Linearfaktordarstellung und Vielfachheit von Nullstellen - Einfach erklärt

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Johanna

21.4.2021

Mathe

1.7 Linearfaktoren - mehrfache Nullstellen

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Funktionen fortgeschritten

Nullstellen ganzrationaler funktionen 3. und höheren grades

Linearfaktordarstellung und Vielfachheit von Nullstellen - Einfach erklärt

Linearfaktordarstellung und mehrfache Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen sind zentrale Konzepte in der Algebra. Diese Methoden ermöglichen es, komplexe Funktionen zu vereinfachen und ihre Eigenschaften leichter zu analysieren.

Linearfaktordarstellung ermöglicht es, Nullstellen direkt abzulesen
Mehrfache Nullstellen beeinflussen das Verhalten des Funktionsgraphen an diesen Stellen
Ganzrationale Funktionen vom Grad n haben höchstens n Nullstellen
Die Vielfachheit von Nullstellen bestimmt, ob der Graph die x-Achse schneidet oder berührt

21.4.2021

1.7 Linearfaktoren - mehrfache Nullstellen
Bei ganzrationalen Funktionen gibt es zwei unterschiedliche Darstellungsweisen des Terms:
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Mehrfache Nullstellen und ihre Auswirkungen auf den Funktionsgraphen

Mehrfache Nullstellen spielen eine besondere Rolle bei ganzrationalen Funktionen und beeinflussen das Verhalten des Funktionsgraphen an diesen Stellen.

Definition: Eine Nullstelle heißt mehrfach, wenn der entsprechende Linearfaktor in der Linearfaktordarstellung mehrmals auftritt.

Die Vielfachheit von Nullstellen bestimmt, ob der Graph die x-Achse an der entsprechenden Stelle schneidet oder berührt:

Eine einfache $dreifache, fünffache, ...$ Nullstelle führt dazu, dass der Graph die x-Achse schneidet.
Eine zweifache $vierfache, sechsfache, ...$ Nullstelle bewirkt, dass der Graph die x-Achse berührt.

Beispiel: Bei der Funktion f $x$ = x $x+3$ ² ist x = 0 eine einfache Nullstelle und x = -3 eine zweifache Nullstelle.

Diese Eigenschaften sind besonders nützlich bei der Analyse und Konstruktion von Funktionsgraphen.

Highlight: Die Vielfachheit von Nullstellen beeinflusst direkt das Aussehen des Funktionsgraphen an diesen Stellen.

Bei der Erstellung von Funktionen mit bestimmten Eigenschaften ist die Kenntnis über mehrfache Nullstellen von großer Bedeutung. So kann man gezielt Funktionen konstruieren, die an bestimmten Stellen die x-Achse berühren oder schneiden.

Example: Eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph die x-Achse an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = -4 berührt, könnte als g $x$ = $x-1$ ² $x+4$ ² dargestellt werden.

Die Fähigkeit, ganzrationale Funktionen zu bestimmen und ihre Eigenschaften zu analysieren, ist ein wichtiger Bestandteil des mathematischen Verständnisses und findet Anwendung in vielen Bereichen der höheren Mathematik und der Naturwissenschaften.

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Linearfaktordarstellung und Vielfachheit von Nullstellen - Einfach erklärt

Johanna

@j0hannaa

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Mehrfache Nullstellen und ihre Auswirkungen auf den Funktionsgraphen

Mehrfache Nullstellen spielen eine besondere Rolle bei ganzrationalen Funktionen und beeinflussen das Verhalten des Funktionsgraphen an diesen Stellen.

Definition: Eine Nullstelle heißt mehrfach, wenn der entsprechende Linearfaktor in der Linearfaktordarstellung mehrmals auftritt.

Die Vielfachheit von Nullstellen bestimmt, ob der Graph die x-Achse an der entsprechenden Stelle schneidet oder berührt:

Eine einfache $dreifache, fünffache, ...$ Nullstelle führt dazu, dass der Graph die x-Achse schneidet.
Eine zweifache $vierfache, sechsfache, ...$ Nullstelle bewirkt, dass der Graph die x-Achse berührt.

Beispiel: Bei der Funktion f $x$ = x $x+3$ ² ist x = 0 eine einfache Nullstelle und x = -3 eine zweifache Nullstelle.

Diese Eigenschaften sind besonders nützlich bei der Analyse und Konstruktion von Funktionsgraphen.

Highlight: Die Vielfachheit von Nullstellen beeinflusst direkt das Aussehen des Funktionsgraphen an diesen Stellen.

Example: Eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph die x-Achse an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = -4 berührt, könnte als g $x$ = $x-1$ ² $x+4$ ² dargestellt werden.

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Linearfaktoren und mehrfache Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen

Die Linearfaktordarstellung ist eine wichtige Darstellungsform für ganzrationale Funktionen. Sie bietet gegenüber der Summendarstellung einige Vorteile, insbesondere bei der Analyse von Nullstellen.

Definition: Die Linearfaktordarstellung einer ganzrationalen Funktion ist eine Darstellung in der Form f $x$ = a $x-x₁$ $x-x₂$ ... $x-xₙ$ , wobei x₁, x₂, ..., xₙ die Nullstellen der Funktion sind.

Bei der Linearfaktordarstellung können die Nullstellen der Funktion direkt abgelesen werden, ohne weitere Berechnungen durchführen zu müssen. Dies ist besonders nützlich bei der Analyse des Funktionsverhaltens.

Beispiel: Die Funktion f $x$ = $x-1$ $x-2$ $x-3$ hat die Nullstellen 1, 2 und 3.

Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle ganzrationalen Funktionen in Linearfaktordarstellung geschrieben werden können. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion g $x$ = x² + 1, die keine reellen Nullstellen hat.

Highlight: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.

Die Summendarstellung hat den Vorteil, dass das Verhalten der Funktion für x → ∞ und die Symmetrie des Graphen leichter erkennbar sind. Die Umwandlung von der Linearfaktordarstellung in die Summendarstellung erfolgt durch Ausmultiplizieren unter Anwendung des Distributivgesetzes.

Vocabulary: Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die durch Polynome dargestellt werden können.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

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