Linearfaktordarstellung & mehrfache Nullstellen – Erklärung, Beispiele, Merksätze

Linearfaktordarstellung

Die Darstellungsformen

Ganzrationale Funktionen lassen sich unterschiedlich aufschreiben. Die Linearfaktordarstellung Formel hilft dir beim Linearfaktordarstellung Nullstellen ablesen.

• Linearfaktordarstellung: Terme der Form $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$
• Summendarstellung: Ausmultiplizierte Form wie $f(x) = x^2 - 5x + 6$
• Grenzen: Hat eine Funktion keine Nullstellen (z.B. $x^2 + 1$), gibt es keine Linearfaktoren.

Nullstellen und Grad

• Maximalzahl: Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen.

Beispiel: $f(x) = 2(x + 3)(x - 2)$ Nullstellen sind $x_1 = -3$ und $x_2 = 2$.

💡 Tipp: Drehe beim Ablesen der Nullstellen immer das Vorzeichen in der Klammer um.

Mehrfache Nullstellen

Vielfachheit von Nullstellen

Am Exponenten des Linearfaktors erkennst du, wie der Graph die x-Achse berührt oder schneidet. Das ist die Vielfachheit von Nullstellen.

• Einfache Nullstelle: Der Graph schneidet die x-Achse (z.B. bei $(x-a)^1$).
• Doppelte Nullstelle: Der Graph berührt die x-Achse ohne Vorzeichenwechsel ($(x-a)^2$).
• Schnitt vs. Berührung: Ungerade Exponenten schneiden, gerade Exponenten berühren.

Ganzrationale Funktionen bestimmen

Du kannst gesuchte Funktionsterme direkt aus gegebenen Nullstellen aufstellen.

Beispiel: Gesucht: Grad 3, einfache Nullstelle bei $0$, doppelte bei $-3$. $f(x) = x \cdot (x + 3)^2$

💡 Achtung: Eine doppelte Nullstelle bedeutet immer, dass der Graph dort ein Extremum (Sattel- oder Wendepunkt ausgeschlossen) auf der x-Achse hat.