Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

764

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19. Jan. 2026

•

5 Seiten

Ganzrationale Funktionen einfach erklärt

Hannah

@hannah.ky

Hier dreht sich alles um ganzrationale Funktionen- ein wichtiges... Mehr anzeigen

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$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

Verhalten im Unendlichen

Das Verhalten im Unendlichen zeigt dir, wohin eine Funktion "läuft", wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Das ist super nützlich, um Graphen zu skizzieren!

Entscheidend sind zwei Dinge: der höchste Exponent und sein Vorfaktor (positiv oder negativ). Bei geradem Exponent und positivem Vorfaktor geht die Funktion in beide Richtungen gegen +∞. Bei negativem Vorfaktor geht sie gegen -∞.

Ungerade Exponenten sind anders: Mit positivem Vorfaktor geht die Funktion links gegen -∞ und rechts gegen +∞. Bei negativem Vorfaktor ist es umgekehrt.

Tipp: Schau dir immer zuerst den Term mit dem höchsten Exponenten an - der bestimmt alles!

$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

Symmetrie und Nullstellen

Symmetrie erkennst du schnell: Achsensymmetrie bedeutet f(x) = f $-x$ , Punktsymmetrie bedeutet f(x) = -f $-x$ . Bei achsensymmetrischen Funktionen sind alle Exponenten gerade, bei punktsymmetrischen alle ungerade.

Für Nullstellen gibt es drei bewährte Methoden: Wurzelziehen $bei einfachen Gleichungen wie x⁴ - 8 = 0$ , Ausklammern mit Satz vom Nullprodukt $perfekt bei x³ - x = 0$ und Substitution (wenn du x² durch z ersetzt).

Der Satz vom Nullprodukt ist dein bester Freund: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens ein Faktor null sein. So findest du alle Nullstellen systematisch.

Merke: Bei komplexeren Funktionen mit Absolutglied hilft nur der GTR weiter!

$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

Funktionsgleichungen mit GTR

Mit dem GTR und der Regression-Funktion stellst du blitzschnell Funktionsgleichungen auf! Gib einfach deine Punkte in L1 $x-Werte$ und L2 $y-Werte$ ein und wähle die passende Regression.

Für kubische Funktionen nimmst du "CubicReg", für quadratische "QuadReg". Der GTR spuckt dir sofort die Koeffizienten a, b, c und d aus.

Alternativ funktioniert auch die Matrix-Methode: Du stellst ein Gleichungssystem auf und löst es mit der rref-Funktion. Das ist besonders praktisch bei besonderen Bedingungen wie Punktsymmetrie.

Pro-Tipp: Bei Symmetrie sparst du dir Arbeit - dann fallen nämlich einige Koeffizienten weg!

$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

Aufstellen ohne GTR - Polynomdarstellung

Ohne GTR musst du zwischen Polynomdarstellung und Linearfaktordarstellung wählen. Die Polynomdarstellung f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e ist perfekt, wenn du Symmetrie-Eigenschaften nutzen kannst.

Bei Achsensymmetrie fallen alle ungeraden Exponenten weg $b = 0, d = 0$ , bei Punktsymmetrie alle geraden. Das reduziert deine Unbekannten erheblich!

Mit dem Additionsverfahren löst du dann das Gleichungssystem. Multipliziere die Gleichungen geschickt, damit sich Variablen wegkürzen lassen.

Wichtig: Zähle immer zuerst deine Unbekannten - du brauchst genauso viele Informationen!

$Mathe Klausar Verhalten im Unendlichen. $lim f(x) = \pm00$ X-> $lim f(x) = \pm00$ Der Limes von fu) für x gegen plus/ minus unendlich stre$

Linearfaktordarstellung

Die Linearfaktordarstellung f(x) = a $x-x₁$ $x-x₂$ $x-x₃$ $x-x₄$ ist ideal, wenn du bereits die Nullstellen kennst. Setze sie einfach ein und bestimme den Faktor a mit einem zusätzlichen Punkt.

Du kannst jederzeit zwischen beiden Darstellungen wechseln. Multipliziere die Linearfaktoren schrittweise aus: Erst $x-2$ $x-3$ , dann das Ergebnis mit $x-4$ und so weiter.

Symmetrie-Bedingungen helfen auch hier: Bei Punktsymmetrie ist f(x) = -f $-x$ , bei Achsensymmetrie f(x) = f $-x$ . Das gibt dir zusätzliche Punkte!

Trick: Wenn du Nullstellen siehst, denk sofort an Linearfaktordarstellung - das spart meist Zeit!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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