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4.2 Lokale Extremstellen
22.4.2021
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4.2 Lokale Extremstellan MERKE (lokale Extrema) Lokales Maximum: Der Funktionswert f (x.) heißt lokales Maximum von f, wenn es eine Umgebung U von x. gibt, sodass für alle Werte XE U gilt f(x) ≤ f(x₂). Lokales Minimum: Der Funktionswert f (x.) heißt lokales Minimum von f, wenn es eine Umgebung u von x. gibt, sodass für alle Werte XE U gilt: f(x) = f(x.). MERKE Satz 4.2.1: (notwendige Bedingung für innere Extremstellen) Folgende Aussage gilt nur, wenn f differenzierbar ist im Intervall [a,b] und x, € (a; b). Wenn x, eine innere Extremstelle ist (a.h. f(x.) ist ein lokales Extremum), dann gilt f'(x₁) = 0. BEGRIFFE Extremstelle: Hochpunkt: Tiefpunkt: Extrempunkte: Extremwerte: globales Maximum: globales Minimum: T Im folgenden Graphen wird nur das Intervall [-3; 3] betrachtet. Hochpunkt: H, (018) H₂ (3124) Tiefpunkt: T. (-310) T₂ (21-4) Inneren Extremstellen im Intervall: x₁=0 x3 = -3 X₁ = 3 Die lokalen Minima im Intervall: f(-3) Die lokalen Maxima im Intervall: f (3) Das globale Maximum im Intervall: f(3) Das globale Minimum im Intervall: f(2) НА Stelle X.. an der die Funktion ein Minimum oder Maximum hat. y = f(x.) ist lokales Maxima: H (x. | f (x₂)). y.= f(x.) ist lokales Minimum: T(x. | f(x)). Hoch- oder Tiefpunkte des Graphen. SaHelpunkt y-Werte der Extrempunkte.. größter y-wert in einem Intervall, falls vorhanden. kleinster y-wert in einem Intervall, falls vorhanden. Randstellen: ungefähr X₂ = 2 f(2) f(0) Sattelpunkt: Der Graph zeigt, dass die Bedingung f'(x) = 0 nicht ausreicht, um auf...
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Alternativer Bildtext:
die Existenz einer Extremstelle zu Schließen. Ein solcher Punkt S heißt Sattelpunkt. Randminimum - Randmaximum Die Funktion f. deren Graph in Fig. 1 skizziert ist, ist nur für 1 [^; ∞0] definiert. Hier kann man die Extremstelle x₁ = 1 nicht mit der Bedingung f'(x) = 0 finden. Man nennt die Stelle X.= eine Randstelle. Ein solches Extremum nennt man Randextremum. In Fig. 1 ist das Randextremum f(1) = 1/2. Beispiel: Funktion auf mögliche Extremstellen untersuchen Bestimme für die Funktion f mit f(x) = x²-3x³ die möglichen Extremstellen. Lösung: Es ist f'(x) = 4x³-4x² Gesucht sind die Stellen mit f'(x) = 0. Mögliche Extremstellen: f'(x) = 0 0=4x³4x² 0 = 4x²(x-1) 2- 1- + 이 I H 1 2 3 Graph von f 4 5 6 Fig. 1 also x₁=0 x₂ = 1. Somit sind x₁=0 und X₂ = 1 mögliche Extremstellen.