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4.2 Lokale Extremstellen
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4.2 Lokale Extremstellem MERKE (lokale Extrema) Lokales Maximum : Der Funktionswert f (x.) heißt lokales Maximum von f. wenn es eine Umgebung U von x. gibt, sodass für alle Werte x € U gilt: f(x) ≤ f(x₂). Lokales Minimum: Der Funktionswert f (x₁) heißt lokales Minimum von f, wenn es eine Umgebung U von x. gibt, sodass für alle Werte x € U gilt: f(x) = f(x.). MERK E Satz 4.2.1: (notwendige Bedingung für innere Extremstellen) Folgende Aussage gilt nur, wenn & differenzierbar ist im Intervall [a; b] und x. € (a; b). wenn x, eine innere Extremstelle ist (d.h. f(x.) ist ein lokales Extremum), dann gilt f'(x) = 0. BEGRIFFE Extremstelle: Hochpunkt: Tiefpunkt: Extrempunkte: Extremwerte: globales Maximum: globales Minimum: -4 Im folgenden Graphen wird nur das Intervall [3;3] betrachtet. Hochpunkt: H₂ (018) H₂ (3124) Tiefpunkt: T(-310) T₂ (21-4) Inneren Extremstellen im Intervall : x₁=0 Randstellen: X₂=-3 X 4 = 3 Die lokalen Minima im Intervall: f(-3) Die lokalen Maxima im Intervall: f(3) Das globale Maximum im Intervall: f(3) Das globale Minimum im Intervall: f(2) 16 НА Saltelpunkt T 3 -2 -1 0 Stelle X.. an der die Funktion ein Minimum oder Maximum hat. y₁ = f(x.) ist lokales Maxima: H (x₂ | f (x₂)). y.= f(x.) ist lokales Minimum: T(x₁ | f(x) ). Hoch- oder Tiefpunkte des Graphen. H₂ y-Werte der Extrempunkte. größter y-wert in einem Intervall, falls vorhanden. kleinster y-wert in einem Intervall, falls vorhanden. ungefähr x₂ = 2 f(2) f(0) Sattelpunkt: Der Graph zeigt, dass...
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Alternativer Bildtext:
die Bedingung f'(x)=0 nicht ausreicht, um auf die Existenz einer Extremstelle zu schließen. Ein solcher Punkt S heißt Sattelpunkt. Randminimum - Randmaximum Die Funktion f, deren Graph in Fig. 1 skizziert ist, ist nur für 1 = [1; ∞] definiert. Hier kann man die Extremstelle x₁ = 1 nicht mit der Bedingung f'(x₁) = 0 finden. Man nennt die Stelle X.= 1 eine Randstelle. Ein solches Extremum nennt man Randextremum. In Fig. 1 ist das Randextremum f(1) = 1/1/1 Beispiel: Funktion auf mögliche Extremstellen untersuchen Bestimme für die Funktion f mit f(x) = x²-3x³ die möglichen Extremstellen. Lösung: Es ist f'(x) = 4x ³-4x² Gesucht sind die Stellen mit f'(x) = 0. Mögliche Extremstellen: f'(x) = 0 0 = 4х3 - 4х2 0 4x²(x-1) 3. 2+ 1+ y # 0 I 1 2 3 Graph von f 4 5 also x₁=0 X₂ = 1. Somit sind x₁=0 und X₂=1 mögliche Extremstellen. 6 Fig. 1