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9. Feb. 2026
•
Janina
@janiina
Gebrochenrationale Funktionen sind der Quotient aus zwei Polynomen - ein... Mehr anzeigen
Gebrochenrationale Funktionen entstehen, wenn du ein Polynom durch ein anderes teilst. Die allgemeine Form ist f(x) = Z(x)/N(x), wobei Z(x) der Zähler und N(x) der Nenner ist.
Der Zählergrad z ist der höchste Exponent im Zähler, der Nennergrad n der höchste im Nenner. Bei z < n sprichst du von einer echt gebrochenrationalen Funktion, bei z ≥ n von einer unecht gebrochenrationalen Funktion.
Die Definitionsmenge findest du, indem du den Nenner gleich null setzt. Überall wo der Nenner null wird, entstehen Definitionslücken. Beispiel: f(x) = 3x/² hat die Definitionsmenge D = ℝ{1}.
Tipp: Bestimme immer zuerst die Definitionsmenge, bevor du kürzt - sie ändert sich danach nicht mehr!
Manchmal kannst du Glück haben: Wenn Zähler und Nenner an derselben Stelle null werden, entsteht eine behebbare Definitionslücke. Das erkennst du daran, dass sich ein gemeinsamer Faktor vollständig wegkürzen lässt.
Bei f(x) = / ist x = 3 eine behebbare Lücke. Nach dem Kürzen erhältst du f(x) = x+2, aber die Definitionsmenge bleibt D = ℝ{3}.
Den Grenzwert an der Lücke findest du, indem du die gekürzte Form verwendest. Bei x = 3 ist der Grenzwert 5. Im Funktionsgraph siehst du dann ein "Loch" an der Stelle (3|5).
Die stetige Fortsetzung f̄(x) = x+2 hat dann die Definitionsmenge D = ℝ und schließt das Loch.
Wenn sich ein Faktor im Nenner nicht vollständig wegkürzen lässt, entsteht eine Polstelle. Hier nähert sich der Graph einer senkrechten Asymptote an.
Bei ungeraden Exponenten des Faktors im Nenner hast du eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW). Der Graph geht von -∞ nach +∞ oder umgekehrt. Beispiel: f(x) = 4/x bei x = 0.
Bei geraden Exponenten entsteht eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph kommt von beiden Seiten aus derselben Richtung. Beispiel: f(x) = 4/x² bei x = 0.
Merkregel: Ungerade Exponenten = VZW, gerade Exponenten = kein VZW
Schauen wir uns f(x) = /² an. Nach dem Bestimmen der Definitionsmenge D = ℝ{3} kürzt du zu f(x) = /.
Da der Faktor im Nenner noch vorhanden ist, hast du eine Polstelle bei x = 3. Der Exponent ist 1 (ungerade), also gibt es einen Vorzeichenwechsel.
Die Grenzwerte zeigen das Verhalten: lim(x→3⁻) = -∞ und lim(x→3⁺) = +∞. Der Graph springt von einer Seite der Asymptote zur anderen.
Bei Polstellen mit gerader Ordnung würden beide Grenzwerte in dieselbe Richtung gehen.
Nullstellen entstehen nur dort, wo der Zähler null wird (und der Nenner ungleich null ist). Du setzt also nur den Zähler gleich null.
Bei f(x) = ²/ kürzt du zuerst zu f(x) = ²/. Die Definitionsmenge ist D = ℝ{5,4}.
Für die Nullstellen löst du ² = 0. Das ergibt x₁ = 2 (einfache Nullstelle) und x₂,₃ = -3 (doppelte Nullstelle).
Wichtig: x = 4 ist keine Nullstelle, obwohl es im ursprünglichen Zähler steht - es liegt außerhalb der Definitionsmenge!
Das Verhalten gegen ±∞ hängt vom Verhältnis der Grade ab. Bei echt gebrochenrationalen Funktionen (Zählergrad < Nennergrad) nähert sich der Graph der x-Achse an.
Du erhältst eine waagrechte Asymptote bei y = 0. Beispiele sind f(x) = 1/x² oder f(x) = 4/x. Beide haben lim(x→±∞) f(x) = 0.
Für den genauen Nachweis klammerst du die höchste Potenz aus und lässt x gegen unendlich gehen. Bei f(x) = / erhältst du lim(x→∞) = 0.
Senkrechte Asymptoten entstehen an den Polstellen. Ihre Gleichung ist einfach x = (Polstelle).
Wenn Zählergrad = Nennergrad, entsteht eine waagrechte Asymptote bei y = (Leitkoeffizient Zähler)/(Leitkoeffizient Nenner).
Bei f(x) = / ist die Asymptote y = 3/4, da die Leitkoeffizienten 3 und 4 sind.
