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1.7 Linearfaktoren - mehrfache Nullstellen
21.4.2021
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1.7 Linearfaktoren - mehrfache Nullstellen Bei ganzrationalen Funktionen gibt es zwei unterschiedliche Darstellungsweisen des Terms: Vorteile Linearfaktoren f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) = (x²-3x + 2)(x+3) = x³-7x+6 Linear faktordarstellung Summendarstellung Beispiele Ausmultiplizieren (Distributivgesetz) Linear faktordarstellung Die Nullstellen der Funktion sind ohne weiter Rechnung erkennbar Summendarstellung Linearfaktordarstellung f(x)=(x-3) (x-2) f(x)= (x-0) (x+5) (x+5) = x (x-5)² f(x)= 2(x+3)(x-2) pa- Formel Das Verhalten der Funktion des Graphen sind gut erkennbar. Alle Nullstellen berechnen, damit ergeben sich die Linearfaktoren. Oder Einzelne Linearfaktoren ausklammern (Polynomdivision) Es gibt ganzrationale Funktionen, die man nicht in Linearfaktor darstellung schreiben kann. Dies ist z.B. bei der Funktion g mit g(x)=x²+1 der Fall: Da die Gleichung x²+1-0 keine Lösung hat, hat g keine Nullstellen. Damit ist eine Linearfaktordarstellung nicht möglich. (vgl. Bild rechts) X→∞ und die Symmetrie Summendarstellung f(x) = x²-5x+6 f(x)=x²-x f(x) = 2x²2x-12 Allgemein gilt: wenn ein Term, der aus n Linearfaktoren besteht ausmultipliziert wird. dann ergibt sich als höchste Potenz X". Damit ergibt sich folgender Satz. Satz 1 Eine ganzrationale Funktion f vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. /Graph vong April 21 Mehrfache Nullstellen: Satz 2: Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f in Linearfaktordarstellung. Dann gilt: -Tritt ein Linear faktor (x-a) zweimal (viermal, sechsmal) auf, heißt x = a zweifache (vierfache, sechsfache...) Nullstelle Der Graph berührt die x-Achse an der Stelle x = a. -Tritt ein Linear faktor (x-a) einmal (areimal, fünfmal) auf. heißt x-a einfache (dreifache, fünffache...) Nullstelle. Der Graph von f schneidet die x-Achse an der Stelle...
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Alternativer Bildtext:
x-a. Beispielaufgabe Funktionsterme mithilfe von Linearfaktoren angeben a) Geben Sie eine ganzrationale Funktion f vom Grad drei an, die genau die zwei Nullstellen -3 und 0 hat, wobei -3 eine zweifache Nullstelle ist. Lösung: z. B. f(x)= x (x+3) ² 0. f(x)= 7x (x+3)² Grad vier an, deren Graph b) Geben Sie eine ganzrationale Funktion g die x-Achse an den Stellen x₁ = 1 und X₂ = -4 berührt. Lösung z.B. g(x) = (x-1) ² (x+4)² X₁ h(x)=(x-1)-(x-3) ² einfache Nullstelle X₂ zweifache Nullstelle Quelle Lambacher Schweizer 10 Bawi Ernst KieH Verlag GmbH, Stutgarl 2016