Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Alternativer Bildtext:

2b Einsetzen: 200 = 2a + 2b 1-2a 200-2a 2b 1:2 Ergebnis: = 100 - a = b Vorgehen 3 Zielfunktion aufstellen a Was liegt vor? Also: A (a, b) = a · b; 100 - a = b Einsetzen: A(a) = a (100 - a) ● MRS. ROSE 2 = 100a - a² Ergebnis/Zielfunktion: A(a)= -a²+ 100a Vorgehen 4 Extremwerte der Zielfunktion berechnen MRS. ROSE a b Ableitungen bilden 2 A(a)= - a² + 100a A'(a)= - 2a + 100 A" (a)= -2 Was wird eingesetzt im folgendem verwendet? ● • Notwendige Bedingung Hinreichende Bedingung ● Vorgehen 4 notwendige/hinreichende Bedingungen berechnen 2 A(a)= -a + 100a A'(a)= - 2a + 100 A"(a)= -2 MRS. ROSE notwendige Bedingung erste Ableitung verwenden A'(a) = 0 -2a + 100 = 0 100 = 2a 50 = a | +2a 1:2 hinreichende Bedingung zweite Ableitung verwenden a in A"(a) einsetzen A"(50) = -2 - 2 <0 → Hochpunkt - Vorgehen 5 Aufgabe: Wie sind "a" und "b" zu wählen, damit der Flächeninhalt maximiert wird? Gegeben ist ein Umfang von 200m. a b a = 50 b = 100 - 50 = 50 MRS. ROSE Fläche: A (a, b) = axb A (50) = 50.50 = 2500 Ergebnis erläutern: → Wenn der Zaun an allen vier Seiten 50m lang ist, dann ist die Wiese am größten. Die Fläche würde 2500m² betragen. X ++ Eigene Aufgabe lösen •1• MRS. ROSE eigene Aufgabe Es soll ein möglichst großes rechteckiges Gebiet mit 800m Zaun eingegrenzt werden. Berechne die Größe der beiden Seiten und des Flächeninhalts. a MRS. RISE + Gut gemacht! vielen Dank, dass ihr mit gemacht habt. Habt ihr Fragen? - Feedback Ī MRS. ROSE GK, Mathematik Vorgehen bei „Extremwertaufgaben mit Präsentation Nebenbedingungen" 1. Hauptbedingung aufstellen o passende Funktion, die das beschreibt, was maximiert oder minimiert werden soll 2. Nebenbedingung aufstellen/ umstellen o Bedingung(en) unter die Funktion maximiert/ minimiert werden soll o Nebenbedingungen nach einer Variable umstellen 3. Zielfunktion aufstellen o eine Variable in der Hauptbedingung wird durch die Nebenbedingung ersetzt (Zielfunktion) 4. Extremwerte der Zielfunktion berechnen o in der Zielfunktion ist nur noch eine Variable enthalten, nach der man die Zielfunktion umstellen kann und den Extremwert erhält, in dem man die Ableitung bildet und gleich "0" gesetzt o bei einer Maximierung sucht man einen Hochpunkt (f"(x) < 0) o bei einer Minimierung sucht man einen Tiefpunkt (f" (x) > 0) 5. Ergebnis O ACHTUNG! Manchmal gibt es mehrere Lösungen, doch es ergeben nicht immer alle Sinn (z. B. negative Werte) MRS. ROSE Präsentation Q1 - GK, Mathematik Aufgabe: Es soll ein möglichst großes rechteckiges Gebiet mit 800m Zaun eingegrenzt werden. Berechne die Größe der beiden Seiten und des Flächeninhalts. a 1. Hauptbedingung aufstellen Die Fläche des Rechtecks soll maximal werden. Daher ist das die Hauptbedingung und ist abhängig von zwei Variablen a und b. 2. Nebenbedingung aufstellen / umstellen ➡ Es stehen nur 800m Zaun zur Verfügung, der das Gebiet eingrenzt. Dieser ist der Umfang des Rechtecks. b MRS. RISE Q1 - GK, Mathematik Präsentation 3. Zielfunktion aufstellen Um beide Bedingungen miteinander zur verknüpfen, wird die Nebenbedingung nach einer Variablen umgestellt 4. Extremwerte der Zielfunktion berechnen Welche Ableitungen hat die Zielfunktion? Nun kann man (wie bei anderen Funktionen auch) die Extremwerte der Zielfunktion berechnen (Notwendige Bedingung). ➡ Mit der zweiten Ableitung überprüft man noch, ob das Ergebnis tatsächlich ein Hochpunkt ist, da der Flächeninhalt maximal werden soll (Hinreichende Bedingung). MRS. RISE Präsentation 5. Ergebnis → Aus der (umgestellten) Nebenbedingung kann man nun a berechnen. Q1 - GK, Mathematik Aus der Hauptbedingung lässt sich der Flächeninhalt berechnen. ➡ Lösungsantwort: MRS. RISE Präsentation Q1 - GK, Mathematik Aufgabe: Es soll ein möglichst großes rechteckiges Gebiet mit 800m Zaun eingegrenzt werden. Berechne die Größe der beiden Seiten und des Flächeninhalts. a 1. Hauptbedingung aufstellen Die Fläche des Rechtecks soll maximal werden. Daher ist das die Hauptbedingung und ist abhängig von zwei Variablen a und b. A(a,b) = ax b 2. Nebenbedingung aufstellen / umstellen ➡ Es stehen nur 800m Zaun zur Verfügung, der das Gebiet eingrenzt. Dieser ist der Umfang des Rechtecks. U = 2a + 2b 800 = 2a + 2b b MRS. ROSE - Q1 - GK, Mathematik Präsentation 3. Zielfunktion aufstellen Um beide Bedingungen miteinander zur verknüpfen, wird die Nebenbedingung nach einer Variablen umgestellt 800 = 2a + 2b | -2b 800-2b = 2a|:2 a = 400 - b 4. Extremwerte der Zielfunktion berechnen Welche Ableitungen hat die Zielfunktion? A(b) = 400b-b² A'(b) = 400-2b A"(b) = -2 ➡ Nun kann man (wie bei anderen Funktionen auch) die Extremwerte der Zielfunktion berechnen (Notwendige Bedingung). 400 -2 b = 0 | 400 - -2 b = 400|: (-2) b = 200 ➡Mit der zweiten Ableitung überprüft man noch, ob das Ergebnis tatsächlich ein Hochpunkt ist, da der Flächeninhalt maximal werden soll (Hinreichende Bedingung). A"(b) = -2 A"(200) = -2 <0 => Hochpunkt MRS. ROSE Präsentation 5. Ergebnis → Aus der (umgestellten) Nebenbedingung kann man nun a berechnen. Q1 - GK, Mathematik a = 200 - b a = 400-200= 200m Aus der Hauptbedingung lässt sich der Flächeninhalt berechnen. A(a,b) = ax b A(a,b) = 200m x 200m = 40.000m² ➡ Lösungsantwort: Wenn der Zaun an allen vier Seiten 200m lang ist, dann ist die Wiese am größten. Die Fläche würde 40.000m² betragen. MRS. ROSE -