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Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen
676
•
8. Juli 2025
•
study_with_seli
@study_with_seli_91f68e
Ganzrationale Funktionen und Potenzfunktionensind fundamentale mathematische Konzepte, die sich... Mehr anzeigen
Dieser Abschnitt bietet praktische Anleitungen zum Skizzieren von Graphen ganzrationaler Funktionen. Es werden verschiedene Methoden vorgestellt, um den Graphen einer Funktion zu erstellen, darunter das Einzeichnen von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen, das Markieren durchlaufener Felder und die Berücksichtigung des Verhaltens im Unendlichen.
Ein besonderer Fokus liegt auf der Erstellung und Verwendung von Vorzeichentabellen. Diese Tabellen helfen dabei, das Vorzeichen der Funktionswerte in verschiedenen Intervallen zu bestimmen, insbesondere wenn der Funktionsterm in faktorisierter Form vorliegt.
Beispiel: Für die Funktion f = -0,5x³ + 2x² - 2x = -0,5x² wird eine Vorzeichentabelle erstellt, die zeigt, wie sich das Vorzeichen der Funktion in verschiedenen Intervallen ändert.
Die Bedeutung von Nullstellen wird ebenfalls erläutert, einschließlich der Unterscheidung zwischen Nullstellen gerader und ungerader Vielfachheit. Es wird erklärt, dass eine ganzrationale Funktion des Grades n höchstens n Nullstellen haben kann.
Vocabulary: Nullstellen gerader Vielfachheit sind Berührpunkte mit der x-Achse, während Nullstellen ungerader Vielfachheit Schnittpunkte mit der x-Achse darstellen.
Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen und die Bedeutung der Faktorisierung. Es wird erklärt, dass für Funktionen bis zum 2. Grad Lösungsformeln existieren, wie beispielsweise die Mitternachtsformel für quadratische Funktionen.
Die Faktorisierung wird als wichtige Methode zur Vereinfachung der Nullstellenbestimmung vorgestellt. Besonders hervorgehoben wird das Ausklammern, das oft möglich ist, wenn der konstante Term a0 gleich Null ist. Die Bedeutung von Linearfaktoren wird erläutert, da diese direkt auf die Nullstellen hinweisen.
Beispiel: Für die Funktion f = x³ + 8x² + 7x wird gezeigt, wie durch Ausklammern von x und anschließende Anwendung der Mitternachtsformel alle Nullstellen bestimmt werden können.
Der Abschnitt schließt mit einer Erklärung der Vielfachheit von Nullstellen. Es wird dargelegt, dass die Vielfachheit einer Nullstelle angibt, wie "oft" diese Nullstelle vorkommt, und dass der Exponent des entsprechenden Linearfaktors die Vielfachheit bestimmt.
Highlight: Nullstellen ungerader Vielfachheit führen zu einem Vorzeichenwechsel der Funktion, während Nullstellen gerader Vielfachheit keinen Vorzeichenwechsel bewirken.
Die dritte Seite erklärt die verschiedenen Arten von Nullstellen und die Polynomdivision.
Definition: Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, wie oft diese vorkommt.
Highlight: Bei ungerader Vielfachheit erfolgt ein Vorzeichenwechsel, bei gerader nicht.
Example: Bei f = -0,5x³+2x²-2x zeigt sich eine einfache Nullstelle bei x=0 und eine doppelte bei x=2.
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Eigenschaften von Potenzfunktionen und ganzrationalen Funktionen. Potenzfunktionen werden in ihrer allgemeinen Form f = ax^n dargestellt, wobei a ≠ 0 und n eine natürliche Zahl ist. Die Eigenschaften werden für verschiedene Fälle von a und n tabellarisch aufgeführt, einschließlich des Verhaltens bei geraden und ungeraden Exponenten sowie positiven und negativen Koeffizienten.
Definition: Ganzrationale Funktionen oder Polynome n-ten Grades haben die Form f = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0, wobei n eine natürliche Zahl ist und an, ..., a0 reelle Koeffizienten sind, mit an ≠ 0.
Die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen werden ebenfalls erläutert, insbesondere ihr Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs und ihre Symmetrieeigenschaften. Es wird erklärt, dass der Verlauf des Graphen hauptsächlich durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt wird.
Highlight: Bei ganzrationalen Funktionen ist Achsensymmetrie zur y-Achse gegeben, wenn nur gerade Exponenten vorkommen und a0 reell ist. Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn nur ungerade Exponenten vorkommen und a0 = 0 ist.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Lena M
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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study_with_seli
@study_with_seli_91f68e
Ganzrationale Funktionen und Potenzfunktionen sind fundamentale mathematische Konzepte, die sich durch spezifische Eigenschaften und Verhaltensweisen auszeichnen. Diese Funktionstypen bilden die Grundlage für komplexere mathematische Analysen und Anwendungen.
