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Funktionen und analysis

Funktionen fortgeschritten

Nullstellen ganzrationaler funktionen 3. und höheren grades

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18. Mai 2021

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Ganzrationale Funktionen bestimmen: 1., 3. und 4. Grades einfach erklärt

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Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiges Thema in der Mathematik, insbesondere... Mehr anzeigen

Bestimmung ganerationaler Funktionen Mit Gleichungssystem Bsp geg: A (011), B(1/2); C(2/7) ges: ganzrationale Funktion 2. Grades, die durch

Bestimmung ganzrationaler Funktionen mit Regressionsmodellen und Funktionsanpassung

Dieser Abschnitt behandelt fortgeschrittene Methoden zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen, insbesondere unter Verwendung von Regressionsmodellen und Funktionsanpassung. Es wird gezeigt, wie man einen Taschenrechner nutzen kann, um eine ganzrationale Funktion 3. Grades durch gegebene Punkte zu bestimmen.

Example: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades soll durch die Punkte A0∣10|1, B1∣01|0, C−1∣4-1|4 und D2∣−52|-5 verlaufen. Mithilfe des Taschenrechners und der Regressionsfunktion wird die Lösung fxx = -1x³ + x² - x + 1 ermittelt.

Die Methode der Funktionsanpassung wird anhand eines praktischen Beispiels mit Messwerten erläutert. Es wird gezeigt, wie man verschiedene Funktionsgrade testet, um die beste Annäherung an die gegebenen Daten zu finden.

Highlight: Bei der Funktionsanpassung ist es wichtig, den Grad der Funktion schrittweise zu erhöhen und die Ergebnisse grafisch zu überprüfen, um die optimale Anpassung zu finden.

Es wird betont, dass man bei der Suche nach der passenden Funktion immer bis zum Grad der gesuchten Funktion minus 1 gehen sollte, um alle möglichen Optionen zu berücksichtigen.

Vocabulary: Regressionsmodell - Ein statistisches Verfahren zur Bestimmung des funktionalen Zusammenhangs zwischen Variablen.

Bestimmung ganerationaler Funktionen Mit Gleichungssystem Bsp geg: A (011), B(1/2); C(2/7) ges: ganzrationale Funktion 2. Grades, die durch

Steckbriefaufgaben für ganzrationale Funktionen

Der letzte Abschnitt widmet sich den Steckbriefaufgaben, einer wichtigen Methode zur Bestimmung spezifischer Eigenschaften ganzrationaler Funktionen. Es werden verschiedene Szenarien vorgestellt, die typischerweise in Aufgaben zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen vorkommen.

Definition: Steckbriefaufgaben sind Aufgaben, bei denen bestimmte Eigenschaften einer Funktion gegeben sind und daraus die Funktionsgleichung abgeleitet werden soll.

Es werden Beispiele für verschiedene Eigenschaften und die entsprechenden Gleichungen aufgeführt, wie:

  • Durchgang durch einen bestimmten Punkt
  • Schneiden der x-Achse NullstellenNullstellen
  • Steigung an einer bestimmten Stelle
  • Extremwerte und Wendepunkte

Example: Wenn der Graph durch den Punkt 3∣23|2 verläuft, lautet die entsprechende Gleichung f33 = 2.

Highlight: Besonders wichtig sind Eigenschaften wie doppelte Nullstellen, Sattelpunkte und Wendepunkte, da sie spezifische Bedingungen für die Ableitungen der Funktion implizieren.

Diese Steckbriefaufgaben sind besonders nützlich für Übungen zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen und helfen, ein tieferes Verständnis für die Zusammenhänge zwischen den algebraischen Eigenschaften und dem geometrischen Verhalten von Funktionen zu entwickeln.

Vocabulary: Wendepunkt - Ein Punkt, an dem die Krümmung einer Funktion ihr Vorzeichen wechselt.

Bestimmung ganerationaler Funktionen Mit Gleichungssystem Bsp geg: A (011), B(1/2); C(2/7) ges: ganzrationale Funktion 2. Grades, die durch

Bestimmung ganzrationaler Funktionen mit Gleichungssystemen

In diesem Abschnitt wird die Methode zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen mithilfe von Gleichungssystemen erläutert. Es wird ein konkretes Beispiel für eine ganzrationale Funktion 2. Grades vorgestellt, die durch drei gegebene Punkte verläuft. Der Ansatz fxx = ax² + bx + c wird verwendet, um ein Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen.

Example: Eine ganzrationale Funktion 2. Grades soll durch die Punkte A0∣10|1, B1∣21|2 und C2∣72|7 verlaufen. Das Gleichungssystem wird aufgestellt und schrittweise gelöst, um die Koeffizienten a, b und c zu bestimmen.

Anschließend wird eine Methode zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades vorgestellt, bei der zusätzlich die Ableitung eines Punktes verwendet wird, um die erforderlichen vier Gleichungen zu erhalten.

Highlight: Bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades ist es oft notwendig, zusätzliche Informationen wie Ableitungen zu nutzen, um ein eindeutiges Ergebnis zu erhalten.

Der Einsatz eines Taschenrechners wird ebenfalls demonstriert, um komplexere Gleichungssysteme effizient zu lösen.

Vocabulary: Ganzrationale Funktion - Eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird, bei dem alle Exponenten natürliche Zahlen sind.

Abschließend werden wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen aufgelistet, wie zum Beispiel Nullstellen, Extrempunkte und Symmetrieeigenschaften.

