Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen in Bruchform, bei denen sowohl Zähler...
Mathe1.146 aufrufe·Aktualisiert 9. Aug. 2026·3 SeitenGebrochenrationale Funktionen: Überblick und Kurvendiskussion
Nina @ninaxx03
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Grundlagen und Symmetrie
Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f = z/n, wobei z die Zählerfunktion und n die Nennerfunktion ist. Beide sind ganzrationale Funktionen, und der Grad der Nennerfunktion muss größer als null sein.
Bei der Symmetrieuntersuchung setzt du einfach -x in die Funktion ein. Für Achsensymmetrie gilt f = f, für Punktsymmetrie f = -f. Das Minus vor der Klammer verrechnest du nur mit Zähler- oder Nennerfunktion - nicht mit beiden!
Den y-Achsenabschnitt findest du durch Einsetzen von x = 0 in die Funktion. Bei f = / ergibt sich f(0) = -12/ = 4/3.
Merktipp: Das Minus bei der Symmetrieprüfung nicht mit der ganzen Funktion verrechnen - das ist ein häufiger Fehler!
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Nullstellen und Definitionslücken
Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind genau die Nullstellen der Zählerfunktion z. Du löst also einfach z = 0 mit den üblichen Verfahren wie pq-Formel oder Polynomdivision.
Definitionslücken entstehen, weil du nicht durch null teilen darfst. Sie liegen dort, wo die Nennerfunktion null wird: n = 0. Die Definitionsmenge schreibst du dann als x ∈ ℝ \ {Definitionslücken}.
Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Polstellen (wenn z ≠ 0 an der Lücke) und hebbare Lücken (wenn z = 0 an der Lücke). Bei Polstellen unterscheidest du noch zwischen Polen mit und ohne Vorzeichenwechsel - schau dir die Vorzeichen links und rechts der Lücke an.
Praxistipp: Setze die x-Werte der Definitionslücken immer auch in die Zählerfunktion ein - so erkennst du sofort, welche Art von Lücke vorliegt!
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Asymptoten und Extremstellen
Asymptoten zeigen dir, wohin die Funktion für große x-Werte strebt. Der Typ hängt vom Verhältnis der Grade ab: Zählergrad < Nennergrad ergibt die x-Achse als Asymptote, Zählergrad = Nennergrad eine waagerechte Gerade, Zählergrad = Nennergrad + 1 eine schiefe Asymptote.
Zur Berechnung von Asymptoten machst du eine Polynomdivision: Zählerfunktion ÷ Nennerfunktion. Das Ergebnis (ohne Rest) ist deine Asymptote. Der Rest R zeigt dir, ob die Funktion von oben oder unten gegen die Asymptote strebt.
Für Extremstellen brauchst du die Quotientenregel: f' = /². Dann setzt du den Zähler der Ableitung gleich null und prüfst mit dem Vorzeichenwechselkriterium, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.
Klausurtipp: Bei der Asymptoten-Berechnung immer die Grade zuerst vergleichen - das spart Zeit und zeigt dir sofort, welche Art von Asymptote du erwarten kannst!
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Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f = z/n, wobei z die Zählerfunktion und n die Nennerfunktion ist. Beide sind ganzrationale Funktionen, und der Grad der Nennerfunktion muss größer als null sein.
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Asymptoten zeigen dir, wohin die Funktion für große x-Werte strebt. Der Typ hängt vom Verhältnis der Grade ab: Zählergrad < Nennergrad ergibt die x-Achse als Asymptote, Zählergrad = Nennergrad eine waagerechte Gerade, Zählergrad = Nennergrad + 1 eine schiefe Asymptote.
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