Fächer
Mathe
Deutsch
Englisch
Biologie
Geschichte
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Imperialismus und erster weltkrieg
Das 20. jahrhundert
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Europa und globalisierung
Europa und die welt
Frühe neuzeit
Die zeit des nationalsozialismus
Der mensch und seine geschichte
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Akteure internationaler politik in politischer perspektive
Großreiche
Alle Themen
88
1
Janina
9.12.2025
Mathe
gebrochen rationale Funktionen Zusammenfassung
4.711
•
9. Dez. 2025
•
Janina
@janiina
Gebrochenrationale Funktionen sind der Quotient aus zwei Polynomen - ein... Mehr anzeigen
Gebrochenrationale Funktionen entstehen, wenn du ein Polynom durch ein anderes teilst. Die allgemeine Form ist f(x) = Z(x)/N(x), wobei Z(x) der Zähler und N(x) der Nenner ist.
Der Zählergrad z ist der höchste Exponent im Zähler, der Nennergrad n der höchste im Nenner. Bei z < n sprichst du von einer echt gebrochenrationalen Funktion, bei z ≥ n von einer unecht gebrochenrationalen Funktion.
Die Definitionsmenge findest du, indem du den Nenner gleich null setzt. Überall wo der Nenner null wird, entstehen Definitionslücken. Beispiel: f(x) = 3x/² hat die Definitionsmenge D = ℝ{1}.
Tipp: Bestimme immer zuerst die Definitionsmenge, bevor du kürzt - sie ändert sich danach nicht mehr!
Manchmal kannst du Glück haben: Wenn Zähler und Nenner an derselben Stelle null werden, entsteht eine behebbare Definitionslücke. Das erkennst du daran, dass sich ein gemeinsamer Faktor vollständig wegkürzen lässt.
Bei f(x) = / ist x = 3 eine behebbare Lücke. Nach dem Kürzen erhältst du f(x) = x+2, aber die Definitionsmenge bleibt D = ℝ{3}.
Den Grenzwert an der Lücke findest du, indem du die gekürzte Form verwendest. Bei x = 3 ist der Grenzwert 5. Im Funktionsgraph siehst du dann ein "Loch" an der Stelle (3|5).
Die stetige Fortsetzung f̄(x) = x+2 hat dann die Definitionsmenge D = ℝ und schließt das Loch.
Wenn sich ein Faktor im Nenner nicht vollständig wegkürzen lässt, entsteht eine Polstelle. Hier nähert sich der Graph einer senkrechten Asymptote an.
Bei ungeraden Exponenten des Faktors im Nenner hast du eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW). Der Graph geht von -∞ nach +∞ oder umgekehrt. Beispiel: f(x) = 4/x bei x = 0.
Bei geraden Exponenten entsteht eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph kommt von beiden Seiten aus derselben Richtung. Beispiel: f(x) = 4/x² bei x = 0.
Merkregel: Ungerade Exponenten = VZW, gerade Exponenten = kein VZW
Schauen wir uns f(x) = /² an. Nach dem Bestimmen der Definitionsmenge D = ℝ{3} kürzt du zu f(x) = /.
Da der Faktor im Nenner noch vorhanden ist, hast du eine Polstelle bei x = 3. Der Exponent ist 1 (ungerade), also gibt es einen Vorzeichenwechsel.
Die Grenzwerte zeigen das Verhalten: lim(x→3⁻) = -∞ und lim(x→3⁺) = +∞. Der Graph springt von einer Seite der Asymptote zur anderen.
Bei Polstellen mit gerader Ordnung würden beide Grenzwerte in dieselbe Richtung gehen.
Nullstellen entstehen nur dort, wo der Zähler null wird (und der Nenner ungleich null ist). Du setzt also nur den Zähler gleich null.
Bei f(x) = ²/ kürzt du zuerst zu f(x) = ²/. Die Definitionsmenge ist D = ℝ{5,4}.
Für die Nullstellen löst du ² = 0. Das ergibt x₁ = 2 (einfache Nullstelle) und x₂,₃ = -3 (doppelte Nullstelle).
