Definitionsmenge und Wertemenge

Dieser Abschnitt erläutert die Konzepte der Definitionsmenge und Wertemenge von Funktionen.

Definition: Die Definitionsmenge Df ist die Menge aller möglichen x-Werte, für die eine Funktion definiert ist. Die Wertemenge Wf ist die Menge aller möglichen y-Werte oder Funktionswerte.

Es werden verschiedene Schreibweisen für Intervalle und Mengen vorgestellt, wie z.B. [a;b] für geschlossene Intervalle und (a,b] für halboffene Intervalle.

Example: Für f(x) = x² ist Df = ℝ (alle reellen Zahlen) und Wf = [0,∞) (alle nicht-negativen reellen Zahlen).

Vocabulary: ℝ \ {a} bedeutet "alle reellen Zahlen außer a".

Diese Erklärungen sind besonders hilfreich für Mathe 11 Klasse Funktionen und bieten eine gute Grundlage für das Verständnis von Definitionsmenge und Wertemenge.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Diese Seite behandelt die Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen und stellt verschiedene Lösungsverfahren vor.

Definition von Nullstellen

Eine Zahl x₁ heißt Nullstelle einer Funktion f, wenn f(x₁) = 0 ist.

Definition: Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionsgraph die x-Achse schneidet.

Lösungsverfahren für Nullstellen

1. Quadratische Gleichung Für Funktionen der Form f(x) = ax² + bx + c verwendet man die Lösungsformel: x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

2. Satz vom Nullprodukt Bei Funktionen, die sich faktorisieren lassen, wie g(x) = x(x-4), setzt man jeden Faktor gleich Null.

3. Biquadratische Gleichung Für Gleichungen der Form f(x) = x⁴ - 17x² + 18 substituiert man x² durch eine neue Variable.

Example: Für g(x) = x(x-4) = 0 ergeben sich die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 4.

Bedeutung der Nullstellen

Nullstellen sind wichtige Charakteristika einer Funktion. Sie geben Aufschluss über den Verlauf des Graphen und sind oft von praktischer Bedeutung in Anwendungen.

Highlight: Die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ist höchstens gleich ihrem Grad.

Die Fähigkeit, Nullstellen zu berechnen, ist grundlegend für die Analyse von Funktionen und findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer praktischen Anwendungen.

Funktionen und ihre Graphen

Dieser Abschnitt bietet einen Überblick über verschiedene Funktionstypen und ihre charakteristischen Graphen. Es werden lineare Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen und Exponentialfunktionen behandelt.

Definition: Eine lineare Funktion hat die Form g(x) = mx + c, wobei m die Steigung und c der y-Achsenabschnitt ist.

Highlight: Bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten entsteht eine V-förmige Kurve, während ungerade Exponenten eine S-förmige Kurve erzeugen.

Example: Die Wurzelfunktion g(x) = √x ist nur für x ≥ 0 definiert und nähert sich der x-Achse für große x-Werte.

Diese Mathe Funktionen Übersicht PDF ist besonders nützlich für Schüler der Mathe Klasse 11, da sie die grundlegenden Eigenschaften von Funktionen visuell darstellt und erklärt.

Verschieben & Strecken von Graphen

Dieser Abschnitt erklärt, wie man Graphen von Funktionen verschiebt und streckt.

Definition:

• g(x) = a · f(x) streckt den Graphen mit dem Faktor a in y-Richtung
• h(x) = f(x - b) verschiebt den Graphen um b in x-Richtung
• i(x) = f(x) + c verschiebt den Graphen um c in y-Richtung

Es werden Beispiele für Wurzelfunktionen und Potenzfunktionen gegeben, die diese Transformationen veranschaulichen.

Example: f(x) = √(x-3) verschiebt den Graphen der Wurzelfunktion um 3 Einheiten nach rechts.

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