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Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

3.545

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5. Feb. 2026

•

5 Seiten

Polynomfunktionen: Wichtige Grundlagen

O

Ole Ditschler

@oleditschler_wygg

Polynomfunktionen begegnen euch überall in der Mathematik - von einfachen... Mehr anzeigen

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# DALANAMΓΗΤΙΑΝΙΓΑΙ # TULUINTI TI UTVA TIVINLIN Eine Funktion $f$, deren Funktionsgleichung man in der Form $f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}

Grundlagen der Polynomfunktionen

Polynomfunktionen sind Funktionen, die ihr in der Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀ schreibt. Der Grad n gibt euch die höchste Potenz an, und die Zahlen aᵢ sind die Koeffizienten. Das absolute Glied a₀ steht ganz am Ende ohne x.

Bei achsensymmetrischen Funktionen gilt f−x-x = f(x). Das passiert nur, wenn alle Exponenten gerade sind - denkt daran, dass auch das absolute Glied mit x⁰ zu den geraden Exponenten zählt!

Punktsymmetrische Funktionen erfüllen f−x-x = -f(x) und haben nur ungerade Exponenten. Für das Verhalten im Unendlichen schaut ihr einfach auf den Term mit der höchsten Potenz - der bestimmt, wie sich der Graph verhält, wenn x sehr groß oder sehr klein wird.

Merktipp: Gerade Exponenten = achsensymmetrisch, ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung!

# DALANAMΓΗΤΙΑΝΙΓΑΙ # TULUINTI TI UTVA TIVINLIN Eine Funktion $f$, deren Funktionsgleichung man in der Form $f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}

Nullstellen bestimmen

Nullstellen sind die Punkte, wo der Graph die x-Achse schneidet - also wo f(x) = 0 ist. Ihr könnt sie entweder grafisch ablesen oder rechnerisch bestimmen.

Die Höchstanzahl der Nullstellen entspricht dem Grad der Funktion. Eine Funktion 3. Grades hat also maximal 3 Nullstellen, eine 5. Grades maximal 5 Nullstellen.

Das ist super praktisch für Klausuren: Wenn ihr mehr Nullstellen findet, als der Grad erlaubt, habt ihr einen Rechenfehler gemacht!

Klausur-Tipp: Prüft immer, ob die Anzahl eurer Nullstellen zum Grad der Funktion passt - das hilft beim Fehler finden!

# DALANAMΓΗΤΙΑΝΙΓΑΙ # TULUINTI TI UTVA TIVINLIN Eine Funktion $f$, deren Funktionsgleichung man in der Form $f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}

Nullstellen ablesen mit Linearfaktoren

Wenn eine Polynomfunktion als Produkt von Linearfaktoren dargestellt ist, könnt ihr die Nullstellen direkt ablesen. Das ist die einfachste Methode!

Bei f(x) = -0,5x−3x-3x−1x-1²x+2x+2 nutzt ihr den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Also setzt ihr jeden Linearfaktor gleich null.

Aus x−3x-3 = 0 folgt x = 3, aus x−1x-1² = 0 folgt x = 1, und aus x+2x+2 = 0 folgt x = -2. Die Nullstellen sind also x₁ = 3, x₂ = 1 und x₃ = -2.

Der Exponent beim Linearfaktor zeigt euch die Vielfachheit der Nullstelle. x−1x-1² bedeutet, dass x = 1 eine doppelte Nullstelle ist.

Achtung: Bei x−ax-a ist die Nullstelle +a, bei x+ax+a ist sie -a - das Vorzeichen dreht sich um!

# DALANAMΓΗΤΙΑΝΙΓΑΙ # TULUINTI TI UTVA TIVINLIN Eine Funktion $f$, deren Funktionsgleichung man in der Form $f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}

Nullstellen durch Ausklammern

Das Ausklammern funktioniert, wenn alle Terme der Funktion eine Variable enthalten - also kein absolutes Glied da ist. Diese Methode spart euch viel Rechenzeit!

