • Die Methode nutzt Differentialrechnung und erfordert die Analyse der Problemstellung, Aufstellung der Funktionsgleichung, Berechnung der Ableitungen und Interpretation der Ergebnisse.

19.4.2021

566

Extremalprobleme
Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass
man die Extremwerte einer Funktion ermittelt. Diese F

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Analyse und Aufstellung der Funktionsgleichung

Bei der Lösung von Extremwertaufgaben ist der erste Schritt die genaue Analyse des Problems und die Aufstellung der entsprechenden Funktionsgleichung. Im Beispiel des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang wird dies deutlich.

Vocabulary: Flächeninhalt (A) = Fläche eines geometrischen Objekts Vocabulary: Umfang (U) = Länge der äußeren Begrenzung einer Fläche

Die Analyse führt zu folgenden Gleichungen:

  1. Flächeninhalt: A = a * b (maximieren)
  2. Umfang: U = 2a + 2b = 4 cm (Nebenbedingung)

Um die Differentialrechnung anwenden zu können, muss eine Variable eliminiert werden. Durch Umformung der Umfangsgleichung erhalten wir:

b = 2 - a

Einsetzen in die Flächeninhaltgleichung ergibt:

A(a) = a(2-a) = 2a - a²

Highlight: Die Reduzierung auf eine Funktion mit einer Variablen ist entscheidend für die Anwendung der Differentialrechnung in Extremwertaufgaben.

Diese Umformung ermöglicht es, den Flächeninhalt als Funktion einer einzigen Variablen (a) darzustellen, was für die weitere Analyse mittels Differentialrechnung essentiell ist.

Example: In diesem Fall wird die Funktion A(a) = 2a - a² untersucht, um das Maximum des Flächeninhalts zu finden.

Extremalprobleme
Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass
man die Extremwerte einer Funktion ermittelt. Diese F

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Anwendung der Differentialrechnung und Lösung

Nach der Aufstellung der Funktionsgleichung folgt die Anwendung der Differentialrechnung zur Lösung der Extremwertaufgabe. Dies umfasst die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung sowie die Interpretation der Ergebnisse.

  1. Erste Ableitung: A'(a) = dA/da = 2 - 2a

  2. Extremumsbedingung: A'(a) = 2 - 2a = 0

  3. Lösung der Gleichung: a = 1

Highlight: Die Lösung a = 1 ist ein Kandidat für die Extremalstelle der Funktion.

Um zu bestätigen, dass es sich um ein Maximum handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:

A''(a) = -2

Definition: Wenn die zweite Ableitung an der Extremalstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum.

Da A''(a) = -2 < 0 ist, bestätigt sich, dass bei a = 1 tatsächlich ein Maximum vorliegt.

Lösung des Problems:

  • a = 1
  • b = 2 - a = 1

Example: Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt bei einem Umfang von 4 cm ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm.

Highlight: Bei Extremwertaufgaben wie dieser zeigt sich, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.

Diese Methode der Extremwertaufgaben lässt sich auf viele praktische Probleme anwenden, bei denen es um die Optimierung von Größen unter bestimmten Bedingungen geht.

Extremalprobleme
Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass
man die Extremwerte einer Funktion ermittelt. Diese F

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Einführung in Extremalprobleme

Extremwertaufgaben oder Extremalprobleme befassen sich mit der Ermittlung von Extremwerten einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Diese Methode basiert auf dem Satz 15VG über lokale Extrema und folgt einem strukturierten Lösungsansatz.

Definition: Extremalprobleme sind mathematische Aufgaben, bei denen die Extremwerte (Maxima oder Minima) einer Funktion unter bestimmten Bedingungen gesucht werden.

Der Lösungsansatz für Extremwertaufgaben umfasst folgende Schritte:

  1. Analyse der Problemstellung und Aufstellung der Funktionsgleichung
  2. Berechnung der ersten Ableitung
  3. Lösung der Gleichung f'(x) = 0 zur Ermittlung potenzieller Extremalstellen
  4. Berechnung der zweiten Ableitung und Bestimmung der Art des Extremums
  5. Diskussion und Interpretation des Ergebnisses

Beispiel: Ein klassisches Problem der Extremwertaufgaben ist die Ermittlung des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang von 4 cm.

