App öffnen

Fächer

1.505

28. Dez. 2025

7 Seiten

Zentrale Klausur EF 2016

L

Leonie Isabelle

@leonieisabelle.5

Diese Klausur in Mathematik für die Einführungsphase umfasst verschiedene Bereiche... Mehr anzeigen

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
1 / 7
Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Aufgabe 1: Analysis - Extremwertaufgabe

In dieser Aufgabe untersuchst du eine kubische Funktion auf ihre lokalen Extrema. Die Funktion lautet f(x) = 1/3 x³ - 5x² + 16x - 2.

Um lokale Extremstellen zu finden, musst du die erste Ableitung bilden und gleich Null setzen. Die Ableitung ist f'(x) = x² - 10x + 16. Diese quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren lösen.

Für die Bestimmung, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, wird die zweite Ableitung f''(x) = 2x - 10 an den gefundenen Stellen ausgewertet.

💡 Bei kubischen Funktionen gibt es immer genau zwei Extremstellen - ein lokales Maximum und ein lokales Minimum!

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Aufgabe 2: Stochastik - Glücksspiel "Die wilde 8"

Hier beschäftigst du dich mit einem Zufallsexperiment, bei dem ein Glücksrad mit den Zahlen 0 und 8 zweimal gedreht wird.

Zunächst sollst du ein Baumdiagramm erstellen, das alle möglichen Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten zeigt. Da es bei jedem Drehen zwei Möglichkeiten gibt, hat dein Diagramm insgesamt vier Pfade.

Im zweiten Teil berechnest du die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Summen (0, 8 und 16) und analysierst, ob das Spiel "fair" ist. Ein faires Spiel bedeutet, dass der Erwartungswert des Gewinns 0 ist.

Um die Fairness zu überprüfen, musst du für jedes mögliche Ereignis den Gewinn bzw. Verlust mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und alles addieren. Wenn die Summe 0 ergibt, ist das Spiel fair.

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Aufgabe 3: Analysis - Innermathematische Aufgabe (Teil 1)

Bei dieser Aufgabe arbeitest du mit einer kubischen Funktion f(x) = (1/48)x³ - (3/8)x² + (27/16)x + 1 und ihrem Graphen.

Im ersten Teil sollst du die Geradengleichung s durch zwei gegebene Punkte bestimmen. Dazu berechnest du die Steigung mit der Formel m = y2y1y₂-y₁/x2x1x₂-x₁ und setzt dann die Werte in die Punktsteigungsform y-y₁ = mxx1x-x₁ ein.

Anschließend suchst du nach Stellen, an denen die Tangenten am Graphen von f parallel zur Geraden s sind. Dafür musst du die Ableitung f'(x) bilden und nach Stellen suchen, an denen f'(x) = -3/8 ist (also gleich der Steigung von s).

🔍 Merke: Tangenten haben immer die Steigung der ersten Ableitung an der jeweiligen Stelle!

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Aufgabe 3: Analysis - Innermathematische Aufgabe (Teil 2)

Hier beschäftigst du dich mit einer weiteren Funktion g und ihrer Beziehung zu f.

Du sollst den Graphen von g in die Abbildung einzeichnen und die Transformation identifizieren, durch die der Graph von g aus dem Graphen von f hervorgeht. Dazu vergleichst du die Funktionsgleichungen:

  • f(x) = (1/48)x³ - (3/8)x² + (27/16)x + 1
  • g(x) = (1/48)x³ - (3/16)x² + 13/4

Achte besonders auf die Koeffizienten und wie sich diese unterscheiden. Eine Transformation kann eine Verschiebung, Spiegelung, Streckung oder Stauchung sein.

Im letzten Teil sollst du die Funktionsgleichung von g in einer Form angeben, aus der die Transformation deutlich wird. Dabei kann es hilfreich sein, g(x) als eine Funktion von f(x) darzustellen oder die Transformation direkt in der Funktionsgleichung sichtbar zu machen.

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Aufgabe 3: Analysis - Innermathematische Aufgabe (Teil 3)

In diesem Teil geht es um die graphische Annäherung des Ableitungswertes f'(2) mit Hilfe von Differenzenquotienten.

Du sollst zunächst identifizieren, welche der fünf gezeigten Abbildungen zum Differenzenquotienten f(2)f(0,8)f(2)-f(0,8)/(2-0,8) gehört. Dieser Differenzenquotient ist eine Näherung für die Steigung an der Stelle x=2.

