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7. Feb. 2026
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Johanna
@j0hannaa
Linearfaktordarstellung und mehrfache Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen sind zentrale Konzepte... Mehr anzeigen
Mehrfache Nullstellen spielen eine besondere Rolle bei ganzrationalen Funktionen und beeinflussen das Verhalten des Funktionsgraphen an diesen Stellen.
Definition: Eine Nullstelle heißt mehrfach, wenn der entsprechende Linearfaktor in der Linearfaktordarstellung mehrmals auftritt.
Die Vielfachheit von Nullstellen bestimmt, ob der Graph die x-Achse an der entsprechenden Stelle schneidet oder berührt:
Beispiel: Bei der Funktion f(x) = x² ist x = 0 eine einfache Nullstelle und x = -3 eine zweifache Nullstelle.
Diese Eigenschaften sind besonders nützlich bei der Analyse und Konstruktion von Funktionsgraphen.
Highlight: Die Vielfachheit von Nullstellen beeinflusst direkt das Aussehen des Funktionsgraphen an diesen Stellen.
Bei der Erstellung von Funktionen mit bestimmten Eigenschaften ist die Kenntnis über mehrfache Nullstellen von großer Bedeutung. So kann man gezielt Funktionen konstruieren, die an bestimmten Stellen die x-Achse berühren oder schneiden.
Example: Eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph die x-Achse an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = -4 berührt, könnte als g(x) = ²² dargestellt werden.
Die Fähigkeit, ganzrationale Funktionen zu bestimmen und ihre Eigenschaften zu analysieren, ist ein wichtiger Bestandteil des mathematischen Verständnisses und findet Anwendung in vielen Bereichen der höheren Mathematik und der Naturwissenschaften.
Die Linearfaktordarstellung ist eine wichtige Darstellungsform für ganzrationale Funktionen. Sie bietet gegenüber der Summendarstellung einige Vorteile, insbesondere bei der Analyse von Nullstellen.
Definition: Die Linearfaktordarstellung einer ganzrationalen Funktion ist eine Darstellung in der Form f(x) = a..., wobei x₁, x₂, ..., xₙ die Nullstellen der Funktion sind.
Bei der Linearfaktordarstellung können die Nullstellen der Funktion direkt abgelesen werden, ohne weitere Berechnungen durchführen zu müssen. Dies ist besonders nützlich bei der Analyse des Funktionsverhaltens.
Beispiel: Die Funktion f(x) = hat die Nullstellen 1, 2 und 3.
Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle ganzrationalen Funktionen in Linearfaktordarstellung geschrieben werden können. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion g(x) = x² + 1, die keine reellen Nullstellen hat.
Highlight: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
Die Summendarstellung hat den Vorteil, dass das Verhalten der Funktion für x → ∞ und die Symmetrie des Graphen leichter erkennbar sind. Die Umwandlung von der Linearfaktordarstellung in die Summendarstellung erfolgt durch Ausmultiplizieren unter Anwendung des Distributivgesetzes.
Vocabulary: Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die durch Polynome dargestellt werden können.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Anna
iOS-Nutzerin
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Thomas R
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Johanna
@j0hannaa
Linearfaktordarstellung und mehrfache Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen sind zentrale Konzepte in der Algebra. Diese Methoden ermöglichen es, komplexe Funktionen zu vereinfachen und ihre Eigenschaften leichter zu analysieren.
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Mehrfache Nullstellen spielen eine besondere Rolle bei ganzrationalen Funktionen und beeinflussen das Verhalten des Funktionsgraphen an diesen Stellen.
Definition: Eine Nullstelle heißt mehrfach, wenn der entsprechende Linearfaktor in der Linearfaktordarstellung mehrmals auftritt.
Die Vielfachheit von Nullstellen bestimmt, ob der Graph die x-Achse an der entsprechenden Stelle schneidet oder berührt:
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Die Linearfaktordarstellung ist eine wichtige Darstellungsform für ganzrationale Funktionen. Sie bietet gegenüber der Summendarstellung einige Vorteile, insbesondere bei der Analyse von Nullstellen.
Definition: Die Linearfaktordarstellung einer ganzrationalen Funktion ist eine Darstellung in der Form f(x) = a..., wobei x₁, x₂, ..., xₙ die Nullstellen der Funktion sind.
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Beispiel: Die Funktion f(x) = hat die Nullstellen 1, 2 und 3.
Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle ganzrationalen Funktionen in Linearfaktordarstellung geschrieben werden können. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion g(x) = x² + 1, die keine reellen Nullstellen hat.
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Entdecken Sie die Grundlagen gebrochenrationaler Funktionen: Behebbare Definitionslücken, Polstellen, Asymptoten, Nullstellen und Symmetrie. Erfahren Sie, wie sich diese Funktionen gegen unendlich verhalten und lernen Sie die verschiedenen Graphentypen kennen. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen in Bayern (FOS 13).
MatheEntdecken Sie die Grundlagen ganz rationaler Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Nullstellen, Symmetrieeigenschaften und der Anwendung numerischer Verfahren zur Nullstellenberechnung. Diese Zusammenfassung bietet Beispiele für Funktionen 3. und 4. Grades sowie deren graphische Eigenschaften. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.
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MatheEntdecken Sie die Eigenschaften und Symmetrien ganzrationaler Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Achsensymmetrie zur y-Achse, Punktsymmetrie zum Ursprung und das Verhalten im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die zentrale Klausur der Einführungsphase 2016 in Mathematik. Die Aufgaben umfassen Themen wie Funktionen, Ableitungen, Stochastik und graphische Transformationen. Studierende lernen, wie man Gleichungen aufstellt, Ableitungen interpretiert und Wahrscheinlichkeiten berechnet. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte.
MatheEntdecke effektive Lernstrategien und wichtige Konzepte für das Mathe-Abitur. Diese Zusammenstellung umfasst Themen wie Funktionen, Vektoren, Ableitungen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal für die Vorbereitung auf die mündliche Prüfung. Verstehe die Grundlagen und wende sie in praktischen Beispielen an.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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