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Aktualisiert Mar 19, 2026
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Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen – Für Klasse 9 und 11, PDF und Beispiele
N
Nadine
@nadine.ocd
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Extremwertaufgaben mit Volumen
Diese Seite behandelt Extremwertaufgaben, die sich mit der Optimierung von Volumen befassen. Das vorgestellte Beispiel zeigt, wie man das größtmögliche Volumen eines Zylinders bei gegebener Oberfläche berechnet.
Die Aufgabe gibt vor, dass π · 72m² Material für den Zylinderbau zur Verfügung stehen. Ziel ist es, das maximale Volumen zu ermitteln. Der Lösungsweg folgt dem bekannten fünfstufigen Ablauf:
- Die Hauptbedingung wird als Volumenformel V(r,h) = πr²h aufgestellt.
- Die Nebenbedingung berücksichtigt die Oberfläche O(r,h) = 2πrh + 2πr².
- Die Zielfunktion V(r) = πr² · wird hergeleitet.
- Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
- Das Ergebnis wird formuliert und interpretiert.
Vocabulary: Der Mantel eines Zylinders ist die gekrümmte Seitenfläche, die den oberen und unteren Kreis verbindet.
Die Lösung ergibt, dass der Zylinder mit einem Radius von √12 Metern und einer Höhe von etwa 6,93 Metern das größte Volumen von ca. 261,25 m³ hat.
Highlight: Die Verwendung der ersten und zweiten Ableitung ist entscheidend, um den Hochpunkt und damit das maximale Volumen zu bestimmen.
Diese Art von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen zeigt die praktische Anwendung der Differentialrechnung in geometrischen Optimierungsaufgaben.
Extremwertaufgaben mit einer Parabel
Diese Seite behandelt Extremwertaufgaben, die eine Parabel als Nebenbedingung beinhalten. Das präsentierte Beispiel zeigt, wie man aus einem teilweise abgebrochenen Holzstück die größtmögliche rechteckige Platte gewinnen kann.
Die Aufgabe gibt eine Parabelfunktion f(x) = -1/16x² + 64 vor, die das abgebrochene Stück beschreibt. Das Ziel ist es, die Fläche der rechteckigen Platte zu maximieren. Der Lösungsweg folgt dem bekannten Schema:
- Die Hauptbedingung wird als Flächenformel A = a · b aufgestellt.
- Die Nebenbedingung wird durch die Parabelfunktion f(x) = -1/16x² + 64 gegeben.
- Die Zielfunktion A(x) = · wird hergeleitet.
- Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
- Das Ergebnis wird formuliert und interpretiert.
Example: Die optimale Platte hat eine Breite von ca. 124,5 cm und eine Länge von ca. 37,3 cm, was eine maximale Fläche von etwa 4646 cm² ergibt.
Highlight: Die Anwendung der ersten und zweiten Ableitung ist entscheidend, um zwischen Hoch- und Tiefpunkten zu unterscheiden und das absolute Maximum zu finden.
Diese Art von Extremwertaufgaben demonstriert die Anwendung mathematischer Methoden zur Lösung praktischer Optimierungsprobleme.
Weitere Extremwertaufgaben mit einer Parabel
Diese Seite behandelt ein weiteres Beispiel für Extremwertaufgaben mit einer Parabel. Die Aufgabe besteht darin, ein möglichst großes Rechteck unter einer gegebenen Parabel zu konstruieren.
Die Parabelfunktion ist gegeben als f(x) = -x² + 8, und das Ziel ist es, den Flächeninhalt des Rechtecks zu maximieren. Der Lösungsansatz folgt dem bewährten Schema:
- Die Hauptbedingung wird als Flächenformel A(a,b) = 2a · b aufgestellt.
- Die Nebenbedingung wird durch die Parabelfunktion b = f(a) = -a² + 8 gegeben.
- Die Zielfunktion A(a) = 2a wird hergeleitet.
- Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
- Das Ergebnis wird formuliert und interpretiert.
Example: Die Lösung ergibt, dass das Rechteck mit den Eckpunkten (1,63; 5,18) und (-1,63; 5,18) den maximalen Flächeninhalt von ca. 17,42 Flächeneinheiten hat.
