Linearfaktoren und mehrfache Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen
Die Linearfaktordarstellung ist eine wichtige Darstellungsform für ganzrationale Funktionen. Sie bietet gegenüber der Summendarstellung einige Vorteile, insbesondere bei der Analyse von Nullstellen.
Definition: Die Linearfaktordarstellung einer ganzrationalen Funktion ist eine Darstellung in der Form f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)...(x-xₙ), wobei x₁, x₂, ..., xₙ die Nullstellen der Funktion sind.
Bei der Linearfaktordarstellung können die Nullstellen der Funktion direkt abgelesen werden, ohne weitere Berechnungen durchführen zu müssen. Dies ist besonders nützlich bei der Analyse des Funktionsverhaltens.
Beispiel: Die Funktion f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) hat die Nullstellen 1, 2 und 3.
Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle ganzrationalen Funktionen in Linearfaktordarstellung geschrieben werden können. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion g(x) = x² + 1, die keine reellen Nullstellen hat.
Highlight: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
Die Summendarstellung hat den Vorteil, dass das Verhalten der Funktion für x → ∞ und die Symmetrie des Graphen leichter erkennbar sind. Die Umwandlung von der Linearfaktordarstellung in die Summendarstellung erfolgt durch Ausmultiplizieren unter Anwendung des Distributivgesetzes.
Vocabulary: Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die durch Polynome dargestellt werden können.
