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Mathematik

Grenzwerte und Asymptoten von Funktionen

Asymptoten

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23. Dez. 2025

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Gebrochenrationale Funktionen: Überblick und Kurvendiskussion

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Nina

@ninaxx03

Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen in Bruchform, bei denen sowohl Zähler... Mehr anzeigen

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# Gebrochenrationale ## Funktion Funktionen der Form $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ heißen gebrochenrational $L_oz(x) =$ Zähler funktion $L_on(x)

Grundlagen und Symmetrie

Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f(x) = z(x)/n(x), wobei z(x) die Zählerfunktion und n(x) die Nennerfunktion ist. Beide sind ganzrationale Funktionen, und der Grad der Nennerfunktion muss größer als null sein.

Bei der Symmetrieuntersuchung setzt du einfach -x in die Funktion ein. Für Achsensymmetrie gilt f(x) = f−x-x, für Punktsymmetrie f(x) = -f−x-x. Das Minus vor der Klammer verrechnest du nur mit Zähler- oder Nennerfunktion - nicht mit beiden!

Den y-Achsenabschnitt findest du durch Einsetzen von x = 0 in die Funktion. Bei f(x) = 3x3−2x2−123x³-2x²-12/x2−9x²-9 ergibt sich f(0) = -12/(-9) = 4/3.

Merktipp: Das Minus bei der Symmetrieprüfung nicht mit der ganzen Funktion verrechnen - das ist ein häufiger Fehler!

# Gebrochenrationale ## Funktion Funktionen der Form $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ heißen gebrochenrational $L_oz(x) =$ Zähler funktion $L_on(x)

Nullstellen und Definitionslücken

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind genau die Nullstellen der Zählerfunktion z(x). Du löst also einfach z(x) = 0 mit den üblichen Verfahren wie pq-Formel oder Polynomdivision.

Definitionslücken entstehen, weil du nicht durch null teilen darfst. Sie liegen dort, wo die Nennerfunktion null wird: n(x) = 0. Die Definitionsmenge schreibst du dann als x ∈ ℝ \ {Definitionslücken}.

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Polstellen (wenn z(x) ≠ 0 an der Lücke) und hebbare Lücken wennz(x)=0anderLu¨ckewenn z(x) = 0 an der Lücke. Bei Polstellen unterscheidest du noch zwischen Polen mit und ohne Vorzeichenwechsel - schau dir die Vorzeichen links und rechts der Lücke an.

Praxistipp: Setze die x-Werte der Definitionslücken immer auch in die Zählerfunktion ein - so erkennst du sofort, welche Art von Lücke vorliegt!

# Gebrochenrationale ## Funktion Funktionen der Form $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ heißen gebrochenrational $L_oz(x) =$ Zähler funktion $L_on(x)

Asymptoten und Extremstellen

Asymptoten zeigen dir, wohin die Funktion für große x-Werte strebt. Der Typ hängt vom Verhältnis der Grade ab: Zählergrad < Nennergrad ergibt die x-Achse als Asymptote, Zählergrad = Nennergrad eine waagerechte Gerade, Zählergrad = Nennergrad + 1 eine schiefe Asymptote.

Zur Berechnung von Asymptoten machst du eine Polynomdivision: Zählerfunktion ÷ Nennerfunktion. Das Ergebnis (ohne Rest) ist deine Asymptote. Der Rest R(x) zeigt dir, ob die Funktion von oben oder unten gegen die Asymptote strebt.

Für Extremstellen brauchst du die Quotientenregel: f'(x) = n⋅z′−z⋅n′n·z' - z·n'/(n)². Dann setzt du den Zähler der Ableitung gleich null und prüfst mit dem Vorzeichenwechselkriterium, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.

Klausurtipp: Bei der Asymptoten-Berechnung immer die Grade zuerst vergleichen - das spart Zeit und zeigt dir sofort, welche Art von Asymptote du erwarten kannst!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Grenzwerte und Asymptoten von Funktionen

Asymptoten

 

Mathe

•

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Gebrochenrationale Funktionen: Überblick und Kurvendiskussion

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Nina

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Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen in Bruchform, bei denen sowohl Zähler als auch Nenner aus ganzrationalen Funktionen bestehen. Diese Funktionsart kommt oft in Klausuren vor und hat besondere Eigenschaften wie Definitionslücken und Asymptoten, die du systematisch untersuchen kannst.

# Gebrochenrationale ## Funktion Funktionen der Form $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$ heißen gebrochenrational $L_oz(x) =$ Zähler funktion $L_on(x)

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Grundlagen und Symmetrie

Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f(x) = z(x)/n(x), wobei z(x) die Zählerfunktion und n(x) die Nennerfunktion ist. Beide sind ganzrationale Funktionen, und der Grad der Nennerfunktion muss größer als null sein.

Bei der Symmetrieuntersuchung setzt du einfach -x in die Funktion ein. Für Achsensymmetrie gilt f(x) = f−x-x, für Punktsymmetrie f(x) = -f−x-x. Das Minus vor der Klammer verrechnest du nur mit Zähler- oder Nennerfunktion - nicht mit beiden!

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Merktipp: Das Minus bei der Symmetrieprüfung nicht mit der ganzen Funktion verrechnen - das ist ein häufiger Fehler!

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Nullstellen und Definitionslücken

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind genau die Nullstellen der Zählerfunktion z(x). Du löst also einfach z(x) = 0 mit den üblichen Verfahren wie pq-Formel oder Polynomdivision.

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Asymptoten und Extremstellen

Asymptoten zeigen dir, wohin die Funktion für große x-Werte strebt. Der Typ hängt vom Verhältnis der Grade ab: Zählergrad < Nennergrad ergibt die x-Achse als Asymptote, Zählergrad = Nennergrad eine waagerechte Gerade, Zählergrad = Nennergrad + 1 eine schiefe Asymptote.

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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