Im zweiten Teil erklärst du die geometrische Bedeutung von f'(2): Es ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x=2. Die Abbildungen 2.1 bis 2.5 zeigen, wie man sich dieser Steigung durch immer genauere Sekanten annähern kann.

💡 Je näher die beiden Punkte für den Differenzenquotienten zusammenrücken, desto besser nähert sich die Sekante der Tangente an!

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Aufgabe 4: Analysis - Sonnenhöhenwinkel (Teil 1)

Diese Aufgabe hat einen praktischen Kontext: Heinz misst in Norwegen den Sonnenhöhenwinkel α zu verschiedenen Uhrzeiten.

Im ersten Teil sollst du aus dem Diagramm in Abbildung 2 ablesen, welchen Sonnenhöhenwinkel Heinz um 7:00 Uhr morgens gemessen hat. Die Uhrzeit 7:00 Uhr entspricht t = -5 in seinem Koordinatensystem.

Anschließend bestimmst du den Zeitraum, in dem der Sonnenhöhenwinkel mindestens 30 Grad beträgt. Dazu suchst du im Diagramm die Schnittpunkte der Kurve mit der horizontalen Linie bei 30 Grad und liest die entsprechenden t-Werte ab.

Das Koordinatensystem zeigt die Messwerte über den gesamten Tag, wobei t = 0 der Uhrzeit 12:00 Uhr mittags entspricht. Du kannst deutlich erkennen, dass die Sonne mittags am höchsten steht.

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Aufgabe 4: Analysis - Sonnenhöhenwinkel (Teil 2)

Heinz modelliert den Sonnenhöhenwinkel mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades: f(t) = 0,0031·t⁴ - 0,671·t² + 36,1.

Du sollst zunächst die Abweichung zwischen dem gemessenen Wert um 7:00 Uhr und dem entsprechenden Funktionswert berechnen. Dazu setzt du t = -5 in die Funktionsgleichung ein und vergleichst mit dem abgelesenen Wert.

Anschließend weist du nach, dass die Sonne auch im Modell um 12:00 Uhr t=0t = 0 ihren höchsten Stand erreicht. Dafür musst du die erste Ableitung f'(t) bilden und zeigen, dass f'(0) = 0 ist und ein Vorzeichenwechsel der Ableitung stattfindet.

Im nächsten Teil interpretierst du die Ungleichung f'(-9) > f'(-2) im Sachzusammenhang. Diese beschreibt, dass die Änderungsrate des Sonnenhöhenwinkels am frühen Morgen größer ist als später.

🌞 Die Ableitung gibt an, wie schnell sich der Sonnenhöhenwinkel zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert!

Abschließend modellierst du den Sonnenhöhenwinkel für einen Tag Ende August mit einer neuen Funktion g und bestimmst passende Parameter für den Ansatz g(t) = a·f(b·t).



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Beliebteste Inhalte: Kritische Punkte

Beliebteste Inhalte in Mathe

Beliebteste Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

 

Mathe

1.505

28. Dez. 2025

7 Seiten

Zentrale Klausur EF 2016

L

Leonie Isabelle

@leonieisabelle.5

Diese Klausur in Mathematik für die Einführungsphase umfasst verschiedene Bereiche der Analysis und Stochastik. Du wirst sowohl hilfsmittelfreie Aufgaben als auch solche mit Taschenrechner oder CAS bearbeiten. Die Themen reichen von der Untersuchung von Funktionen bis zu Wahrscheinlichkeitsberechnungen und Anwendungsaufgaben.

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Aufgabe 1: Analysis - Extremwertaufgabe

In dieser Aufgabe untersuchst du eine kubische Funktion auf ihre lokalen Extrema. Die Funktion lautet f(x) = 1/3 x³ - 5x² + 16x - 2.

Um lokale Extremstellen zu finden, musst du die erste Ableitung bilden und gleich Null setzen. Die Ableitung ist f'(x) = x² - 10x + 16. Diese quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren lösen.

Für die Bestimmung, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, wird die zweite Ableitung f''(x) = 2x - 10 an den gefundenen Stellen ausgewertet.

💡 Bei kubischen Funktionen gibt es immer genau zwei Extremstellen - ein lokales Maximum und ein lokales Minimum!