Highlight: Die Anwendung von Extremwertaufgaben ist besonders wichtig in der Optimierung und findet in vielen praktischen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften Anwendung.

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Extremwertaufgaben sind ein wichtiger Bereich der Mathematik, der die Ermittlung von Maxima und Minima von Funktionen behandelt. Diese Methode findet Anwendung in vielen praktischen Problemen.

  • Extremwertaufgaben konzentrieren sich auf die Bestimmung von Extremwerten einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen.
  • Die Lösung basiert auf dem Satz über lokale Extrema und folgt einem strukturierten Vorgehen.
  • Ein typisches Beispiel ist die Ermittlung des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang.
  • Die Methode nutzt Differentialrechnung und erfordert die Analyse der Problemstellung, Aufstellung der Funktionsgleichung, Berechnung der Ableitungen und Interpretation der Ergebnisse.

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Extremalprobleme
Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass
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Analyse und Aufstellung der Funktionsgleichung

Bei der Lösung von Extremwertaufgaben ist der erste Schritt die genaue Analyse des Problems und die Aufstellung der entsprechenden Funktionsgleichung. Im Beispiel des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang wird dies deutlich.

Vocabulary: Flächeninhalt (A) = Fläche eines geometrischen Objekts Vocabulary: Umfang (U) = Länge der äußeren Begrenzung einer Fläche

Die Analyse führt zu folgenden Gleichungen:

  1. Flächeninhalt: A = a * b (maximieren)
  2. Umfang: U = 2a + 2b = 4 cm (Nebenbedingung)

Um die Differentialrechnung anwenden zu können, muss eine Variable eliminiert werden. Durch Umformung der Umfangsgleichung erhalten wir:

b = 2 - a

Einsetzen in die Flächeninhaltgleichung ergibt:

A(a) = a(2-a) = 2a - a²

Highlight: Die Reduzierung auf eine Funktion mit einer Variablen ist entscheidend für die Anwendung der Differentialrechnung in Extremwertaufgaben.

Diese Umformung ermöglicht es, den Flächeninhalt als Funktion einer einzigen Variablen (a) darzustellen, was für die weitere Analyse mittels Differentialrechnung essentiell ist.

Example: In diesem Fall wird die Funktion A(a) = 2a - a² untersucht, um das Maximum des Flächeninhalts zu finden.

Extremalprobleme
Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass
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Anwendung der Differentialrechnung und Lösung

Nach der Aufstellung der Funktionsgleichung folgt die Anwendung der Differentialrechnung zur Lösung der Extremwertaufgabe. Dies umfasst die Berechnung der ersten und zweiten Ableitung sowie die Interpretation der Ergebnisse.

  1. Erste Ableitung: A'(a) = dA/da = 2 - 2a

  2. Extremumsbedingung: A'(a) = 2 - 2a = 0

  3. Lösung der Gleichung: a = 1

Highlight: Die Lösung a = 1 ist ein Kandidat für die Extremalstelle der Funktion.

Um zu bestätigen, dass es sich um ein Maximum handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:

A''(a) = -2

Definition: Wenn die zweite Ableitung an der Extremalstelle negativ ist, handelt es sich um ein Maximum.

Da A''(a) = -2 < 0 ist, bestätigt sich, dass bei a = 1 tatsächlich ein Maximum vorliegt.

Lösung des Problems:

  • a = 1
  • b = 2 - a = 1

Example: Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt bei einem Umfang von 4 cm ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm.

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Der Lösungsansatz für Extremwertaufgaben umfasst folgende Schritte:

  1. Analyse der Problemstellung und Aufstellung der Funktionsgleichung
  2. Berechnung der ersten Ableitung
  3. Lösung der Gleichung f'(x) = 0 zur Ermittlung potenzieller Extremalstellen
  4. Berechnung der zweiten Ableitung und Bestimmung der Art des Extremums
  5. Diskussion und Interpretation des Ergebnisses

Beispiel: Ein klassisches Problem der Extremwertaufgaben ist die Ermittlung des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang von 4 cm.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

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