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Extremalprobleme (Extremwertaufgaben) 📑
19.4.2021
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Extremalprobleme Bei den Extremalproblemen oder Extremwertaufgaben geht es darum, dass man die Extremwerte einer Funktion ermittelt. Diese Funktionen ergeben sich meistens erst durch die Einbeziehung von Nebenbedingungen. Die Lösung dieser Probleme beruht auf der Anwendung von Satz 15VG. (Lokale Extrema) Vorgehen: - Analyse der Problemstellung und Aufstellen der Funktionsgleichung der Extremalfunktion f(x) als reelle Funktion einer Veränderlichen - Berechnung der 1. Ableitung f'(x) - Lösung der Gleichung f'(x) = 0. Die Lösungen sind die Kandidaten für die Extremalstellen - Berechnung der 2. Ableitung f(x) und Einsetzen der Extremalstellen, um sie als Minimum oder Maximum zu erkennen - Diskussion und Interpretation des Ergebnisses Beispiel: Problem: Unter allen Rechtecken mit dem Umfang von 4 cm, ist das mit dem größten Flächeninhalt zu ermitteln. Analyse: Wir bezeichnen mit a und b die Seiten des Rechtecks, mit A seinen Flächeninhalt. Der Flächeninhalt des gesuchten Rechtecks soll maximal werden. Wir schreiben dafür: A = a*b-> max. (1) In dieser Gleichung hängt der Flächeninhalt A von zwei Grüßen (den Seiten a und b) ab. Um die Differentialrechnung (die für die Funktionen einer Veränderlichen aufgestellt wurde) anwenden zu können, müssen wir eine Variable eliminieren. Dazu benutzen wir den Umfang, der im Problem erwähnt wird. Die Formel lautet: Graph: U = 2a + 2b (2) Laut der Aufgabenstellung ist u = 4 cm. Es gilt also: 4 = 2a + 2bund damit a + b = 2. - umformen zu: (3) b=2-a nun...
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setzen wir (1) ein... A(a)= a(2-a) = 2a - a² (4) Jetzt haben wir den Flächeninhalt auf einer Seite -1 -2- a = 1 1 2 Anwendung der Differentialgleichung: Nun wollen wir herausfinden an welchen stellen A ein Extremum erreicht. Dafür müssen wir die 1. Ableitung von (4) nach der Variablen a bestimmen: A'(a) = dA/da = 2 - 2a (5) Die Bedingung dafür, dass die Funktion A ein Extremum erreicht, ist dass ihre erste Ableitung verschwindet. Also gilt: A (a) = 2 - 2a = 0 (6) Damit ist die Lösung von (6) (7) Um herauszufinden, ob es sich bei (7) wirklich um ein Maximum handelt, berechnen wir die zweite Ableitung von (4): A`` (a) = - 2 Weil der Wert immer negativ sein muss (dies ist hier der Fall), wissen wir, dass es sich bei (7) um ein Maximum handelt 3 Lösung: Nun bestimmen wir aus (3) b = 1. Dadurch erhalten wir als vollständige Lösung ein Quadrat, dass die Seitenlänge I hat. Hier ist das Quadrat unter alles Rechtecken das Flächengrößte!