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Extremwertprobleme, Steckbriefaufgaben, wirtschaftliche Zusammenhänge
10.9.2023
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Wirtschaftliche Zusammenhänge Kostenfunktion: Beschreibt den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und den Gesamtkosten eines Unternehmens. Formel: K(x) = Fixkosten + Variable Kosten * x, wobei x die produzierte Menge ist. ● Erlösfunktion: Beschreibt den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und den Gesamterlösen eines Unternehmens. Formel: E(x) = Preis * x, wobei x die produzierte Menge und der Preis pro Einheit ist. ● ● Umsatzfunktion: Beschreibt den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und dem Umsatz (Gesamteinnahmen) eines Unternehmens. Formel: U(x) = Preis * x, wobei x die produzierte Menge und der Preis pro Einheit ist. Gewinnfunktion: Beschreibt den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und dem Gewinn eines Unternehmens. Formel: G(x) = E(x) - K(x), wobei E(x) die Erlöse und K(x) die Kosten sind. ● Gewinnschwelle: Ist der Punkt, an dem der Gewinn null ist. Formel: G(x) = 0. ● ● Gewinngrenze: Ist der Punkt, an dem der Gewinn maximiert wird. Formel: G'(x) = 0, wobei G'(x) die Ableitung der Gewinnfunktion ist. . Gewinnmaximum: Der Wert von x, bei dem der Gewinn am höchsten ist. Überprüfung: G"(x) < 0, wobei G"(x) die zweite Ableitung der Gewinnfunktion ist. ● Fixkosten: Kosten, die unabhängig von der produzierten Menge sind. Bleiben konstant, selbst wenn die Produktion gesteigert wird. ● Break-Even-Punkt: Der Punkt, an dem Erlöse und Kosten gleich sind, also der Gewinn null ist. Kann als Gewinnschwelle betrachtet werden. Formel: Gewinnfunktion G(x) = 0 ● ● Extremwertprobleme Methode (Gegeben Funktion f(x) = -1/2 x ²³² +2) O. Skizze zeichnen 1. EB...
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(Extremal bedingung bilden) L▷ Was soll maximal/minimal werden ? Bsp: Der Flächeninhalt (A) eines Dreiecks / Vierecks og A = 1/2 U · V 3. LA (A, B, P) = Punkt abhängigkeit 4. 2. NB (Werte aus der Aufgabe einsetzen /Zusammen hänge) B = (U10) DF: -2<x<2 P = (Ulv) A = (-210) v= f(u) ggf. nach gesuchtem umformen Zielfunktion aufstellen A (u) = 1/2 (0+2) · f(u) €/U.V Weil A (-2/0) im Periodensysthem ! Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen 4 ggf ausmultiplizieren oä ↳ 1 Ableitung bilden; 2 Ableitung bilden ·LD 1 Ableitung Nullsetzen LD WP = f(u) = -√2/2u² +2 Verfahren mit hinreichender und notwendiger Bedingung für Hoch- und Tiefpunute (Nullstelle der 1.Abl. = HP oder TP / SP (Bei 7 Her ++)). PQ-Formel oder Polyroots für Nullstellen HP oder TP der 1 Ableitung Mit 2 Ableitung herrausfinden (f" ist f' von f'). 2 A 1AM 1 Abl 5. Extremstellen in Zielfunktion einsetzen Sind die Werte im Definitionsbereich ? Bei Suche nach dem größtmöglichen Flächeninhalt (A) muss der Wert des Ergebnisses positiv sein! Anschließend Randwerte prüfen und Antwortsatz formulieren ↳ DONE Steckbriefaufgaben - Methode 0. Überprüfen, was gegeben ist (Punkt, HP, WP, SP, TP, Steigung oä.) ↳ Welchen Grades ist die Funktion? → Funktionsgleichung aufstellen! 2.B. Funktion 4ten grades: f(x) = ax" +bx³ +cx² +dx + € 1. Symetrie prüfen LD punktsymetric = Nur ungerade Exponenten z.B. f(x) = a +bx³ + x² + x³ + x² 0% LD Achsensymetrisch (zur x- oder y- Achse) = Nur gerade Exponenten z. B. f(x) = ax4 +hx³ + cx² + x² +e 2. 1. und 2. Ableitung bilden 4 f'(x) und f(x) 3. bsp f'(x) = 4ax ³ + 3bx² + 2cx +d f"(x) = 12ax² + 6bx + 2c Unbekannte Koefizienten bestimmen LD Wie viele Unbekannte Koefizienten habe ich gegeben ? In dem Beispiel (Funktion 4ken Grades) je nach achsensymetrie 2 (bid); 3 (a.c, e) oder 5 (a,b,c,d,e) unbekannte Koefizienten ↳ Je nach der Anzahl der unbekannten Koefizienten Bedingungen aufstellen I HENN I ННЕ ㅍ ggf. gekürzt wegen symetric (ungerade / gerade Exponenten fallen weg). Ан I I LD Aufgestellte Bedingungen mit linsolve losen (menu 3,2) 4. Ergebnisse in Funktionsgleichung einsetzen