Bei f(x) = x³ + 2x² klammert ihr die Variable mit dem niedrigsten Exponenten aus. Hier ist das x²: f(x) = x²x+2x + 2.

Jetzt wendet ihr wieder den Satz vom Nullprodukt an: x² = 0 gibt x = 0, und x+2x + 2 = 0 gibt x = -2. Fertig sind eure Nullstellen!

Das Ausklammern ist besonders bei höheren Graden praktisch, weil ihr so eine Nullstelle sofort findet und den Rest vereinfacht.

Merkhilfe: Kein absolutes Glied = x ausklammern möglich. Das gibt euch immer x = 0 als eine Nullstelle!

# DALANAMΓΗΤΙΑΝΙΓΑΙ # TULUINTI TI UTVA TIVINLIN Eine Funktion $f$, deren Funktionsgleichung man in der Form $f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}

Nullstellen durch Substitution

Die Substitution ist euer Rettungsanker bei Funktionen wie f(x) = x⁴ - 7x² + 12. Hier sind die Exponenten Vielfache voneinander (4 und 2).

Ihr ersetzt x² durch z, dann wird aus x⁴ = (x²)² einfach z². Die Funktion wird zu g(z) = z² - 7z + 12 - eine normale quadratische Gleichung!

Mit der pq-Formel findet ihr z₁ = 4 und z₂ = 3. Jetzt kommt die Rücksubstitution: Aus x² = 4 folgen x = ±2, aus x² = 3 folgen x = ±√3.

Ihr habt also vier Nullstellen: x₁ = 2, x₂ = -2, x₃ = √3, x₄ = -√3. Bei der Rücksubstitution denkt immer an beide Vorzeichen!

Substitutions-Check: Funktioniert nur, wenn die Exponenten Vielfache voneinander sind (z.B. 2 und 4, oder 3 und 6).



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Beliebtester Inhalt: Nullstellen/Wurzeln

Nullstellen Methoden

Entdecke verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen: Umstellen, Ausklammern, Anwendung der pq-Formel und Substitution. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und erklärt, wie du die Nullstellen von Funktionen effektiv bestimmen kannst.

MatheMathe
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Nullstellen und pq-Formel

Erlerne die Berechnung von Nullstellen bei quadratischen und ganzrationalen Funktionen. Dieser Leitfaden umfasst die pq-Formel, Substitution, Ablesen und Ausklammern, sowie zahlreiche Übungen zur Vertiefung. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Mathematik verbessern möchten.

MatheMathe
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Funktionen & Graphen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen von Funktionen und ihren Graphen in der 11. Klasse. Dieser umfassende Leitfaden behandelt lineare, potenzielle und Wurzelfunktionen, Definitions- und Wertemengen, das Aufstellen von Geraden, sowie das Verhalten von Funktionen für \(x \to \pm \infty\) und Symmetrieeigenschaften. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.

MatheMathe
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Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Entdecken Sie effektive Methoden zur Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Dieser Leitfaden behandelt die pq-Formel, das Ausklammern, die Substitution, den Einsatz von Taschenrechnern und das Setzen von Faktoren auf Null. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Analyse von Polynomfunktionen vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Nullstellen von Polynomen

Entdecken Sie die Methoden zur Bestimmung von Nullstellen für Polynomfunktionen der Grade 1 bis 4. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Polynomdivision, die Anwendung der pq-Formel und hilfreiche Tipps zur Identifizierung von Nullstellen. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis für ganzrationale Funktionen entwickeln möchten.

MatheMathe
11

Polynomfunktionen und Nullstellen

Entdecken Sie die Eigenschaften von Polynomfunktionen, einschließlich ihrer Nullstellen, Symmetrien und dem Verhalten im Unendlichen. Diese Zusammenfassung behandelt die Substitutionsmethode und verschiedene Ansätze zur Bestimmung der Wurzeln. Ideal für Studierende der Mathematik.