Highlight: Die Verwendung der zweiten Ableitung ist entscheidend, um zu bestätigen, dass es sich bei dem gefundenen Punkt um einen Hochpunkt (Maximum) handelt.
Diese Art von Extremwertproblemen zeigt, wie mathematische Konzepte wie Funktionen und Ableitungen zur Lösung von Optimierungsaufgaben in der Geometrie eingesetzt werden können.
Vocabulary: Der Hochpunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion ihr lokales Maximum erreicht.
Die Lösung solcher Extremwertaufgaben erfordert ein gutes Verständnis von Funktionen, Ableitungen und geometrischen Zusammenhängen.
Grundlagen der Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
Diese Seite führt in die Methodik der Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen ein. Der Lösungsablauf wird in fünf klaren Schritten dargestellt:
- Aufstellen der Hauptbedingung (gesuchter maximaler oder minimaler Wert)
- Formulierung der Nebenbedingung (eine Einschränkung)
- Erstellung der Zielfunktion (abhängig von nur einer Variablen)
- Ermittlung lokaler Extremstellen mit der ersten Ableitung
- Formulierung des Ergebnisses
Definition: Extremwertaufgaben sind mathematische Probleme, bei denen der größte oder kleinste Wert einer Funktion unter bestimmten Bedingungen gesucht wird.
Ein konkretes Beispiel wird anhand einer Flächenoptimierungsaufgabe vorgestellt. Hier soll mit 200 Metern Zaun die größtmögliche rechteckige Fläche eingezäunt werden.
Example: Bei der Flächenoptimierung wird die Formel A(a) = a · verwendet, um die maximale Fläche zu berechnen.
Die Lösung zeigt, dass ein Quadrat mit 50 Meter Seitenlänge die größtmögliche Fläche von 2500 Quadratmetern ergibt.
Highlight: Die Anwendung der ersten und zweiten Ableitung ist entscheidend für die Bestimmung des Hochpunkts und damit der optimalen Lösung.
Diese Methodik bildet die Grundlage für komplexere Extremwertaufgaben, die in den folgenden Abschnitten behandelt werden.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Anna
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Thomas R
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Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen – Für Klasse 9 und 11, PDF und Beispiele
N
Nadine
@nadine.ocd
Extremwertaufgaben sind ein wichtiges Thema in der Mathematik, bei dem es darum geht, maximale oder minimale Werte unter bestimmten Bedingungen zu finden. Diese Zusammenfassung behandelt Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen und zeigt anhand von Beispielen, wie man solche Aufgaben löst.
- Der Lösungsablauf... Mehr anzeigen
Extremwertaufgaben mit Volumen
Diese Seite behandelt Extremwertaufgaben, die sich mit der Optimierung von Volumen befassen. Das vorgestellte Beispiel zeigt, wie man das größtmögliche Volumen eines Zylinders bei gegebener Oberfläche berechnet.
Die Aufgabe gibt vor, dass π · 72m² Material für den Zylinderbau zur Verfügung stehen. Ziel ist es, das maximale Volumen zu ermitteln. Der Lösungsweg folgt dem bekannten fünfstufigen Ablauf:
- Die Hauptbedingung wird als Volumenformel V(r,h) = πr²h aufgestellt.
- Die Nebenbedingung berücksichtigt die Oberfläche O(r,h) = 2πrh + 2πr².
- Die Zielfunktion V(r) = πr² · wird hergeleitet.
- Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
- Das Ergebnis wird formuliert und interpretiert.
Vocabulary: Der Mantel eines Zylinders ist die gekrümmte Seitenfläche, die den oberen und unteren Kreis verbindet.
Die Lösung ergibt, dass der Zylinder mit einem Radius von √12 Metern und einer Höhe von etwa 6,93 Metern das größte Volumen von ca. 261,25 m³ hat.
Highlight: Die Verwendung der ersten und zweiten Ableitung ist entscheidend, um den Hochpunkt und damit das maximale Volumen zu bestimmen.
