Funktionen und ihre Graphen

Alternativer Bildtext:

steiler Graph wird flacher ↑ +2 1 (x-2) → Verschiebung in Eine Veränderung des Funktionsterms einer Funktion f wirkt sich auf den Graphen wie folgt aus: (x-2)² X-Richtung g(x)= a f(x) Der Graph wird mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt. h(x)=f(x-6) Der Graph wird um 6 in x-Richtung verschoben i(x)=f(x)+c Der Graph wird um c in y-Richtung verschoben. Streckung: Canzrationale Funktionen wenn man nur von Funktionen mit Funktionsthermen der Form dox, a₁.x² az X₂ ausgeht und diese addiert, erhält man Funktionen wie f mit: f(x)=2x+3x²+6.x² was ergibt: 6x²+3x+2 Definition: Eine Funktion f der Form f(x) = an- x^+On-₁ X+...+d₁ ·x + do mit Df = IR heißt gauzrationale Funktion vom Gradu. nEIN:nist Element der natürlichen Zahlen an #0: Hochzahlen sind nur positive zanleu ↑ ↑ die reellen zahlen do, a₁... heißen koeffizienteu vou f der Grad einer ganzrationalen Funktion entspricht der höchsten X-Potenz Graphen und ihr Verhalten für +/- unendlich Die ganzrationalen Funktionen bilden eine Funktionsklasse, beider man Eigenschaften am Grad ablesen und anden koeffizienten erkennen kann. Das Verhalten von f für x→ ± 00 ist durch den Summand mit der höchsten x-Potenz (Hochzahl) bestimmt! Man unterscheidet 4 Fälle: ↑ Girapu kommt von обеи und gent nach oben →→X n gerade (gerade Hochzahl) an³0 (positive zani) + Graph kommt von unten & geht nach oben →→X Y↑ n ungerade (Hochzahlungerade) ans0 (positive Zahl) Graph kommt von unten und geht nach unten n gerade (gerade Hochzahl) an<0 (negative zani) →→→X Y₁ Graph kommt von oben & gent nach unten →X n ungerade (Hochzahl ungerade) anco (negative Zani) Symmetrie vom Graphem Der Graph istachsensymmetrisch zur y-Achse. Die Funktionswerte f(-x) und f(x) sind Gegenwerte. →→X f(-x)=f(x) A * →X Bsp: a) b) nur gerade Hochzahlen Der Graph ist punktsymmetrisch zum ursprung 0. Die Funktionswerte f'(-x) und f(x) sind Gegenwerte. f(-x) = -f(x) nur ungerade Hochzanien Bei der ganzrationalen f(x)=x²-3x²+1 treten nur gerade Hochzahlen auf. Es gilt: f(-x) = -(x) 4-3. (-x)²+1 = x4-3x²+1 = f(x) achsensymmetrisch zur y-Achse Bei der ganzrationalen Funktion f(x)= x³-2x treten nur ungerade Hochzahlen auf. Es gilt: f(-x)=(-x)²-2-(-x) =-X³+2x punktsymmetrisch =-(x³-2x) = -f(x) ) zum ursprung Nullstellen gangrationaler Funktionen Eine Zanı x₁ neißt Nullstelle einer Funktion, wenn f(x₁) =0 ist. Für manche ganzrationale Funktionen gibt es Verfahren zur Berechn- ung von Nullstellen 1) Quadratische Gleichung f(x)=ax²+bx+c 2) Lösungsverfahren: Lösungsformel: X₁₁2 = -6± 6²-4.d.c 29 g(x)=x²-4x= x (x²4) : ausklammern! Lösungsverfahren: Satz des Nullprodukt x-(x²4) → einzelne telle einzeln gleich 0 setzen x²-4=0/+4 X²-4/ X1,2 = ±2 X3 = 0 3) Biquadratische Lösung (f(x)=x²-17x² +18 Eine biquadratische Gleichung kann man auf eine quadrati - sche Gleichung zurückführen • Man ersetzt x² durch eine neue Variable Substitution: x² =²; X² =2² • es ergibt sich x4-11x²+18=2²-11z+18 • Man löst die quadratische Gleichung 2²-112+18 Lösungen: 2₁=2₁ 2₂ = 9 Rücksubstitution: x²=2 / √ X₁₁2 = ± √√2₁ x²=9/√g' X3,4 = ±3 Schnittpunkt Von Funktionen f(x)=x² g(x)=2x+1 Wir wissen: beide Funktionen besitzen in den Schnittpunkten die gleichen y-koordinaten, also gilt: f(x) = g(x) für Schnittpunkt berechnung! x²=2X+1 /-x² 0=-X²+2x+1 a b c -2±4-4 (-1)-1 -2 = -2±4+4 -2 X₁ = −2+√ 8² = 0,49 -2 X₂=-2-√√8=2,41 -2 y-koordinate: f(0,41)=041²=0,17 f(2,41)=2,41²=5,81 S₁ (0,41/0,17) $₂ (2,41/5,81) Linearfaktoren & mehrfache nullstellen Sind die Nullstellen einer Funktion bekannt, so kann die Funktion in Linearfaktordarstellung angegeben werden. (x-a) heißt Linear - faktor, a = der x-wert der Nullstelle. Hat eine Funktion den gleichen Linearfaktor mehrmals (x-a)", so sprechen wir von mehreren Nullstellen. Satz 1: Eine ganzrationale Funktion vom Grad u hat höchstens n Nullstellen. höchster Grad gibt Anzahl von Nullstellen an Y↑ * →X Einfache Nulistelle : Doppelte Nullstelle: (zweifach, vierfach...) gerade Hochzahl →X X-Achse wird geschnitten X-Achse wird berührt Dreifache Nullstelle (fünffach, siebenfach...) ungerade Hochzanl Bsp: Satz 2: Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f in Linearfaktor- darstellung. Dann gilt: Y↑ & →X Tritt ein Linearfaktor (x-a) 2,4,6-mal auf, heißt x=a zweil vier - fache Nullstelle. Der Graph von f berührt die x-Achse an der Stelle x=d. einfache Nullstelle Tritt ein Linearfaktor (x-a) 1,3,5-Mal auf,heißt X=a dreifache, fünffache Nullstelle. Der Graph von f schneidet die x-Acuse an der Stelle x=a. X-Achse wird berührt und geschnitten 2 +X Die Funktion h mit n(x)=(x-1). (x-3). (x-3) (x-1) -(x-3)² nat die Nullstellen X₁=1 und X₂=3 (Satz des Null- produkts!) Da der Linear faktor (x-3) im Funktionsterm zweimal vorkommt, heißt X₂=3 doppelte Nullstelle. Dort wird die x-Achse nicht geschnitten sondern berührt. zweifache Nullstelle f(x)= x (x+3)² BSP : Geben sie eine ganzrationale Funktion from Grad 3 an, die genau die zwei Nullstellen -3 und 0 hat, wobei -3 eine zweifache Nullstelle ist.