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Aufgabe 2: Stochastik - Glücksspiel "Die wilde 8"

Hier beschäftigst du dich mit einem Zufallsexperiment, bei dem ein Glücksrad mit den Zahlen 0 und 8 zweimal gedreht wird.

Zunächst sollst du ein Baumdiagramm erstellen, das alle möglichen Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten zeigt. Da es bei jedem Drehen zwei Möglichkeiten gibt, hat dein Diagramm insgesamt vier Pfade.

Im zweiten Teil berechnest du die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Summen (0, 8 und 16) und analysierst, ob das Spiel "fair" ist. Ein faires Spiel bedeutet, dass der Erwartungswert des Gewinns 0 ist.

Um die Fairness zu überprüfen, musst du für jedes mögliche Ereignis den Gewinn bzw. Verlust mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und alles addieren. Wenn die Summe 0 ergibt, ist das Spiel fair.

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Aufgabe 3: Analysis - Innermathematische Aufgabe (Teil 1)

Bei dieser Aufgabe arbeitest du mit einer kubischen Funktion f(x) = (1/48)x³ - (3/8)x² + (27/16)x + 1 und ihrem Graphen.

Im ersten Teil sollst du die Geradengleichung s durch zwei gegebene Punkte bestimmen. Dazu berechnest du die Steigung mit der Formel m = y2y1y₂-y₁/x2x1x₂-x₁ und setzt dann die Werte in die Punktsteigungsform y-y₁ = mxx1x-x₁ ein.

Anschließend suchst du nach Stellen, an denen die Tangenten am Graphen von f parallel zur Geraden s sind. Dafür musst du die Ableitung f'(x) bilden und nach Stellen suchen, an denen f'(x) = -3/8 ist (also gleich der Steigung von s).

🔍 Merke: Tangenten haben immer die Steigung der ersten Ableitung an der jeweiligen Stelle!

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Aufgabe 3: Analysis - Innermathematische Aufgabe (Teil 2)

Hier beschäftigst du dich mit einer weiteren Funktion g und ihrer Beziehung zu f.

Du sollst den Graphen von g in die Abbildung einzeichnen und die Transformation identifizieren, durch die der Graph von g aus dem Graphen von f hervorgeht. Dazu vergleichst du die Funktionsgleichungen:

  • f(x) = (1/48)x³ - (3/8)x² + (27/16)x + 1
  • g(x) = (1/48)x³ - (3/16)x² + 13/4

Achte besonders auf die Koeffizienten und wie sich diese unterscheiden. Eine Transformation kann eine Verschiebung, Spiegelung, Streckung oder Stauchung sein.

Im letzten Teil sollst du die Funktionsgleichung von g in einer Form angeben, aus der die Transformation deutlich wird. Dabei kann es hilfreich sein, g(x) als eine Funktion von f(x) darzustellen oder die Transformation direkt in der Funktionsgleichung sichtbar zu machen.

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Aufgabe 3: Analysis - Innermathematische Aufgabe (Teil 3)

In diesem Teil geht es um die graphische Annäherung des Ableitungswertes f'(2) mit Hilfe von Differenzenquotienten.

Du sollst zunächst identifizieren, welche der fünf gezeigten Abbildungen zum Differenzenquotienten f(2)f(0,8)f(2)-f(0,8)/(2-0,8) gehört. Dieser Differenzenquotient ist eine Näherung für die Steigung an der Stelle x=2.

Im zweiten Teil erklärst du die geometrische Bedeutung von f'(2): Es ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x=2. Die Abbildungen 2.1 bis 2.5 zeigen, wie man sich dieser Steigung durch immer genauere Sekanten annähern kann.

💡 Je näher die beiden Punkte für den Differenzenquotienten zusammenrücken, desto besser nähert sich die Sekante der Tangente an!

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Aufgabe 4: Analysis - Sonnenhöhenwinkel (Teil 1)

Diese Aufgabe hat einen praktischen Kontext: Heinz misst in Norwegen den Sonnenhöhenwinkel α zu verschiedenen Uhrzeiten.

Im ersten Teil sollst du aus dem Diagramm in Abbildung 2 ablesen, welchen Sonnenhöhenwinkel Heinz um 7:00 Uhr morgens gemessen hat. Die Uhrzeit 7:00 Uhr entspricht t = -5 in seinem Koordinatensystem.

