1.7 Linearfaktoren - mehrfache Nullstellen

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Bei ganzrationalen Funktionen gibt es zwei unterschiedliche Darstellungsweisen des Terms:
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Zusammenfassung zum Thema "1.7 Linearfaktoren - mehrfache Nullstellen" - Linearfaktor-/ Summendarstellung erklärt, verglichen, Beispiele,... + Merksatz - Mehrfache Nullstellen (Verbildlicht dargestellt) + Merksatz

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17 Linearfaktoren - mehrfache Nullstellen Bei ganzrationalen Funktionen gibt es zwei unterschiedliche Darstellungsweisen des Terms: Vorteile Linearfaktoren f(x) = (x-1) · (x-2)⋅ (x-3) = (x²-3x + 2) · (x + 3) = x³- 7× + 6 Linearfaktordarstellung. Summendarstellung Beispiele Ausmultiplizieren (Distributivgesetz) Linear faktordarstellung Die Nullstellen der Funktion sind ohne weitere Rechnung erkennbar. Summendarstellung Das Verhalten der Funktion für x→∞ und die Symmetrie des Graphen sind gut erkennbar. Alle Nullstellen berechnen, damit ergeben sich die Linearfaktoren. Oder: Einzelne Linearfaktoren ausklammern (Polynomdivision) Linearfaktordarstellung f(x)=(x-3) (x-2) f(x) = (x-0) (x + 5)· (x + 5) = x⋅ (x−5) ² f(x) = 2(x+3)(x-2) pa-Formel Es gibt ganzrationale Funktionen, die man nicht in Linearfaktor darstellung schreiben kann. Dies ist z. B. bei der Funktion g mit g(x)=x²+1 der Fall keine Nullstellen. Da die Gleichung x²+1-0 keine Lösung hat, hat д Damit ist eine Linearfaktordarstellung nicht möglich. (vgl. Bild rechts) Summendarstellung f(x)=x²-5x+6 f(x) = x²-x f(x) = 2x² - 2x - 12 Allgemein gilt: wenn ein Term, der aus n Linearfaktoren besteht ausmultipliziert wird. dann ergibt sich als höchste Potenz X". Damit ergibt sich folgender Satz: Satz 1: Eine ganzrationale Funktion f vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. ^Y Graph vong »x April 21 Mehrfache Nullstellen: Satz 2: Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f in Linearfaktordarstellung. Dann gilt: -Tritt ein Linear faktor (x-a) zweimal (viermal, sechsmal..) auf, heißt x = a zweifache (vierfache, sechsfache...) Nullstelle. Der Graph berührt die x-Achse an der Stelle x=a. - Tritt...

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ein Linear faktor (x-a) einmal (dreimal, fünfmal) auf. heißt x=a einfache (dreifache, fünffache...) Nullstelle. Der Graph von f schneidet die x-Achse an der Stelle x-a. Beispielaufgabe Funktionsterme mithilfe von Linear faktoren angeben a) Geben Sie eine ganzrationale Funktion f vom Grad drei an, die genau die zwei Nullstellen -3 und 0 hat, wobei -3 eine zweifache Nullstelle ist. Lösung: z. B. f(x)= x⋅ (x+3) ² 0. f(x)= 7x (x+3)² b) Geben Sie eine ganzrationale Funktion 9 vom Grad vier an, deren Graph g die x-Achse an den Stellen x₁ = 1 und X₂ = - 4 berührt. Lösung: z.B. g(x) = (x-1) ². (x+4)² -1 YA 1- 0 -2 X₁ h(x)=(x-1)-(x-3) ² einfache Nullstelle X₂ zweifache Nullstelle Quelle: Lambacher Schweizer 10 BaWü Ernst Klet Verlag GmbH, Stuttgart 2016

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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