Lokale Extremstellen und ihre Eigenschaften

In diesem Abschnitt werden die grundlegenden Konzepte der lokalen Extrema erläutert. Es wird erklärt, wie man lokale Maxima und Minima berechnet und welche Bedingungen dafür erfüllt sein müssen.

Definition: Ein lokales Maximum ist ein Funktionswert f(x₀), für den in einer Umgebung U von x₀ gilt: f(x) ≤ f(x₀) für alle x ∈ U. Ein lokales Minimum ist analog definiert mit f(x) ≥ f(x₀).

Die notwendige Bedingung für innere Extremstellen wird durch den Satz 4.2.1 beschrieben:

Highlight: Wenn x₀ eine innere Extremstelle einer differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b] ist, dann gilt f'(x₀) = 0.

Es werden wichtige Begriffe im Kontext von Extremstellen berechnen eingeführt:

Vocabulary:

• Extremstelle: Punkt, an dem die Funktion ein Minimum oder Maximum hat.
• Hochpunkt: Lokales Maximum des Graphen.
• Tiefpunkt: Lokales Minimum des Graphen.
• Extrempunkte: Hoch- oder Tiefpunkte des Graphen.
• Extremwerte: y-Werte der Extrempunkte.

Ein Beispielgraph veranschaulicht diese Konzepte im Intervall [-3; 3], wobei Hoch- und Tiefpunkte, innere Extremstellen sowie lokale und globale Extrema identifiziert werden.

Example: Im Graphen sind Hochpunkte bei H₁(0|8) und H₂(3|24), Tiefpunkte bei T₁(-3|0) und T₂(2|-4) zu sehen. Die inneren Extremstellen sind x₁=0, x₂=2, während x₃=-3 und x₄=3 Randstellen sind.

Der Begriff des Sattelpunkts wird eingeführt als ein Punkt, der die notwendige Bedingung f'(x) = 0 erfüllt, aber kein Extremum darstellt.