Grundlagen gebrochenrationaler Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen entstehen, wenn du ein Polynom durch ein anderes teilst. Die allgemeine Form ist f(x) = Z(x)/N(x), wobei Z(x) der Zähler und N(x) der Nenner ist.

Der Zählergrad z ist der höchste Exponent im Zähler, der Nennergrad n der höchste im Nenner. Bei z < n sprichst du von einer echt gebrochenrationalen Funktion, bei z ≥ n von einer unecht gebrochenrationalen Funktion.

Die Definitionsmenge findest du, indem du den Nenner gleich null setzt. Überall wo der Nenner null wird, entstehen Definitionslücken. Beispiel: f(x) = 3x/$1-x$² hat die Definitionsmenge D = ℝ{1}.

Tipp: Bestimme immer zuerst die Definitionsmenge, bevor du kürzt - sie ändert sich danach nicht mehr!

Behebbare Definitionslücken

Manchmal kannst du Glück haben: Wenn Zähler und Nenner an derselben Stelle null werden, entsteht eine behebbare Definitionslücke. Das erkennst du daran, dass sich ein gemeinsamer Faktor vollständig wegkürzen lässt.

Bei f(x) = $x+2$$x-3$/$x-3$ ist x = 3 eine behebbare Lücke. Nach dem Kürzen erhältst du f(x) = x+2, aber die Definitionsmenge bleibt D = ℝ{3}.

Den Grenzwert an der Lücke findest du, indem du die gekürzte Form verwendest. Bei x = 3 ist der Grenzwert 5. Im Funktionsgraph siehst du dann ein "Loch" an der Stelle (3|5).

Die stetige Fortsetzung f̄(x) = x+2 hat dann die Definitionsmenge D = ℝ und schließt das Loch.

Polstellen verstehen

Wenn sich ein Faktor im Nenner nicht vollständig wegkürzen lässt, entsteht eine Polstelle. Hier nähert sich der Graph einer senkrechten Asymptote an.

Bei ungeraden Exponenten des Faktors im Nenner hast du eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW). Der Graph geht von -∞ nach +∞ oder umgekehrt. Beispiel: f(x) = 4/x bei x = 0.

Bei geraden Exponenten entsteht eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph kommt von beiden Seiten aus derselben Richtung. Beispiel: f(x) = 4/x² bei x = 0.

Merkregel: Ungerade Exponenten = VZW, gerade Exponenten = kein VZW

Polstellen bestimmen

Schauen wir uns f(x) = $x+2$$x-3$/$x-3$² an. Nach dem Bestimmen der Definitionsmenge D = ℝ{3} kürzt du zu f(x) = $x+2$/$x-3$.

Da der Faktor $x-3$ im Nenner noch vorhanden ist, hast du eine Polstelle bei x = 3. Der Exponent ist 1 (ungerade), also gibt es einen Vorzeichenwechsel.

Die Grenzwerte zeigen das Verhalten: lim(x→3⁻) = -∞ und lim(x→3⁺) = +∞. Der Graph springt von einer Seite der Asymptote zur anderen.

Bei Polstellen mit gerader Ordnung würden beide Grenzwerte in dieselbe Richtung $beide +∞ oder beide -∞$ gehen.

Nullstellen finden

Nullstellen entstehen nur dort, wo der Zähler null wird (und der Nenner ungleich null ist). Du setzt also nur den Zähler gleich null.

Bei f(x) = $x-2$$x-4$$x+3$²/$x-5$$x-4$ kürzt du zuerst zu f(x) = $x-2$$x+3$²/$x-5$. Die Definitionsmenge ist D = ℝ{5,4}.

Für die Nullstellen löst du $x-2$$x+3$² = 0. Das ergibt x₁ = 2 (einfache Nullstelle) und x₂,₃ = -3 (doppelte Nullstelle).

Wichtig: x = 4 ist keine Nullstelle, obwohl es im ursprünglichen Zähler steht - es liegt außerhalb der Definitionsmenge!