Ist der Zählergrad > Nennergrad, geht die Funktion gegen ±∞. Bei einem Unterschied von genau 1 entsteht eine schiefe Asymptote.
Für f(x) = / erhältst du lim(x→∞) = -∞ und lim = +∞, da das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidend ist.
Merkregel: Gleiches Grad → waagrechte AS, größerer Zählergrad → schief oder gegen ±∞
Für eine schiefe Asymptote führst du eine Polynomdivision durch. Bei f(x) = / teilst du : .
Das Ergebnis ist -3x + Rest. Der Quotient -3x ist deine schiefe Asymptote y = -3x. Der Rest 5x/ bestimmt, ob sich der Graph von oben oder unten nähert.
Da lim(x→∞) 5x/ = 0⁺, nähert sich der Graph von oben der Asymptote. Bei lim = 0⁻ erfolgt die Annäherung von unten.
Die schiefe Asymptote ist also y = -3x, und du weißt genau, wie sich der Graph verhält.
Hier ist dein Fahrplan für Asymptoten: Vergleiche zuerst Zählergrad und Nennergrad.
Fall 1 (Zählergrad < Nennergrad): Waagrechte Asymptote bei y = 0, lim(x→±∞) f(x) = 0
Fall 2 : Waagrechte Asymptote bei y = (Leitkoeffizient Zähler)/(Leitkoeffizient Nenner)
Fall 3 (Zählergrad > Nennergrad): Schiefe Asymptote durch Polynomdivision, lim(x→±∞) f(x) = ±∞
Prüfungstipp: Diese drei Fälle kommen garantiert in Klausuren vor - lerne sie auswendig!
Symmetrie prüfst du, indem du x durch -x ersetzt. Bei f = f(x) ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, bei f = -f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.
Es gibt eine Abkürzung: Haben alle Exponenten in Zähler und Nenner dieselbe Parität (alle gerade oder alle ungerade), ist die Funktion achsensymmetrisch. Bei gemischten Paritäten ist sie punktsymmetrisch.
Beispiel: f(x) = /(2x) hat gerade Exponenten im Zähler (x², konstanter Term x⁰) und ungerade im Nenner (x¹). Das ergibt f = -f(x), also Punktsymmetrie.
Bei f(x) = / hast du verschiedene Exponenten ohne klares Muster - hier gibt es keine Symmetrie.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
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Thomas R
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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Paul T
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Janina
@janiina
Gebrochenrationale Funktionen sind der Quotient aus zwei Polynomen - ein wichtiges Thema in der Oberstufe, das dir bei Klausuren und im Abitur begegnet. Du wirst lernen, wie du mit Definitionslücken umgehst, Asymptoten findest und diese Funktionen richtig zeichnest.
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Gebrochenrationale Funktionen entstehen, wenn du ein Polynom durch ein anderes teilst. Die allgemeine Form ist f(x) = Z(x)/N(x), wobei Z(x) der Zähler und N(x) der Nenner ist.
Der Zählergrad z ist der höchste Exponent im Zähler, der Nennergrad n der höchste im Nenner. Bei z < n sprichst du von einer echt gebrochenrationalen Funktion, bei z ≥ n von einer unecht gebrochenrationalen Funktion.
Die Definitionsmenge findest du, indem du den Nenner gleich null setzt. Überall wo der Nenner null wird, entstehen Definitionslücken. Beispiel: f(x) = 3x/² hat die Definitionsmenge D = ℝ{1}.
Tipp: Bestimme immer zuerst die Definitionsmenge, bevor du kürzt - sie ändert sich danach nicht mehr!
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Manchmal kannst du Glück haben: Wenn Zähler und Nenner an derselben Stelle null werden, entsteht eine behebbare Definitionslücke. Das erkennst du daran, dass sich ein gemeinsamer Faktor vollständig wegkürzen lässt.
Bei f(x) = / ist x = 3 eine behebbare Lücke. Nach dem Kürzen erhältst du f(x) = x+2, aber die Definitionsmenge bleibt D = ℝ{3}.
Den Grenzwert an der Lücke findest du, indem du die gekürzte Form verwendest. Bei x = 3 ist der Grenzwert 5. Im Funktionsgraph siehst du dann ein "Loch" an der Stelle (3|5).
Die stetige Fortsetzung f̄(x) = x+2 hat dann die Definitionsmenge D = ℝ und schließt das Loch.
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Wenn sich ein Faktor im Nenner nicht vollständig wegkürzen lässt, entsteht eine Polstelle. Hier nähert sich der Graph einer senkrechten Asymptote an.
Bei ungeraden Exponenten des Faktors im Nenner hast du eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW). Der Graph geht von -∞ nach +∞ oder umgekehrt. Beispiel: f(x) = 4/x bei x = 0.
Bei geraden Exponenten entsteht eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph kommt von beiden Seiten aus derselben Richtung. Beispiel: f(x) = 4/x² bei x = 0.
