Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Funktionen fortgeschritten

Nullstellen ganzrationaler funktionen 3. und höheren grades

759

•

9. Dez. 2025

•

5 Seiten

Ganzrationale Funktionen einfach erklärt

Hannah

@hannah.ky

Hier dreht sich alles um ganzrationale Funktionen- ein wichtiges... Mehr anzeigen

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$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

Verhalten im Unendlichen

Das Verhalten im Unendlichen zeigt dir, wohin eine Funktion "läuft", wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Das ist super nützlich, um Graphen zu skizzieren!

Entscheidend sind zwei Dinge: der höchste Exponent und sein Vorfaktor (positiv oder negativ). Bei geradem Exponent und positivem Vorfaktor geht die Funktion in beide Richtungen gegen +∞. Bei negativem Vorfaktor geht sie gegen -∞.

Ungerade Exponenten sind anders: Mit positivem Vorfaktor geht die Funktion links gegen -∞ und rechts gegen +∞. Bei negativem Vorfaktor ist es umgekehrt.

Tipp: Schau dir immer zuerst den Term mit dem höchsten Exponenten an - der bestimmt alles!

$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

Symmetrie und Nullstellen

Symmetrie erkennst du schnell: Achsensymmetrie bedeutet f(x) = f $-x$ , Punktsymmetrie bedeutet f(x) = -f $-x$ . Bei achsensymmetrischen Funktionen sind alle Exponenten gerade, bei punktsymmetrischen alle ungerade.

Für Nullstellen gibt es drei bewährte Methoden: Wurzelziehen $bei einfachen Gleichungen wie x⁴ - 8 = 0$ , Ausklammern mit Satz vom Nullprodukt $perfekt bei x³ - x = 0$ und Substitution (wenn du x² durch z ersetzt).

Der Satz vom Nullprodukt ist dein bester Freund: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens ein Faktor null sein. So findest du alle Nullstellen systematisch.

Merke: Bei komplexeren Funktionen mit Absolutglied hilft nur der GTR weiter!

$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

Funktionsgleichungen mit GTR

Mit dem GTR und der Regression-Funktion stellst du blitzschnell Funktionsgleichungen auf! Gib einfach deine Punkte in L1 $x-Werte$ und L2 $y-Werte$ ein und wähle die passende Regression.

Für kubische Funktionen nimmst du "CubicReg", für quadratische "QuadReg". Der GTR spuckt dir sofort die Koeffizienten a, b, c und d aus.

Alternativ funktioniert auch die Matrix-Methode: Du stellst ein Gleichungssystem auf und löst es mit der rref-Funktion. Das ist besonders praktisch bei besonderen Bedingungen wie Punktsymmetrie.

Pro-Tipp: Bei Symmetrie sparst du dir Arbeit - dann fallen nämlich einige Koeffizienten weg!

$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

Aufstellen ohne GTR - Polynomdarstellung

Ohne GTR musst du zwischen Polynomdarstellung und Linearfaktordarstellung wählen. Die Polynomdarstellung f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e ist perfekt, wenn du Symmetrie-Eigenschaften nutzen kannst.

Bei Achsensymmetrie fallen alle ungeraden Exponenten weg $b = 0, d = 0$ , bei Punktsymmetrie alle geraden. Das reduziert deine Unbekannten erheblich!

Mit dem Additionsverfahren löst du dann das Gleichungssystem. Multipliziere die Gleichungen geschickt, damit sich Variablen wegkürzen lassen.

Wichtig: Zähle immer zuerst deine Unbekannten - du brauchst genauso viele Informationen!

$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

Linearfaktordarstellung

Die Linearfaktordarstellung f(x) = a $x-x₁$ $x-x₂$ $x-x₃$ $x-x₄$ ist ideal, wenn du bereits die Nullstellen kennst. Setze sie einfach ein und bestimme den Faktor a mit einem zusätzlichen Punkt.

Du kannst jederzeit zwischen beiden Darstellungen wechseln. Multipliziere die Linearfaktoren schrittweise aus: Erst $x-2$ $x-3$ , dann das Ergebnis mit $x-4$ und so weiter.

Symmetrie-Bedingungen helfen auch hier: Bei Punktsymmetrie ist f(x) = -f $-x$ , bei Achsensymmetrie f(x) = f $-x$ . Das gibt dir zusätzliche Punkte!

Trick: Wenn du Nullstellen siehst, denk sofort an Linearfaktordarstellung - das spart meist Zeit!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ganzrationale Funktionen einfach erklärt

Hannah

@hannah.ky

Hier dreht sich alles um ganzrationale Funktionen - ein wichtiges Thema in der Oberstufe! Du lernst, wie sich Funktionen im Unendlichen verhalten, wo ihre Nullstellen liegen und wie du Funktionsgleichungen aufstellst.

$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

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Verhalten im Unendlichen

Das Verhalten im Unendlichen zeigt dir, wohin eine Funktion "läuft", wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Das ist super nützlich, um Graphen zu skizzieren!

Ungerade Exponenten sind anders: Mit positivem Vorfaktor geht die Funktion links gegen -∞ und rechts gegen +∞. Bei negativem Vorfaktor ist es umgekehrt.

Tipp: Schau dir immer zuerst den Term mit dem höchsten Exponenten an - der bestimmt alles!

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Symmetrie und Nullstellen

Der Satz vom Nullprodukt ist dein bester Freund: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens ein Faktor null sein. So findest du alle Nullstellen systematisch.

Merke: Bei komplexeren Funktionen mit Absolutglied hilft nur der GTR weiter!

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Funktionsgleichungen mit GTR

Mit dem GTR und der Regression-Funktion stellst du blitzschnell Funktionsgleichungen auf! Gib einfach deine Punkte in L1 $x-Werte$ und L2 $y-Werte$ ein und wähle die passende Regression.

Für kubische Funktionen nimmst du "CubicReg", für quadratische "QuadReg". Der GTR spuckt dir sofort die Koeffizienten a, b, c und d aus.

Alternativ funktioniert auch die Matrix-Methode: Du stellst ein Gleichungssystem auf und löst es mit der rref-Funktion. Das ist besonders praktisch bei besonderen Bedingungen wie Punktsymmetrie.

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Aufstellen ohne GTR - Polynomdarstellung

Bei Achsensymmetrie fallen alle ungeraden Exponenten weg $b = 0, d = 0$ , bei Punktsymmetrie alle geraden. Das reduziert deine Unbekannten erheblich!

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Linearfaktordarstellung

Du kannst jederzeit zwischen beiden Darstellungen wechseln. Multipliziere die Linearfaktoren schrittweise aus: Erst $x-2$ $x-3$ , dann das Ergebnis mit $x-4$ und so weiter.

Symmetrie-Bedingungen helfen auch hier: Bei Punktsymmetrie ist f(x) = -f $-x$ , bei Achsensymmetrie f(x) = f $-x$ . Das gibt dir zusätzliche Punkte!

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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