Anschließend bestimmst du den Zeitraum, in dem der Sonnenhöhenwinkel mindestens 30 Grad beträgt. Dazu suchst du im Diagramm die Schnittpunkte der Kurve mit der horizontalen Linie bei 30 Grad und liest die entsprechenden t-Werte ab.

Das Koordinatensystem zeigt die Messwerte über den gesamten Tag, wobei t = 0 der Uhrzeit 12:00 Uhr mittags entspricht. Du kannst deutlich erkennen, dass die Sonne mittags am höchsten steht.

Ministerium für
Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
13
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2016
Mathemat

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Aufgabe 4: Analysis - Sonnenhöhenwinkel (Teil 2)

Heinz modelliert den Sonnenhöhenwinkel mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades: f(t) = 0,0031·t⁴ - 0,671·t² + 36,1.

Du sollst zunächst die Abweichung zwischen dem gemessenen Wert um 7:00 Uhr und dem entsprechenden Funktionswert berechnen. Dazu setzt du t = -5 in die Funktionsgleichung ein und vergleichst mit dem abgelesenen Wert.

Anschließend weist du nach, dass die Sonne auch im Modell um 12:00 Uhr t=0t = 0 ihren höchsten Stand erreicht. Dafür musst du die erste Ableitung f'(t) bilden und zeigen, dass f'(0) = 0 ist und ein Vorzeichenwechsel der Ableitung stattfindet.

Im nächsten Teil interpretierst du die Ungleichung f'(-9) > f'(-2) im Sachzusammenhang. Diese beschreibt, dass die Änderungsrate des Sonnenhöhenwinkels am frühen Morgen größer ist als später.

🌞 Die Ableitung gibt an, wie schnell sich der Sonnenhöhenwinkel zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert!

Abschließend modellierst du den Sonnenhöhenwinkel für einen Tag Ende August mit einer neuen Funktion g und bestimmst passende Parameter für den Ansatz g(t) = a·f(b·t).

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

26

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur
Quiz
Flashcards
Aufsatz

Ähnliche Inhalte

Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen

Dieser Lernzettel behandelt die Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Polstellen, Asymptoten und Grenzwerten. Er bietet eine klare Übersicht über die verschiedenen Typen von gebrochen-rationalen Funktionen und deren Verhalten. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

MatheMathe
12

Kurvendiskussion: Ganzrationale Funktionen

Entdecken Sie die wesentlichen Aspekte der Kurvendiskussion für ganzrationale Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Wendepunkten, die Bestimmung von Extremstellen, das Krümmungsverhalten und die Symmetrie von Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis für Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Verhalten ganzrationaler Funktionen

Dieser Lernzettel behandelt das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen, Symmetrieeigenschaften und die Berechnung von Nullstellen. Zudem werden Methoden zur Aufstellung von Funktionsgleichungen mit und ohne GTR (Graphikrechner) vorgestellt, einschließlich Regression und Matrixverfahren. Ideal für Mathe-Studierende, die sich auf Klausuren vorbereiten.

MatheMathe
11

Funktionen: Eigenschaften & Transformationen

Diese Übersicht behandelt die wesentlichen Eigenschaften von Funktionen, einschließlich Definitionsmenge, Wertemenge, Symmetrie und Nullstellen. Ideal für die Klausur- und Abiturvorbereitung. Enthält auch Informationen zu Transformationen, Tangenten und Sekanten sowie zur Polynomdivision.

MatheMathe
11

Symmetrie und Verhalten von Funktionen

Entdecken Sie die Symmetrie und das Verhalten ganzrationaler Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Achsensymmetrie, Punktsymmetrie, Transformationen von Graphen sowie die Bestimmung von Nullstellen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ein besseres Verständnis für Funktionen und deren Graphen entwickeln möchten.

MatheMathe
10

Analyse gebrochenrationaler Funktionen

Diese Zusammenfassung behandelt die Analyse gebrochenrationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen, Asymptoten und Extremstellen. Erfahren Sie, wie man die Symmetrie und den y-Achsenabschnitt bestimmt und die Kurvendiskussion durchführt. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten.

MatheMathe
13

Beliebteste Inhalte: Kritische Punkte

Beliebteste Inhalte in Mathe

Beliebteste Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user