Diese Art von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen zeigt die praktische Anwendung der Differentialrechnung in geometrischen Optimierungsaufgaben.
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Extremwertaufgaben mit einer Parabel
Diese Seite behandelt Extremwertaufgaben, die eine Parabel als Nebenbedingung beinhalten. Das präsentierte Beispiel zeigt, wie man aus einem teilweise abgebrochenen Holzstück die größtmögliche rechteckige Platte gewinnen kann.
Die Aufgabe gibt eine Parabelfunktion f(x) = -1/16x² + 64 vor, die das abgebrochene Stück beschreibt. Das Ziel ist es, die Fläche der rechteckigen Platte zu maximieren. Der Lösungsweg folgt dem bekannten Schema:
- Die Hauptbedingung wird als Flächenformel A = a · b aufgestellt.
- Die Nebenbedingung wird durch die Parabelfunktion f(x) = -1/16x² + 64 gegeben.
- Die Zielfunktion A(x) = · wird hergeleitet.
- Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
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Weitere Extremwertaufgaben mit einer Parabel
Diese Seite behandelt ein weiteres Beispiel für Extremwertaufgaben mit einer Parabel. Die Aufgabe besteht darin, ein möglichst großes Rechteck unter einer gegebenen Parabel zu konstruieren.
Die Parabelfunktion ist gegeben als f(x) = -x² + 8, und das Ziel ist es, den Flächeninhalt des Rechtecks zu maximieren. Der Lösungsansatz folgt dem bewährten Schema:
- Die Hauptbedingung wird als Flächenformel A(a,b) = 2a · b aufgestellt.
- Die Nebenbedingung wird durch die Parabelfunktion b = f(a) = -a² + 8 gegeben.
- Die Zielfunktion A(a) = 2a wird hergeleitet.
- Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
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Example: Die Lösung ergibt, dass das Rechteck mit den Eckpunkten (1,63; 5,18) und (-1,63; 5,18) den maximalen Flächeninhalt von ca. 17,42 Flächeneinheiten hat.
Highlight: Die Verwendung der zweiten Ableitung ist entscheidend, um zu bestätigen, dass es sich bei dem gefundenen Punkt um einen Hochpunkt (Maximum) handelt.
Diese Art von Extremwertproblemen zeigt, wie mathematische Konzepte wie Funktionen und Ableitungen zur Lösung von Optimierungsaufgaben in der Geometrie eingesetzt werden können.
Vocabulary: Der Hochpunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion ihr lokales Maximum erreicht.
Die Lösung solcher Extremwertaufgaben erfordert ein gutes Verständnis von Funktionen, Ableitungen und geometrischen Zusammenhängen.
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Grundlagen der Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
Diese Seite führt in die Methodik der Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen ein. Der Lösungsablauf wird in fünf klaren Schritten dargestellt:
- Aufstellen der Hauptbedingung (gesuchter maximaler oder minimaler Wert)
- Formulierung der Nebenbedingung (eine Einschränkung)
- Erstellung der Zielfunktion (abhängig von nur einer Variablen)
- Ermittlung lokaler Extremstellen mit der ersten Ableitung
- Formulierung des Ergebnisses
Definition: Extremwertaufgaben sind mathematische Probleme, bei denen der größte oder kleinste Wert einer Funktion unter bestimmten Bedingungen gesucht wird.
Ein konkretes Beispiel wird anhand einer Flächenoptimierungsaufgabe vorgestellt. Hier soll mit 200 Metern Zaun die größtmögliche rechteckige Fläche eingezäunt werden.
Example: Bei der Flächenoptimierung wird die Formel A(a) = a · verwendet, um die maximale Fläche zu berechnen.
Die Lösung zeigt, dass ein Quadrat mit 50 Meter Seitenlänge die größtmögliche Fläche von 2500 Quadratmetern ergibt.
Highlight: Die Anwendung der ersten und zweiten Ableitung ist entscheidend für die Bestimmung des Hochpunkts und damit der optimalen Lösung.
Diese Methodik bildet die Grundlage für komplexere Extremwertaufgaben, die in den folgenden Abschnitten behandelt werden.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
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