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34
2
Johanna
22.4.2021
Mathe
4.2 Lokale Extremstellen
1.054
•
22. Apr. 2021
•
Johanna
@j0hannaa
Die lokalen Extrempunkte berechnenist ein zentrales Thema in der... Mehr anzeigen
Dieser Abschnitt behandelt Randextrema und zeigt ein praktisches Beispiel zur Bestimmung von Extremstellen.
Randextrema treten an den Grenzen des Definitionsbereichs einer Funktion auf und können nicht durch die Bedingung f' = 0 gefunden werden.
Example: In Figur 1 wird eine Funktion gezeigt, die nur für x ∈ [1; ∞) definiert ist. Hier tritt bei x = 1 ein Randextremum auf, mit f = 1/2.
Ein konkretes Beispiel demonstriert, wie man Extremstellen berechnet:
Example: Für die Funktion f = x⁴-3x³ sollen mögliche Extremstellen bestimmt werden. Die Lösung erfolgt durch Nullsetzen der ersten Ableitung: f' = 4x³-9x² = 0. Daraus ergeben sich die möglichen Extremstellen x₁ = 0 und x₂ = 9/4.
Diese praktische Anwendung zeigt, wie die theoretischen Konzepte zur Bestimmung von lokalen Extrema in der Praxis umgesetzt werden.
Highlight: Bei der Berechnung von Extremstellen ist es wichtig, sowohl innere Extremstellen als auch Randextrema zu berücksichtigen, um ein vollständiges Bild der Funktionseigenschaften zu erhalten.
Die Fähigkeit, Extremstellen zu berechnen, ist fundamental für viele Anwendungen in der Mathematik und den Naturwissenschaften, von der Optimierung bis zur Modellierung realer Phänomene.
In diesem Abschnitt werden die grundlegenden Konzepte der lokalen Extrema erläutert. Es wird erklärt, wie man lokale Maxima und Minima berechnet und welche Bedingungen dafür erfüllt sein müssen.
Definition: Ein lokales Maximum ist ein Funktionswert f(x₀), für den in einer Umgebung U von x₀ gilt: f(x) ≤ f(x₀) für alle x ∈ U. Ein lokales Minimum ist analog definiert mit f(x) ≥ f(x₀).
Die notwendige Bedingung für innere Extremstellen wird durch den Satz 4.2.1 beschrieben:
Highlight: Wenn x₀ eine innere Extremstelle einer differenzierbaren Funktion f im Intervall ist, dann gilt f' = 0.
Es werden wichtige Begriffe im Kontext von Extremstellen berechnen eingeführt:
Vocabulary:
- Extremstelle: Punkt, an dem die Funktion ein Minimum oder Maximum hat.
- Hochpunkt: Lokales Maximum des Graphen.
- Tiefpunkt: Lokales Minimum des Graphen.
- Extrempunkte: Hoch- oder Tiefpunkte des Graphen.
- Extremwerte: y-Werte der Extrempunkte.
Ein Beispielgraph veranschaulicht diese Konzepte im Intervall , wobei Hoch- und Tiefpunkte, innere Extremstellen sowie lokale und globale Extrema identifiziert werden.
Example: Im Graphen sind Hochpunkte bei H₁ und H₂, Tiefpunkte bei T₁ und T₂ zu sehen. Die inneren Extremstellen sind x₁=0, x₂=2, während x₃=-3 und x₄=3 Randstellen sind.
Der Begriff des Sattelpunkts wird eingeführt als ein Punkt, der die notwendige Bedingung f' = 0 erfüllt, aber kein Extremum darstellt.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Johanna
@j0hannaa
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Dieser Abschnitt behandelt Randextrema und zeigt ein praktisches Beispiel zur Bestimmung von Extremstellen.
Randextrema treten an den Grenzen des Definitionsbereichs einer Funktion auf und können nicht durch die Bedingung f' = 0 gefunden werden.
Example: In Figur 1 wird eine Funktion gezeigt, die nur für x ∈ [1; ∞) definiert ist. Hier tritt bei x = 1 ein Randextremum auf, mit f = 1/2.
Ein konkretes Beispiel demonstriert, wie man Extremstellen berechnet:
Example: Für die Funktion f = x⁴-3x³ sollen mögliche Extremstellen bestimmt werden. Die Lösung erfolgt durch Nullsetzen der ersten Ableitung: f' = 4x³-9x² = 0. Daraus ergeben sich die möglichen Extremstellen x₁ = 0 und x₂ = 9/4.
Diese praktische Anwendung zeigt, wie die theoretischen Konzepte zur Bestimmung von lokalen Extrema in der Praxis umgesetzt werden.
Highlight: Bei der Berechnung von Extremstellen ist es wichtig, sowohl innere Extremstellen als auch Randextrema zu berücksichtigen, um ein vollständiges Bild der Funktionseigenschaften zu erhalten.
Die Fähigkeit, Extremstellen zu berechnen, ist fundamental für viele Anwendungen in der Mathematik und den Naturwissenschaften, von der Optimierung bis zur Modellierung realer Phänomene.
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In diesem Abschnitt werden die grundlegenden Konzepte der lokalen Extrema erläutert. Es wird erklärt, wie man lokale Maxima und Minima berechnet und welche Bedingungen dafür erfüllt sein müssen.
Definition: Ein lokales Maximum ist ein Funktionswert f(x₀), für den in einer Umgebung U von x₀ gilt: f(x) ≤ f(x₀) für alle x ∈ U. Ein lokales Minimum ist analog definiert mit f(x) ≥ f(x₀).
Die notwendige Bedingung für innere Extremstellen wird durch den Satz 4.2.1 beschrieben:
Highlight: Wenn x₀ eine innere Extremstelle einer differenzierbaren Funktion f im Intervall ist, dann gilt f' = 0.
Es werden wichtige Begriffe im Kontext von Extremstellen berechnen eingeführt:
Vocabulary:
- Extremstelle: Punkt, an dem die Funktion ein Minimum oder Maximum hat.
- Hochpunkt: Lokales Maximum des Graphen.
- Tiefpunkt: Lokales Minimum des Graphen.
- Extrempunkte: Hoch- oder Tiefpunkte des Graphen.
- Extremwerte: y-Werte der Extrempunkte.
Ein Beispielgraph veranschaulicht diese Konzepte im Intervall , wobei Hoch- und Tiefpunkte, innere Extremstellen sowie lokale und globale Extrema identifiziert werden.
Example: Im Graphen sind Hochpunkte bei H₁ und H₂, Tiefpunkte bei T₁ und T₂ zu sehen. Die inneren Extremstellen sind x₁=0, x₂=2, während x₃=-3 und x₄=3 Randstellen sind.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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Anna
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Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Julia S
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