MatheMathe
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Schnittpunkte und Nullstellen

Erfahre alles über die Berechnung von Schnittpunkten und Nullstellen in linearen und quadratischen Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt grundlegende Begriffe, die Bestimmung von Funktionsgleichungen, das Globalverhalten sowie Symmetrieeigenschaften. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.

MatheMathe
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Nullstellen rationaler Funktionen

Diese Zusammenfassung behandelt die Nullstellen ganzrationaler Funktionen, einschließlich der Methoden zur Bestimmung der Nullstellen wie die pq-Formel, Ausklammern und Substitution. Erfahren Sie, wie man die Schnittpunkte mit der x-Achse findet und die entsprechenden Gleichungen löst. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

MatheMathe
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Nullstellen ganzrationaler Funktionen berechnen

Nullstellen durch Ablesen,Ausklammern und Substitution berechnen

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

MatheMathe
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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Zusammenfassung Heimsuchung

ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Basil

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

 

Mathe

•

3.545

•

5. Feb. 2026

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5 Seiten

Polynomfunktionen: Wichtige Grundlagen

O

Ole Ditschler

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Polynomfunktionen begegnen euch überall in der Mathematik - von einfachen quadratischen Gleichungen bis hin zu komplexen kubischen Funktionen. Diese ganzrationalen Funktionen haben bestimmte Eigenschaften und Symmetrien, die ihr verstehen müsst, um sie erfolgreich zu analysieren.

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Grundlagen der Polynomfunktionen

Polynomfunktionen sind Funktionen, die ihr in der Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀ schreibt. Der Grad n gibt euch die höchste Potenz an, und die Zahlen aᵢ sind die Koeffizienten. Das absolute Glied a₀ steht ganz am Ende ohne x.

Bei achsensymmetrischen Funktionen gilt f−x-x = f(x). Das passiert nur, wenn alle Exponenten gerade sind - denkt daran, dass auch das absolute Glied mit x⁰ zu den geraden Exponenten zählt!

Punktsymmetrische Funktionen erfüllen f−x-x = -f(x) und haben nur ungerade Exponenten. Für das Verhalten im Unendlichen schaut ihr einfach auf den Term mit der höchsten Potenz - der bestimmt, wie sich der Graph verhält, wenn x sehr groß oder sehr klein wird.

Merktipp: Gerade Exponenten = achsensymmetrisch, ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung!

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Nullstellen bestimmen

Nullstellen sind die Punkte, wo der Graph die x-Achse schneidet - also wo f(x) = 0 ist. Ihr könnt sie entweder grafisch ablesen oder rechnerisch bestimmen.

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Nullstellen ablesen mit Linearfaktoren

Wenn eine Polynomfunktion als Produkt von Linearfaktoren dargestellt ist, könnt ihr die Nullstellen direkt ablesen. Das ist die einfachste Methode!

Bei f(x) = -0,5x−3x-3x−1x-1²x+2x+2 nutzt ihr den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Also setzt ihr jeden Linearfaktor gleich null.

Aus x−3x-3 = 0 folgt x = 3, aus x−1x-1² = 0 folgt x = 1, und aus x+2x+2 = 0 folgt x = -2. Die Nullstellen sind also x₁ = 3, x₂ = 1 und x₃ = -2.

Der Exponent beim Linearfaktor zeigt euch die Vielfachheit der Nullstelle. x−1x-1² bedeutet, dass x = 1 eine doppelte Nullstelle ist.

Achtung: Bei x−ax-a ist die Nullstelle +a, bei x+ax+a ist sie -a - das Vorzeichen dreht sich um!

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Nullstellen durch Ausklammern

Das Ausklammern funktioniert, wenn alle Terme der Funktion eine Variable enthalten - also kein absolutes Glied da ist. Diese Methode spart euch viel Rechenzeit!