Merkregel: Ungerade Exponenten = VZW, gerade Exponenten = kein VZW
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Schauen wir uns f(x) = /² an. Nach dem Bestimmen der Definitionsmenge D = ℝ{3} kürzt du zu f(x) = /.
Da der Faktor im Nenner noch vorhanden ist, hast du eine Polstelle bei x = 3. Der Exponent ist 1 (ungerade), also gibt es einen Vorzeichenwechsel.
Die Grenzwerte zeigen das Verhalten: lim(x→3⁻) = -∞ und lim(x→3⁺) = +∞. Der Graph springt von einer Seite der Asymptote zur anderen.
Bei Polstellen mit gerader Ordnung würden beide Grenzwerte in dieselbe Richtung gehen.
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Nullstellen entstehen nur dort, wo der Zähler null wird (und der Nenner ungleich null ist). Du setzt also nur den Zähler gleich null.
Bei f(x) = ²/ kürzt du zuerst zu f(x) = ²/. Die Definitionsmenge ist D = ℝ{5,4}.
Für die Nullstellen löst du ² = 0. Das ergibt x₁ = 2 (einfache Nullstelle) und x₂,₃ = -3 (doppelte Nullstelle).
Wichtig: x = 4 ist keine Nullstelle, obwohl es im ursprünglichen Zähler steht - es liegt außerhalb der Definitionsmenge!
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Das Verhalten gegen ±∞ hängt vom Verhältnis der Grade ab. Bei echt gebrochenrationalen Funktionen (Zählergrad < Nennergrad) nähert sich der Graph der x-Achse an.
Du erhältst eine waagrechte Asymptote bei y = 0. Beispiele sind f(x) = 1/x² oder f(x) = 4/x. Beide haben lim(x→±∞) f(x) = 0.
Für den genauen Nachweis klammerst du die höchste Potenz aus und lässt x gegen unendlich gehen. Bei f(x) = / erhältst du lim(x→∞) = 0.
Senkrechte Asymptoten entstehen an den Polstellen. Ihre Gleichung ist einfach x = (Polstelle).
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Wenn Zählergrad = Nennergrad, entsteht eine waagrechte Asymptote bei y = (Leitkoeffizient Zähler)/(Leitkoeffizient Nenner).
Bei f(x) = / ist die Asymptote y = 3/4, da die Leitkoeffizienten 3 und 4 sind.
Ist der Zählergrad > Nennergrad, geht die Funktion gegen ±∞. Bei einem Unterschied von genau 1 entsteht eine schiefe Asymptote.
Für f(x) = / erhältst du lim(x→∞) = -∞ und lim = +∞, da das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidend ist.
Merkregel: Gleiches Grad → waagrechte AS, größerer Zählergrad → schief oder gegen ±∞
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Für eine schiefe Asymptote führst du eine Polynomdivision durch. Bei f(x) = / teilst du : .
Das Ergebnis ist -3x + Rest. Der Quotient -3x ist deine schiefe Asymptote y = -3x. Der Rest 5x/ bestimmt, ob sich der Graph von oben oder unten nähert.
Da lim(x→∞) 5x/ = 0⁺, nähert sich der Graph von oben der Asymptote. Bei lim = 0⁻ erfolgt die Annäherung von unten.
Die schiefe Asymptote ist also y = -3x, und du weißt genau, wie sich der Graph verhält.
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Hier ist dein Fahrplan für Asymptoten: Vergleiche zuerst Zählergrad und Nennergrad.
Fall 1 (Zählergrad < Nennergrad): Waagrechte Asymptote bei y = 0, lim(x→±∞) f(x) = 0
Fall 2 : Waagrechte Asymptote bei y = (Leitkoeffizient Zähler)/(Leitkoeffizient Nenner)
Fall 3 (Zählergrad > Nennergrad): Schiefe Asymptote durch Polynomdivision, lim(x→±∞) f(x) = ±∞
Prüfungstipp: Diese drei Fälle kommen garantiert in Klausuren vor - lerne sie auswendig!
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Symmetrie prüfst du, indem du x durch -x ersetzt. Bei f = f(x) ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, bei f = -f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.
Es gibt eine Abkürzung: Haben alle Exponenten in Zähler und Nenner dieselbe Parität (alle gerade oder alle ungerade), ist die Funktion achsensymmetrisch. Bei gemischten Paritäten ist sie punktsymmetrisch.
Beispiel: f(x) = /(2x) hat gerade Exponenten im Zähler (x², konstanter Term x⁰) und ungerade im Nenner (x¹). Das ergibt f = -f(x), also Punktsymmetrie.
Bei f(x) = / hast du verschiedene Exponenten ohne klares Muster - hier gibt es keine Symmetrie.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
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Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Deutsch