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Gebrochenrationale Funktionen: Überblick und Kurvendiskussion

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Nina @ninaxx03

Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen in Bruchform, bei denen sowohl Zähler... Mehr anzeigen

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# Gebrochenrationale ## Funktion Funktionen der Form $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ heißen gebrochenrational $L_oz(x) =$ Zähler funktion $L_on(x)

Grundlagen und Symmetrie

Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f(x) = z(x)/n(x), wobei z(x) die Zählerfunktion und n(x) die Nennerfunktion ist. Beide sind ganzrationale Funktionen, und der Grad der Nennerfunktion muss größer als null sein.

Bei der Symmetrieuntersuchung setzt du einfach -x in die Funktion ein. Für Achsensymmetrie gilt f(x) = f−x-x, für Punktsymmetrie f(x) = -f−x-x. Das Minus vor der Klammer verrechnest du nur mit Zähler- oder Nennerfunktion - nicht mit beiden!

Den y-Achsenabschnitt findest du durch Einsetzen von x = 0 in die Funktion. Bei f(x) = 3x3−2x2−123x³-2x²-12/x2−9x²-9 ergibt sich f(0) = -12/(-9) = 4/3.

Merktipp: Das Minus bei der Symmetrieprüfung nicht mit der ganzen Funktion verrechnen - das ist ein häufiger Fehler!

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# Gebrochenrationale ## Funktion Funktionen der Form $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ heißen gebrochenrational $L_oz(x) =$ Zähler funktion $L_on(x)

Nullstellen und Definitionslücken

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind genau die Nullstellen der Zählerfunktion z(x). Du löst also einfach z(x) = 0 mit den üblichen Verfahren wie pq-Formel oder Polynomdivision.

Definitionslücken entstehen, weil du nicht durch null teilen darfst. Sie liegen dort, wo die Nennerfunktion null wird: n(x) = 0. Die Definitionsmenge schreibst du dann als x ∈ ℝ \ {Definitionslücken}.

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Polstellen (wenn z(x) ≠ 0 an der Lücke) und hebbare Lücken wennz(x)=0anderLu¨ckewenn z(x) = 0 an der Lücke. Bei Polstellen unterscheidest du noch zwischen Polen mit und ohne Vorzeichenwechsel - schau dir die Vorzeichen links und rechts der Lücke an.

Praxistipp: Setze die x-Werte der Definitionslücken immer auch in die Zählerfunktion ein - so erkennst du sofort, welche Art von Lücke vorliegt!

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# Gebrochenrationale ## Funktion Funktionen der Form $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ heißen gebrochenrational $L_oz(x) =$ Zähler funktion $L_on(x)

Asymptoten und Extremstellen

Asymptoten zeigen dir, wohin die Funktion für große x-Werte strebt. Der Typ hängt vom Verhältnis der Grade ab: Zählergrad < Nennergrad ergibt die x-Achse als Asymptote, Zählergrad = Nennergrad eine waagerechte Gerade, Zählergrad = Nennergrad + 1 eine schiefe Asymptote.

Zur Berechnung von Asymptoten machst du eine Polynomdivision: Zählerfunktion ÷ Nennerfunktion. Das Ergebnis (ohne Rest) ist deine Asymptote. Der Rest R(x) zeigt dir, ob die Funktion von oben oder unten gegen die Asymptote strebt.

Für Extremstellen brauchst du die Quotientenregel: f'(x) = n⋅z′−z⋅n′n·z' - z·n'/(n)². Dann setzt du den Zähler der Ableitung gleich null und prüfst mit dem Vorzeichenwechselkriterium, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.

Klausurtipp: Bei der Asymptoten-Berechnung immer die Grade zuerst vergleichen - das spart Zeit und zeigt dir sofort, welche Art von Asymptote du erwarten kannst!

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin

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Gebrochenrationale Funktionen: Überblick und Kurvendiskussion

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Nina @ninaxx03

Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen in Bruchform, bei denen sowohl Zähler als auch Nenner aus ganzrationalen Funktionen bestehen. Diese Funktionsart kommt oft in Klausuren vor und hat besondere Eigenschaften wie Definitionslücken und Asymptoten, die du systematisch untersuchen kannst.

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Grundlagen und Symmetrie

Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f(x) = z(x)/n(x), wobei z(x) die Zählerfunktion und n(x) die Nennerfunktion ist. Beide sind ganzrationale Funktionen, und der Grad der Nennerfunktion muss größer als null sein.

Bei der Symmetrieuntersuchung setzt du einfach -x in die Funktion ein. Für Achsensymmetrie gilt f(x) = f−x-x, für Punktsymmetrie f(x) = -f−x-x. Das Minus vor der Klammer verrechnest du nur mit Zähler- oder Nennerfunktion - nicht mit beiden!

Den y-Achsenabschnitt findest du durch Einsetzen von x = 0 in die Funktion. Bei f(x) = 3x3−2x2−123x³-2x²-12/x2−9x²-9 ergibt sich f(0) = -12/(-9) = 4/3.

Merktipp: Das Minus bei der Symmetrieprüfung nicht mit der ganzen Funktion verrechnen - das ist ein häufiger Fehler!

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Nullstellen und Definitionslücken

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind genau die Nullstellen der Zählerfunktion z(x). Du löst also einfach z(x) = 0 mit den üblichen Verfahren wie pq-Formel oder Polynomdivision.

Definitionslücken entstehen, weil du nicht durch null teilen darfst. Sie liegen dort, wo die Nennerfunktion null wird: n(x) = 0. Die Definitionsmenge schreibst du dann als x ∈ ℝ \ {Definitionslücken}.

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Polstellen (wenn z(x) ≠ 0 an der Lücke) und hebbare Lücken wennz(x)=0anderLu¨ckewenn z(x) = 0 an der Lücke. Bei Polstellen unterscheidest du noch zwischen Polen mit und ohne Vorzeichenwechsel - schau dir die Vorzeichen links und rechts der Lücke an.

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Asymptoten und Extremstellen

Asymptoten zeigen dir, wohin die Funktion für große x-Werte strebt. Der Typ hängt vom Verhältnis der Grade ab: Zählergrad < Nennergrad ergibt die x-Achse als Asymptote, Zählergrad = Nennergrad eine waagerechte Gerade, Zählergrad = Nennergrad + 1 eine schiefe Asymptote.

Zur Berechnung von Asymptoten machst du eine Polynomdivision: Zählerfunktion ÷ Nennerfunktion. Das Ergebnis (ohne Rest) ist deine Asymptote. Der Rest R(x) zeigt dir, ob die Funktion von oben oder unten gegen die Asymptote strebt.

Für Extremstellen brauchst du die Quotientenregel: f'(x) = n⋅z′−z⋅n′n·z' - z·n'/(n)². Dann setzt du den Zähler der Ableitung gleich null und prüfst mit dem Vorzeichenwechselkriterium, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.

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Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

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