Mehrfache Nullstellen und ihre Auswirkungen auf den Funktionsgraphen

Mehrfache Nullstellen spielen eine besondere Rolle bei ganzrationalen Funktionen und beeinflussen das Verhalten des Funktionsgraphen an diesen Stellen.

Definition: Eine Nullstelle heißt mehrfach, wenn der entsprechende Linearfaktor in der Linearfaktordarstellung mehrmals auftritt.

Die Vielfachheit von Nullstellen bestimmt, ob der Graph die x-Achse an der entsprechenden Stelle schneidet oder berührt:

• Eine einfache (dreifache, fünffache, ...) Nullstelle führt dazu, dass der Graph die x-Achse schneidet.
• Eine zweifache (vierfache, sechsfache, ...) Nullstelle bewirkt, dass der Graph die x-Achse berührt.

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = x(x+3)² ist x = 0 eine einfache Nullstelle und x = -3 eine zweifache Nullstelle.

Diese Eigenschaften sind besonders nützlich bei der Analyse und Konstruktion von Funktionsgraphen.

Highlight: Die Vielfachheit von Nullstellen beeinflusst direkt das Aussehen des Funktionsgraphen an diesen Stellen.

Bei der Erstellung von Funktionen mit bestimmten Eigenschaften ist die Kenntnis über mehrfache Nullstellen von großer Bedeutung. So kann man gezielt Funktionen konstruieren, die an bestimmten Stellen die x-Achse berühren oder schneiden.

Example: Eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph die x-Achse an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = -4 berührt, könnte als g(x) = (x-1)²(x+4)² dargestellt werden.

Die Fähigkeit, ganzrationale Funktionen zu bestimmen und ihre Eigenschaften zu analysieren, ist ein wichtiger Bestandteil des mathematischen Verständnisses und findet Anwendung in vielen Bereichen der höheren Mathematik und der Naturwissenschaften.