Definition: Eine Funktion ist ganzrational, wenn sie durch ein Polynom mit ganzzahligen Exponenten dargestellt werden kann.



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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiges Thema in der Mathematik, insbesondere für Schüler, die sich mit komplexeren algebraischen Konzepten auseinandersetzen. Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die Bestimmung ganzrationaler Funktionen, einschließlich verschiedener Methoden und praktischer Anwendungen.

  • Die Bestimmung ganzrationaler... Mehr anzeigen

Bestimmung ganerationaler Funktionen Mit Gleichungssystem Bsp geg: A (011), B(1/2); C(2/7) ges: ganzrationale Funktion 2. Grades, die durch

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Bestimmung ganzrationaler Funktionen mit Regressionsmodellen und Funktionsanpassung

Dieser Abschnitt behandelt fortgeschrittene Methoden zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen, insbesondere unter Verwendung von Regressionsmodellen und Funktionsanpassung. Es wird gezeigt, wie man einen Taschenrechner nutzen kann, um eine ganzrationale Funktion 3. Grades durch gegebene Punkte zu bestimmen.

Example: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades soll durch die Punkte A0∣10|1, B1∣01|0, C−1∣4-1|4 und D2∣−52|-5 verlaufen. Mithilfe des Taschenrechners und der Regressionsfunktion wird die Lösung fxx = -1x³ + x² - x + 1 ermittelt.

Die Methode der Funktionsanpassung wird anhand eines praktischen Beispiels mit Messwerten erläutert. Es wird gezeigt, wie man verschiedene Funktionsgrade testet, um die beste Annäherung an die gegebenen Daten zu finden.

Highlight: Bei der Funktionsanpassung ist es wichtig, den Grad der Funktion schrittweise zu erhöhen und die Ergebnisse grafisch zu überprüfen, um die optimale Anpassung zu finden.

Es wird betont, dass man bei der Suche nach der passenden Funktion immer bis zum Grad der gesuchten Funktion minus 1 gehen sollte, um alle möglichen Optionen zu berücksichtigen.

Vocabulary: Regressionsmodell - Ein statistisches Verfahren zur Bestimmung des funktionalen Zusammenhangs zwischen Variablen.

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Steckbriefaufgaben für ganzrationale Funktionen

Der letzte Abschnitt widmet sich den Steckbriefaufgaben, einer wichtigen Methode zur Bestimmung spezifischer Eigenschaften ganzrationaler Funktionen. Es werden verschiedene Szenarien vorgestellt, die typischerweise in Aufgaben zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen vorkommen.

Definition: Steckbriefaufgaben sind Aufgaben, bei denen bestimmte Eigenschaften einer Funktion gegeben sind und daraus die Funktionsgleichung abgeleitet werden soll.

Es werden Beispiele für verschiedene Eigenschaften und die entsprechenden Gleichungen aufgeführt, wie:

  • Durchgang durch einen bestimmten Punkt
  • Schneiden der x-Achse NullstellenNullstellen
  • Steigung an einer bestimmten Stelle
  • Extremwerte und Wendepunkte

Example: Wenn der Graph durch den Punkt 3∣23|2 verläuft, lautet die entsprechende Gleichung f33 = 2.

Highlight: Besonders wichtig sind Eigenschaften wie doppelte Nullstellen, Sattelpunkte und Wendepunkte, da sie spezifische Bedingungen für die Ableitungen der Funktion implizieren.

Diese Steckbriefaufgaben sind besonders nützlich für Übungen zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen und helfen, ein tieferes Verständnis für die Zusammenhänge zwischen den algebraischen Eigenschaften und dem geometrischen Verhalten von Funktionen zu entwickeln.

Vocabulary: Wendepunkt - Ein Punkt, an dem die Krümmung einer Funktion ihr Vorzeichen wechselt.

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Bestimmung ganzrationaler Funktionen mit Gleichungssystemen

In diesem Abschnitt wird die Methode zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen mithilfe von Gleichungssystemen erläutert. Es wird ein konkretes Beispiel für eine ganzrationale Funktion 2. Grades vorgestellt, die durch drei gegebene Punkte verläuft. Der Ansatz fxx = ax² + bx + c wird verwendet, um ein Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen.

Example: Eine ganzrationale Funktion 2. Grades soll durch die Punkte A0∣10|1, B1∣21|2 und C2∣72|7 verlaufen. Das Gleichungssystem wird aufgestellt und schrittweise gelöst, um die Koeffizienten a, b und c zu bestimmen.

Anschließend wird eine Methode zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades vorgestellt, bei der zusätzlich die Ableitung eines Punktes verwendet wird, um die erforderlichen vier Gleichungen zu erhalten.

Highlight: Bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades ist es oft notwendig, zusätzliche Informationen wie Ableitungen zu nutzen, um ein eindeutiges Ergebnis zu erhalten.

Der Einsatz eines Taschenrechners wird ebenfalls demonstriert, um komplexere Gleichungssysteme effizient zu lösen.

Vocabulary: Ganzrationale Funktion - Eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird, bei dem alle Exponenten natürliche Zahlen sind.

Abschließend werden wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen aufgelistet, wie zum Beispiel Nullstellen, Extrempunkte und Symmetrieeigenschaften.

Definition: Eine Funktion ist ganzrational, wenn sie durch ein Polynom mit ganzzahligen Exponenten dargestellt werden kann.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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