Bei f(x) = x³ + 2x² klammert ihr die Variable mit dem niedrigsten Exponenten aus. Hier ist das x²: f(x) = x²x+2x + 2.

Jetzt wendet ihr wieder den Satz vom Nullprodukt an: x² = 0 gibt x = 0, und x+2x + 2 = 0 gibt x = -2. Fertig sind eure Nullstellen!

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Nullstellen durch Substitution

Die Substitution ist euer Rettungsanker bei Funktionen wie f(x) = x⁴ - 7x² + 12. Hier sind die Exponenten Vielfache voneinander (4 und 2).

Ihr ersetzt x² durch z, dann wird aus x⁴ = (x²)² einfach z². Die Funktion wird zu g(z) = z² - 7z + 12 - eine normale quadratische Gleichung!

Mit der pq-Formel findet ihr z₁ = 4 und z₂ = 3. Jetzt kommt die Rücksubstitution: Aus x² = 4 folgen x = ±2, aus x² = 3 folgen x = ±√3.

Ihr habt also vier Nullstellen: x₁ = 2, x₂ = -2, x₃ = √3, x₄ = -√3. Bei der Rücksubstitution denkt immer an beide Vorzeichen!

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Nullstellen und pq-Formel

Erlerne die Berechnung von Nullstellen bei quadratischen und ganzrationalen Funktionen. Dieser Leitfaden umfasst die pq-Formel, Substitution, Ablesen und Ausklammern, sowie zahlreiche Übungen zur Vertiefung. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Mathematik verbessern möchten.

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Funktionen & Graphen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen von Funktionen und ihren Graphen in der 11. Klasse. Dieser umfassende Leitfaden behandelt lineare, potenzielle und Wurzelfunktionen, Definitions- und Wertemengen, das Aufstellen von Geraden, sowie das Verhalten von Funktionen für \(x \to \pm \infty\) und Symmetrieeigenschaften. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.

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Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Entdecken Sie effektive Methoden zur Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Dieser Leitfaden behandelt die pq-Formel, das Ausklammern, die Substitution, den Einsatz von Taschenrechnern und das Setzen von Faktoren auf Null. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Analyse von Polynomfunktionen vertiefen möchten.

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Nullstellen von Polynomen

Entdecken Sie die Methoden zur Bestimmung von Nullstellen für Polynomfunktionen der Grade 1 bis 4. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Polynomdivision, die Anwendung der pq-Formel und hilfreiche Tipps zur Identifizierung von Nullstellen. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis für ganzrationale Funktionen entwickeln möchten.

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Polynomfunktionen und Nullstellen

Entdecken Sie die Eigenschaften von Polynomfunktionen, einschließlich ihrer Nullstellen, Symmetrien und dem Verhalten im Unendlichen. Diese Zusammenfassung behandelt die Substitutionsmethode und verschiedene Ansätze zur Bestimmung der Wurzeln. Ideal für Studierende der Mathematik.

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Schnittpunkte und Nullstellen

Erfahre alles über die Berechnung von Schnittpunkten und Nullstellen in linearen und quadratischen Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt grundlegende Begriffe, die Bestimmung von Funktionsgleichungen, das Globalverhalten sowie Symmetrieeigenschaften. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.

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Nullstellen rationaler Funktionen

Diese Zusammenfassung behandelt die Nullstellen ganzrationaler Funktionen, einschließlich der Methoden zur Bestimmung der Nullstellen wie die pq-Formel, Ausklammern und Substitution. Erfahren Sie, wie man die Schnittpunkte mit der x-Achse findet und die entsprechenden Gleichungen löst. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

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Nullstellen ganzrationaler Funktionen berechnen

Nullstellen durch Ablesen,Ausklammern und Substitution berechnen

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Zusammenfassung Heimsuchung

ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

iOS-Nutzer

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Anna

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Thomas R

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Basil

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David K

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Xander S

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Elisha

iOS-Nutzer

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Paul T

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