• Potenzfunktionenhaben die Form f(x)= ax^n mit charakteristischen Eigenschaften je nach Vorzeichen... Mehr anzeigen
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Dieser Abschnitt bietet praktische Anleitungen zum Skizzieren von Graphen ganzrationaler Funktionen. Es werden verschiedene Methoden vorgestellt, um den Graphen einer Funktion zu erstellen, darunter das Einzeichnen von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen, das Markieren durchlaufener Felder und die Berücksichtigung des Verhaltens im Unendlichen.
Ein besonderer Fokus liegt auf der Erstellung und Verwendung von Vorzeichentabellen. Diese Tabellen helfen dabei, das Vorzeichen der Funktionswerte in verschiedenen Intervallen zu bestimmen, insbesondere wenn der Funktionsterm in faktorisierter Form vorliegt.
Beispiel: Für die Funktion f = -0,5x³ + 2x² - 2x = -0,5x² wird eine Vorzeichentabelle erstellt, die zeigt, wie sich das Vorzeichen der Funktion in verschiedenen Intervallen ändert.
Die Bedeutung von Nullstellen wird ebenfalls erläutert, einschließlich der Unterscheidung zwischen Nullstellen gerader und ungerader Vielfachheit. Es wird erklärt, dass eine ganzrationale Funktion des Grades n höchstens n Nullstellen haben kann.
Vocabulary: Nullstellen gerader Vielfachheit sind Berührpunkte mit der x-Achse, während Nullstellen ungerader Vielfachheit Schnittpunkte mit der x-Achse darstellen.
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Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen und die Bedeutung der Faktorisierung. Es wird erklärt, dass für Funktionen bis zum 2. Grad Lösungsformeln existieren, wie beispielsweise die Mitternachtsformel für quadratische Funktionen.
Die Faktorisierung wird als wichtige Methode zur Vereinfachung der Nullstellenbestimmung vorgestellt. Besonders hervorgehoben wird das Ausklammern, das oft möglich ist, wenn der konstante Term a0 gleich Null ist. Die Bedeutung von Linearfaktoren wird erläutert, da diese direkt auf die Nullstellen hinweisen.
Beispiel: Für die Funktion f = x³ + 8x² + 7x wird gezeigt, wie durch Ausklammern von x und anschließende Anwendung der Mitternachtsformel alle Nullstellen bestimmt werden können.
Der Abschnitt schließt mit einer Erklärung der Vielfachheit von Nullstellen. Es wird dargelegt, dass die Vielfachheit einer Nullstelle angibt, wie "oft" diese Nullstelle vorkommt, und dass der Exponent des entsprechenden Linearfaktors die Vielfachheit bestimmt.
Highlight: Nullstellen ungerader Vielfachheit führen zu einem Vorzeichenwechsel der Funktion, während Nullstellen gerader Vielfachheit keinen Vorzeichenwechsel bewirken.
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Die dritte Seite erklärt die verschiedenen Arten von Nullstellen und die Polynomdivision.
Definition: Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, wie oft diese vorkommt.
Highlight: Bei ungerader Vielfachheit erfolgt ein Vorzeichenwechsel, bei gerader nicht.
Example: Bei f = -0,5x³+2x²-2x zeigt sich eine einfache Nullstelle bei x=0 und eine doppelte bei x=2.
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Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Eigenschaften von Potenzfunktionen und ganzrationalen Funktionen. Potenzfunktionen werden in ihrer allgemeinen Form f = ax^n dargestellt, wobei a ≠ 0 und n eine natürliche Zahl ist. Die Eigenschaften werden für verschiedene Fälle von a und n tabellarisch aufgeführt, einschließlich des Verhaltens bei geraden und ungeraden Exponenten sowie positiven und negativen Koeffizienten.
Definition: Ganzrationale Funktionen oder Polynome n-ten Grades haben die Form f = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0, wobei n eine natürliche Zahl ist und an, ..., a0 reelle Koeffizienten sind, mit an ≠ 0.
Die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen werden ebenfalls erläutert, insbesondere ihr Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs und ihre Symmetrieeigenschaften. Es wird erklärt, dass der Verlauf des Graphen hauptsächlich durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt wird.
Highlight: Bei ganzrationalen Funktionen ist Achsensymmetrie zur y-Achse gegeben, wenn nur gerade Exponenten vorkommen und a0 reell ist. Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn nur ungerade Exponenten vorkommen und a0 = 0 ist.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Julia S
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