Wichtig: x = 4 ist keine Nullstelle, obwohl es im ursprünglichen Zähler steht - es liegt außerhalb der Definitionsmenge!
Das Verhalten gegen ±∞ hängt vom Verhältnis der Grade ab. Bei echt gebrochenrationalen Funktionen (Zählergrad < Nennergrad) nähert sich der Graph der x-Achse an.
Du erhältst eine waagrechte Asymptote bei y = 0. Beispiele sind f(x) = 1/x² oder f(x) = 4/x. Beide haben lim(x→±∞) f(x) = 0.
Für den genauen Nachweis klammerst du die höchste Potenz aus und lässt x gegen unendlich gehen. Bei f(x) = / erhältst du lim(x→∞) = 0.
Senkrechte Asymptoten entstehen an den Polstellen. Ihre Gleichung ist einfach x = (Polstelle).
Wenn Zählergrad = Nennergrad, entsteht eine waagrechte Asymptote bei y = (Leitkoeffizient Zähler)/(Leitkoeffizient Nenner).
Bei f(x) = / ist die Asymptote y = 3/4, da die Leitkoeffizienten 3 und 4 sind.
Ist der Zählergrad > Nennergrad, geht die Funktion gegen ±∞. Bei einem Unterschied von genau 1 entsteht eine schiefe Asymptote.
Für f(x) = / erhältst du lim(x→∞) = -∞ und lim = +∞, da das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidend ist.
Merkregel: Gleiches Grad → waagrechte AS, größerer Zählergrad → schief oder gegen ±∞
Für eine schiefe Asymptote führst du eine Polynomdivision durch. Bei f(x) = / teilst du : .
Das Ergebnis ist -3x + Rest. Der Quotient -3x ist deine schiefe Asymptote y = -3x. Der Rest 5x/ bestimmt, ob sich der Graph von oben oder unten nähert.
Da lim(x→∞) 5x/ = 0⁺, nähert sich der Graph von oben der Asymptote. Bei lim = 0⁻ erfolgt die Annäherung von unten.
Die schiefe Asymptote ist also y = -3x, und du weißt genau, wie sich der Graph verhält.
Hier ist dein Fahrplan für Asymptoten: Vergleiche zuerst Zählergrad und Nennergrad.
Fall 1 (Zählergrad < Nennergrad): Waagrechte Asymptote bei y = 0, lim(x→±∞) f(x) = 0
Fall 2 : Waagrechte Asymptote bei y = (Leitkoeffizient Zähler)/(Leitkoeffizient Nenner)
Fall 3 (Zählergrad > Nennergrad): Schiefe Asymptote durch Polynomdivision, lim(x→±∞) f(x) = ±∞
Prüfungstipp: Diese drei Fälle kommen garantiert in Klausuren vor - lerne sie auswendig!
Symmetrie prüfst du, indem du x durch -x ersetzt. Bei f = f(x) ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, bei f = -f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.
Es gibt eine Abkürzung: Haben alle Exponenten in Zähler und Nenner dieselbe Parität (alle gerade oder alle ungerade), ist die Funktion achsensymmetrisch. Bei gemischten Paritäten ist sie punktsymmetrisch.
Beispiel: f(x) = /(2x) hat gerade Exponenten im Zähler (x², konstanter Term x⁰) und ungerade im Nenner (x¹). Das ergibt f = -f(x), also Punktsymmetrie.
Bei f(x) = / hast du verschiedene Exponenten ohne klares Muster - hier gibt es keine Symmetrie.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Janina
@janiina
Gebrochenrationale Funktionen sind der Quotient aus zwei Polynomen - ein wichtiges Thema in der Oberstufe, das dir bei Klausuren und im Abitur begegnet. Du wirst lernen, wie du mit Definitionslücken umgehst, Asymptoten findest und diese Funktionen richtig zeichnest.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Gebrochenrationale Funktionen entstehen, wenn du ein Polynom durch ein anderes teilst. Die allgemeine Form ist f(x) = Z(x)/N(x), wobei Z(x) der Zähler und N(x) der Nenner ist.
