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Extremstellen und Wendepunkte einfach berechnen

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Johanna

22.4.2021

Mathe

4.2 Lokale Extremstellen

Extremstellen und Wendepunkte einfach berechnen

Die lokalen Extrempunkte berechnen ist ein zentrales Thema in der Analysis. Es umfasst die Bestimmung von lokalen Maxima und Minima, die wichtige Eigenschaften von Funktionen darstellen. Der Prozess beinhaltet die Anwendung von notwendigen und hinreichenden Bedingungen, um Extremstellen zu berechnen.

Lokale Extrema können Hochpunkte (lokale Maxima) oder Tiefpunkte (lokale Minima) sein.
• Die notwendige Bedingung für innere Extremstellen besagt, dass die erste Ableitung an diesen Punkten Null sein muss.
• Neben inneren Extremstellen gibt es auch Randextrema, die an den Grenzen des Definitionsbereichs auftreten können.
• Sattelpunkte erfüllen die notwendige, aber nicht die hinreichende Bedingung für Extremstellen.

...

22.4.2021

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4.2 Lokale Extremstellan
MERKE (lokale Extrema)
Lokales Maximum:
Der Funktionswert f (x.) heißt lokales Maximum von f, wenn es eine Umgebung

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Randextrema und praktische Anwendung

Dieser Abschnitt behandelt Randextrema und zeigt ein praktisches Beispiel zur Bestimmung von Extremstellen.

Randextrema treten an den Grenzen des Definitionsbereichs einer Funktion auf und können nicht durch die Bedingung f'xx = 0 gefunden werden.

Example: In Figur 1 wird eine Funktion gezeigt, die nur für x ∈ [1; ∞) definiert ist. Hier tritt bei x = 1 ein Randextremum auf, mit f11 = 1/2.

Ein konkretes Beispiel demonstriert, wie man Extremstellen berechnet:

Example: Für die Funktion fxx = x⁴-3x³ sollen mögliche Extremstellen bestimmt werden. Die Lösung erfolgt durch Nullsetzen der ersten Ableitung: f'xx = 4x³-9x² = 0. Daraus ergeben sich die möglichen Extremstellen x₁ = 0 und x₂ = 9/4.

Diese praktische Anwendung zeigt, wie die theoretischen Konzepte zur Bestimmung von lokalen Extrema in der Praxis umgesetzt werden.

Highlight: Bei der Berechnung von Extremstellen ist es wichtig, sowohl innere Extremstellen als auch Randextrema zu berücksichtigen, um ein vollständiges Bild der Funktionseigenschaften zu erhalten.

Die Fähigkeit, Extremstellen zu berechnen, ist fundamental für viele Anwendungen in der Mathematik und den Naturwissenschaften, von der Optimierung bis zur Modellierung realer Phänomene.

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Mathe

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22. Apr. 2021

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@j0hannaa

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Randextrema und praktische Anwendung

Dieser Abschnitt behandelt Randextrema und zeigt ein praktisches Beispiel zur Bestimmung von Extremstellen.

Randextrema treten an den Grenzen des Definitionsbereichs einer Funktion auf und können nicht durch die Bedingung f'xx = 0 gefunden werden.

Example: In Figur 1 wird eine Funktion gezeigt, die nur für x ∈ [1; ∞) definiert ist. Hier tritt bei x = 1 ein Randextremum auf, mit f11 = 1/2.

Ein konkretes Beispiel demonstriert, wie man Extremstellen berechnet:

Example: Für die Funktion fxx = x⁴-3x³ sollen mögliche Extremstellen bestimmt werden. Die Lösung erfolgt durch Nullsetzen der ersten Ableitung: f'xx = 4x³-9x² = 0. Daraus ergeben sich die möglichen Extremstellen x₁ = 0 und x₂ = 9/4.

Diese praktische Anwendung zeigt, wie die theoretischen Konzepte zur Bestimmung von lokalen Extrema in der Praxis umgesetzt werden.

Highlight: Bei der Berechnung von Extremstellen ist es wichtig, sowohl innere Extremstellen als auch Randextrema zu berücksichtigen, um ein vollständiges Bild der Funktionseigenschaften zu erhalten.

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Lokale Extremstellen und ihre Eigenschaften

In diesem Abschnitt werden die grundlegenden Konzepte der lokalen Extrema erläutert. Es wird erklärt, wie man lokale Maxima und Minima berechnet und welche Bedingungen dafür erfüllt sein müssen.

Definition: Ein lokales Maximum ist ein Funktionswert fx0x₀, für den in einer Umgebung U von x₀ gilt: fxx ≤ fx0x₀ für alle x ∈ U. Ein lokales Minimum ist analog definiert mit fxx ≥ fx0x₀.

Die notwendige Bedingung für innere Extremstellen wird durch den Satz 4.2.1 beschrieben:

Highlight: Wenn x₀ eine innere Extremstelle einer differenzierbaren Funktion f im Intervall a,ba,b ist, dann gilt f'x0x₀ = 0.

Es werden wichtige Begriffe im Kontext von Extremstellen berechnen eingeführt:

Vocabulary:

  • Extremstelle: Punkt, an dem die Funktion ein Minimum oder Maximum hat.
  • Hochpunkt: Lokales Maximum des Graphen.
  • Tiefpunkt: Lokales Minimum des Graphen.
  • Extrempunkte: Hoch- oder Tiefpunkte des Graphen.
  • Extremwerte: y-Werte der Extrempunkte.

Ein Beispielgraph veranschaulicht diese Konzepte im Intervall 3;3-3; 3, wobei Hoch- und Tiefpunkte, innere Extremstellen sowie lokale und globale Extrema identifiziert werden.

Example: Im Graphen sind Hochpunkte bei H₁080|8 und H₂3243|24, Tiefpunkte bei T₁30-3|0 und T₂242|-4 zu sehen. Die inneren Extremstellen sind x₁=0, x₂=2, während x₃=-3 und x₄=3 Randstellen sind.

Der Begriff des Sattelpunkts wird eingeführt als ein Punkt, der die notwendige Bedingung f'xx = 0 erfüllt, aber kein Extremum darstellt.

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