Schnittpunkte von Funktionen berechnen: Quadratische und Lineare Funktionen
Die Berechnung von Schnittpunkten zwischen einer Potenzfunktion und einer linearen Funktion ist ein fundamentales Konzept der Mathematik. Bei der Analyse von f(x)=x² und g(x)=2x+1 müssen wir systematisch vorgehen, um die exakten Koordinaten der Schnittpunkte zu ermitteln.
Definition: Schnittpunkte sind die Punkte, an denen zwei Funktionen identische y-Koordinaten aufweisen. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies f(x) = g(x).
Um die Schnittpunkte zu berechnen, setzen wir die Funktionen gleich und lösen die entstehende quadratische Gleichung. Bei x² = 2x+1 formen wir zunächst in die Normalform um: -x² + 2x + 1 = 0. Diese Gleichung lässt sich mittels der quadratischen Lösungsformel lösen.
Die Berechnung ergibt zwei Schnittpunkte: S₁(0,41/0,17) und S₂(2,41/5,81). Diese Werte können wir durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion verifizieren. Der erste Schnittpunkt liegt im ersten Quadranten nahe dem Ursprung, während der zweite Schnittpunkt weiter rechts und höher liegt.
Beispiel: Zur Kontrolle können wir die x-Koordinaten in beide Funktionen einsetzen:
- Für S₁: f(0,41) = 0,41² = 0,17 und g(0,41) = 2(0,41) + 1 = 0,17
- Für S₂: f(2,41) = 2,41² = 5,81 und g(2,41) = 2(2,41) + 1 = 5,81