Mathematische Grundformeln

Prozentrechnung

• Grundformel: W = G · p/100
• G: Grundwert
• W: Prozentwert
• p%: Prozentsatz

Wichtiger Hinweis: Um in der Prozentrechnung erfolgreich zu sein, musst du immer wissen, welche der drei Größen (Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz) gesucht ist. Mit der Grundformel kannst du alle Aufgabentypen lösen.

Zinsrechnung

• Kapital nach n Jahren: K = K₀ · $1 + p/100$ⁿ
• n: Anzahl der Jahre
• p%: Zinssatz
• K₀: Anfangskapital

Geometrische Formeln

Rechtwinkliges Dreieck

• Satz des Pythagoras: c² = a² + b²
• Umfang: u = a + b + c
• Flächeninhalt: A = a·b/2 = c·h/2

Seiten-Winkel-Beziehungen

• sin α = Gegenkathete/Hypotenuse = a/c
• cos α = Ankathete/Hypotenuse = b/c
• tan α = Gegenkathete/Ankathete = a/b

Beliebiges Dreieck

• Umfang: u = a + b + c
• Flächeninhalt: A = c·h/2 oder A = ½·a·b·sin γ
• Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γ

Vierecke und Kreis

Rechteck

• Umfang: u = 2a + 2b = 2$a + b$
• Flächeninhalt: A = a·b
• Diagonalen: e = f = √$a² + b²$

Trapez

• Mittellinie: m = $a+c$/2
• Flächeninhalt: A = m·h = $a+c$·h/2

Kreis

• Durchmesser: d = 2·r
• Umfang: u = 2·π·r
• Flächeninhalt: A = π·r²

Quadratische Funktionen und Gleichungen

• Scheitelpunktform: f(x) = $x + d$² + e mit Scheitelpunkt S$-d|e$
• Normalform: 0 = x² + px + q
• PQ-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$

Methoden zum Lösen: Quadratische Gleichungen können auf verschiedene Weisen gelöst werden: durch Ausklammern, mit der PQ-Formel, durch Faktorisieren oder grafisch durch Nullstellenbestimmung der entsprechenden Funktion.

Weitere wichtige Größen

• Dichte eines Stoffes: ρ = m/V
• Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung: v = s/t
• Potenzen: aⁿ = a·a·...·a $n-mal$
• Wurzeln: √a = a^(1/2) für a ∈ ℝ und a ≥ 0

Raumgeometrie und Stochastik

Körper und ihre Formeln

Würfel

• Grundfläche: A_G = a²
• Oberfläche: A_O = 6a²
• Volumen: V = a³
• Raumdiagonale: d = a√3

Merksatz: Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang. Das macht ihn zum einfachsten Körper für Volumen- und Oberflächenberechnungen in der Formelsammlung Mathematik Sekundarstufe 1.

Quader

• Grundfläche: A_G = a · b
• Oberfläche: A_O = 2ab + 2bc + 2ac
• Volumen: V = abc
• Raumdiagonale: d = √$a² + b² + c²$

Prisma (dreiseitig, gerade)

• Mantelfläche: A_M = u_G · h
• Oberfläche: A_O = 2A_G + A_M
• Volumen: V = A_G · h

Pyramide (quadratisch, gerade)

• Grundfläche: A_G = a²
• Mantelfläche: A_M = 2a · h_s
• Oberfläche: A_O = A_G + A_M
• Volumen: V = ⅓ A_G · h

Zylinder (gerader)

• Grundfläche: A_G = πr²
• Mantelfläche: A_M = 2 · π · r · h
• Oberfläche: A_O = 2A_G + A_M
• Volumen: V = A_G · h = πr²h

Kugel

• Oberfläche: A_O = 4πr²
• Volumen: V = ⁴⁄₃πr³

Kegel (gerader)

• Mantellinie: s² = r² + h²
• Grundfläche: A_G = πr²
• Mantelfläche: A_M = πrs
• Oberfläche: A_O = πr$r+s$
• Volumen: V = ⅓A_G · h = ⅓πr²h

Stochastik

Zufallsexperimente

• Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt für ein Ereignis A:
• P(A) = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse / Anzahl der möglichen Ergebnisse

Baumdiagramm: Pfadregeln für mehrstufige Zufallsexperimente

Produktregel:

• Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des jeweiligen Pfades.
• Beispiel: P(D) = p₁ · p₄

Summenregel:

• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Pfade.
• Beispiel: H = {D, E} → P(H) = p₁ · p₄ + p₂ · p₅

Stochastik-Tipp: Beim Lösen von Wahrscheinlichkeitsaufgaben ist das Baumdiagramm dein bester Freund. Es visualisiert alle möglichen Pfade und hilft dir, komplexe Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Diese Methode ist besonders hilfreich für die Mathe Formelsammlung Abitur PDF.