Verhalten im Unendlichen - Teil 1

Das Verhalten gegen ±∞ hängt vom Verhältnis der Grade ab. Bei echt gebrochenrationalen Funktionen (Zählergrad < Nennergrad) nähert sich der Graph der x-Achse an.

Du erhältst eine waagrechte Asymptote bei y = 0. Beispiele sind f(x) = 1/x² oder f(x) = 4/x. Beide haben lim(x→±∞) f(x) = 0.

Für den genauen Nachweis klammerst du die höchste Potenz aus und lässt x gegen unendlich gehen. Bei f(x) = $-x²+4$/$3x³+2x$ erhältst du lim(x→∞) = 0.

Senkrechte Asymptoten entstehen an den Polstellen. Ihre Gleichung ist einfach x = (Polstelle).

Verhalten im Unendlichen - Teil 2

Wenn Zählergrad = Nennergrad, entsteht eine waagrechte Asymptote bei y = (Leitkoeffizient Zähler)/(Leitkoeffizient Nenner).

Bei f(x) = $3x³+2x²$/$4x³-7x$ ist die Asymptote y = 3/4, da die Leitkoeffizienten 3 und 4 sind.

Ist der Zählergrad > Nennergrad, geht die Funktion gegen ±∞. Bei einem Unterschied von genau 1 entsteht eine schiefe Asymptote.

Für f(x) = $3x³+2x$/$-x²+4$ erhältst du lim(x→∞) = -∞ und lim$x→-∞$ = +∞, da das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidend ist.

Merkregel: Gleiches Grad → waagrechte AS, größerer Zählergrad → schief oder gegen ±∞

Schiefe Asymptoten bestimmen

Für eine schiefe Asymptote führst du eine Polynomdivision durch. Bei f(x) = $3x³+2x$/$-x²+1$ teilst du $3x³+2x$ : $-x²+1$.

Das Ergebnis ist -3x + Rest. Der Quotient -3x ist deine schiefe Asymptote y = -3x. Der Rest 5x/$-x²+1$ bestimmt, ob sich der Graph von oben oder unten nähert.

Da lim(x→∞) 5x/$-x²+1$ = 0⁺, nähert sich der Graph von oben der Asymptote. Bei lim$x→-∞$ = 0⁻ erfolgt die Annäherung von unten.

Die schiefe Asymptote ist also y = -3x, und du weißt genau, wie sich der Graph verhält.

Übersicht: Asymptoten bestimmen

Hier ist dein Fahrplan für Asymptoten: Vergleiche zuerst Zählergrad und Nennergrad.

Fall 1 (Zählergrad < Nennergrad): Waagrechte Asymptote bei y = 0, lim(x→±∞) f(x) = 0

Fall 2 $Zählergrad = Nennergrad$: Waagrechte Asymptote bei y = (Leitkoeffizient Zähler)/(Leitkoeffizient Nenner)

Fall 3 (Zählergrad > Nennergrad): Schiefe Asymptote durch Polynomdivision, lim(x→±∞) f(x) = ±∞

Prüfungstipp: Diese drei Fälle kommen garantiert in Klausuren vor - lerne sie auswendig!

Symmetrie prüfen

Symmetrie prüfst du, indem du x durch -x ersetzt. Bei f$-x$ = f(x) ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, bei f$-x$ = -f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.

Es gibt eine Abkürzung: Haben alle Exponenten in Zähler und Nenner dieselbe Parität (alle gerade oder alle ungerade), ist die Funktion achsensymmetrisch. Bei gemischten Paritäten ist sie punktsymmetrisch.

Beispiel: f(x) = $x²+1$/(2x) hat gerade Exponenten im Zähler (x², konstanter Term x⁰) und ungerade im Nenner (x¹). Das ergibt f$-x$ = -f(x), also Punktsymmetrie.

Bei f(x) = $x²+1$/$2x+1$ hast du verschiedene Exponenten ohne klares Muster - hier gibt es keine Symmetrie.