Der Zählergrad z ist der höchste Exponent im Zähler, der Nennergrad n der höchste im Nenner. Bei z < n sprichst du von einer echt gebrochenrationalen Funktion, bei z ≥ n von einer unecht gebrochenrationalen Funktion.
Die Definitionsmenge findest du, indem du den Nenner gleich null setzt. Überall wo der Nenner null wird, entstehen Definitionslücken. Beispiel: f(x) = 3x/² hat die Definitionsmenge D = ℝ{1}.
Tipp: Bestimme immer zuerst die Definitionsmenge, bevor du kürzt - sie ändert sich danach nicht mehr!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Manchmal kannst du Glück haben: Wenn Zähler und Nenner an derselben Stelle null werden, entsteht eine behebbare Definitionslücke. Das erkennst du daran, dass sich ein gemeinsamer Faktor vollständig wegkürzen lässt.
Bei f(x) = / ist x = 3 eine behebbare Lücke. Nach dem Kürzen erhältst du f(x) = x+2, aber die Definitionsmenge bleibt D = ℝ{3}.
Den Grenzwert an der Lücke findest du, indem du die gekürzte Form verwendest. Bei x = 3 ist der Grenzwert 5. Im Funktionsgraph siehst du dann ein "Loch" an der Stelle (3|5).
Die stetige Fortsetzung f̄(x) = x+2 hat dann die Definitionsmenge D = ℝ und schließt das Loch.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Wenn sich ein Faktor im Nenner nicht vollständig wegkürzen lässt, entsteht eine Polstelle. Hier nähert sich der Graph einer senkrechten Asymptote an.
Bei ungeraden Exponenten des Faktors im Nenner hast du eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW). Der Graph geht von -∞ nach +∞ oder umgekehrt. Beispiel: f(x) = 4/x bei x = 0.
Bei geraden Exponenten entsteht eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph kommt von beiden Seiten aus derselben Richtung. Beispiel: f(x) = 4/x² bei x = 0.
Merkregel: Ungerade Exponenten = VZW, gerade Exponenten = kein VZW
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Schauen wir uns f(x) = /² an. Nach dem Bestimmen der Definitionsmenge D = ℝ{3} kürzt du zu f(x) = /.
Da der Faktor im Nenner noch vorhanden ist, hast du eine Polstelle bei x = 3. Der Exponent ist 1 (ungerade), also gibt es einen Vorzeichenwechsel.
Die Grenzwerte zeigen das Verhalten: lim(x→3⁻) = -∞ und lim(x→3⁺) = +∞. Der Graph springt von einer Seite der Asymptote zur anderen.
Bei Polstellen mit gerader Ordnung würden beide Grenzwerte in dieselbe Richtung gehen.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Nullstellen entstehen nur dort, wo der Zähler null wird (und der Nenner ungleich null ist). Du setzt also nur den Zähler gleich null.
Bei f(x) = ²/ kürzt du zuerst zu f(x) = ²/. Die Definitionsmenge ist D = ℝ{5,4}.
Für die Nullstellen löst du ² = 0. Das ergibt x₁ = 2 (einfache Nullstelle) und x₂,₃ = -3 (doppelte Nullstelle).
Wichtig: x = 4 ist keine Nullstelle, obwohl es im ursprünglichen Zähler steht - es liegt außerhalb der Definitionsmenge!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Das Verhalten gegen ±∞ hängt vom Verhältnis der Grade ab. Bei echt gebrochenrationalen Funktionen (Zählergrad < Nennergrad) nähert sich der Graph der x-Achse an.
Du erhältst eine waagrechte Asymptote bei y = 0. Beispiele sind f(x) = 1/x² oder f(x) = 4/x. Beide haben lim(x→±∞) f(x) = 0.
Für den genauen Nachweis klammerst du die höchste Potenz aus und lässt x gegen unendlich gehen. Bei f(x) = / erhältst du lim(x→∞) = 0.
Senkrechte Asymptoten entstehen an den Polstellen. Ihre Gleichung ist einfach x = (Polstelle).
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Wenn Zählergrad = Nennergrad, entsteht eine waagrechte Asymptote bei y = (Leitkoeffizient Zähler)/(Leitkoeffizient Nenner).
