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Extremalprobleme (Extremwertaufgaben) 📑

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Extremalprobleme
Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass
man die Extremwerte einer Funktion ermittelt. Diese F
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Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass
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Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass
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Extremalprobleme Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass man die Extremwerte einer Funktion ermittelt. Diese Funktionen ergeben sich meistens erst durch die Einbeziehung von Nebenbedingungen. Die Lösung dieser Probleme beruht auf der Anwendung von Satz 15VG. (Lokale Extrema) Vorgehen: - Analyse der Problemstellung und Aufstellen der Funktionsgleichung der Extremalfunktion f(x) als reelle Funktion einer VerĂ€nderlichen - Berechnung der 1. Ableitung f'(x) - Lösung der Gleichung f'(x) = 0. Die Lösungen sind die Kandidaten fĂŒr die Extremalstellen - Berechnung der 2. Ableitung f(x) und Einsetzen der Extremalstellen, um sie als Minimum oder Maximum zu erkennen - Diskussion und Interpretation des Ergebnisses Beispiel: Problem: Unter allen Rechtecken mit dem Umfang von 4 cm, ist das mit dem grĂ¶ĂŸten FlĂ€cheninhalt zu ermitteln. Analyse: Wir bezeichnen mit a und b die Seiten des Rechtecks, mit A seinen FlĂ€cheninhalt. Der FlĂ€cheninhalt des gesuchten Rechtecks soll maximal werden. Wir schreiben dafĂŒr: A = a*b-> max. (1) In dieser Gleichung hĂ€ngt der FlĂ€cheninhalt A von zwei GrĂŒĂŸen (den Seiten a und b) ab. Um die Differentialrechnung (die fĂŒr die Funktionen einer VerĂ€nderlichen aufgestellt wurde) anwenden zu können, mĂŒssen wir eine Variable eliminieren. Dazu benutzen wir den Umfang, der im Problem erwĂ€hnt wird. Die Formel lautet: Graph: U = 2a + 2b (2) Laut der Aufgabenstellung ist u = 4 cm. Es gilt also: 4 = 2a + 2bund damit a + b = 2. - umformen zu: (3) b=2-a nun...

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Alternativer Bildtext:

setzen wir (1) ein... A(a)= a(2-a) = 2a - aÂČ (4) Jetzt haben wir den FlĂ€cheninhalt auf einer Seite -1 -2- a = 1 1 2 Anwendung der Differentialgleichung: Nun wollen wir herausfinden an welchen stellen A ein Extremum erreicht. DafĂŒr mĂŒssen wir die 1. Ableitung von (4) nach der Variablen a bestimmen: A'(a) = dA/da = 2 - 2a (5) Die Bedingung dafĂŒr, dass die Funktion A ein Extremum erreicht, ist dass ihre erste Ableitung verschwindet. Also gilt: A (a) = 2 - 2a = 0 (6) Damit ist die Lösung von (6) (7) Um herauszufinden, ob es sich bei (7) wirklich um ein Maximum handelt, berechnen wir die zweite Ableitung von (4): A`` (a) = - 2 Weil der Wert immer negativ sein muss (dies ist hier der Fall), wissen wir, dass es sich bei (7) um ein Maximum handelt 3 Lösung: Nun bestimmen wir aus (3) b = 1. Dadurch erhalten wir als vollstĂ€ndige Lösung ein Quadrat, dass die SeitenlĂ€nge I hat. Hier ist das Quadrat unter alles Rechtecken das FlĂ€chengrĂ¶ĂŸte!