Bei f(x) = / ist die Asymptote y = 3/4, da die Leitkoeffizienten 3 und 4 sind.
Ist der Zählergrad > Nennergrad, geht die Funktion gegen ±∞. Bei einem Unterschied von genau 1 entsteht eine schiefe Asymptote.
Für f(x) = / erhältst du lim(x→∞) = -∞ und lim = +∞, da das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidend ist.
Merkregel: Gleiches Grad → waagrechte AS, größerer Zählergrad → schief oder gegen ±∞
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Für eine schiefe Asymptote führst du eine Polynomdivision durch. Bei f(x) = / teilst du : .
Das Ergebnis ist -3x + Rest. Der Quotient -3x ist deine schiefe Asymptote y = -3x. Der Rest 5x/ bestimmt, ob sich der Graph von oben oder unten nähert.
Da lim(x→∞) 5x/ = 0⁺, nähert sich der Graph von oben der Asymptote. Bei lim = 0⁻ erfolgt die Annäherung von unten.
Die schiefe Asymptote ist also y = -3x, und du weißt genau, wie sich der Graph verhält.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Hier ist dein Fahrplan für Asymptoten: Vergleiche zuerst Zählergrad und Nennergrad.
Fall 1 (Zählergrad < Nennergrad): Waagrechte Asymptote bei y = 0, lim(x→±∞) f(x) = 0
Fall 2 : Waagrechte Asymptote bei y = (Leitkoeffizient Zähler)/(Leitkoeffizient Nenner)
Fall 3 (Zählergrad > Nennergrad): Schiefe Asymptote durch Polynomdivision, lim(x→±∞) f(x) = ±∞
Prüfungstipp: Diese drei Fälle kommen garantiert in Klausuren vor - lerne sie auswendig!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Symmetrie prüfst du, indem du x durch -x ersetzt. Bei f = f(x) ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, bei f = -f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.
Es gibt eine Abkürzung: Haben alle Exponenten in Zähler und Nenner dieselbe Parität (alle gerade oder alle ungerade), ist die Funktion achsensymmetrisch. Bei gemischten Paritäten ist sie punktsymmetrisch.
Beispiel: f(x) = /(2x) hat gerade Exponenten im Zähler (x², konstanter Term x⁰) und ungerade im Nenner (x¹). Das ergibt f = -f(x), also Punktsymmetrie.
Bei f(x) = / hast du verschiedene Exponenten ohne klares Muster - hier gibt es keine Symmetrie.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
88
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erforschen Sie die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Symmetrie, Globalverhalten und Monotonie. Diese Zusammenfassung bietet klare Kriterien für Extrempunkte und deren Berechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie ganzrationale Funktionen 2. und 3. Grades bestimmen können. Diese Übersicht behandelt die Anwendung von Gleichungssystemen, den Einsatz des Taschenrechners, Regressionstechniken und die Funktionsanpassung. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Funktionalanalyse vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die zentrale Klausur der Einführungsphase 2016 in Mathematik. Die Aufgaben umfassen Themen wie Funktionen, Ableitungen, Stochastik und graphische Transformationen. Studierende lernen, wie man Gleichungen aufstellt, Ableitungen interpretiert und Wahrscheinlichkeiten berechnet. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte.
MatheEntdecken Sie die Eigenschaften gebrochenrationaler Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Asymptoten und Polstellen. Diese Präsentation behandelt die Polynomdivision, das Verhalten an Unendlichkeit und die Nullstellen von Funktionen. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis für Kurvenverhalten und Funktionsgraphen entwickeln möchten.
MatheDiese Übersicht behandelt die wesentlichen Eigenschaften von Funktionen, einschließlich Definitionsmenge, Wertemenge, Symmetrie und Nullstellen. Ideal für die Klausur- und Abiturvorbereitung. Enthält auch Informationen zu Transformationen, Tangenten und Sekanten sowie zur Polynomdivision.
MatheErfahren Sie alles über gebrochen-rationale Funktionen, einschließlich der Quotientenregel, Nullstellen, Polstellen und Asymptoten. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Verhaltensweisen an Polstellen und im Unendlichen sowie wichtige Grafiken zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
