Zentrale Klausur EF 2016

Aufgabe 1: Analysis - Extremwertaufgabe

In dieser Aufgabe untersuchst du eine kubische Funktion auf ihre lokalen Extrema. Die Funktion lautet f$x$ = 1/3 x³ - 5x² + 16x - 2.

Um lokale Extremstellen zu finden, musst du die erste Ableitung bilden und gleich Null setzen. Die Ableitung ist f'$x$ = x² - 10x + 16. Diese quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren lösen.

Für die Bestimmung, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, wird die zweite Ableitung f''$x$ = 2x - 10 an den gefundenen Stellen ausgewertet.

💡 Bei kubischen Funktionen gibt es immer genau zwei Extremstellen - ein lokales Maximum und ein lokales Minimum!

Aufgabe 2: Stochastik - Glücksspiel "Die wilde 8"

Hier beschäftigst du dich mit einem Zufallsexperiment, bei dem ein Glücksrad mit den Zahlen 0 und 8 zweimal gedreht wird.

Zunächst sollst du ein Baumdiagramm erstellen, das alle möglichen Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten zeigt. Da es bei jedem Drehen zwei Möglichkeiten gibt, hat dein Diagramm insgesamt vier Pfade.

Im zweiten Teil berechnest du die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Summen (0, 8 und 16) und analysierst, ob das Spiel "fair" ist. Ein faires Spiel bedeutet, dass der Erwartungswert des Gewinns 0 ist.

Um die Fairness zu überprüfen, musst du für jedes mögliche Ereignis den Gewinn bzw. Verlust mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und alles addieren. Wenn die Summe 0 ergibt, ist das Spiel fair.

Aufgabe 3: Analysis - Innermathematische Aufgabe (Teil 1)

Bei dieser Aufgabe arbeitest du mit einer kubischen Funktion f$x$ = $1/48$x³ - $3/8$x² + $27/16$x + 1 und ihrem Graphen.

Im ersten Teil sollst du die Geradengleichung s durch zwei gegebene Punkte bestimmen. Dazu berechnest du die Steigung mit der Formel m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$ und setzt dann die Werte in die Punktsteigungsform y-y₁ = m$x-x₁$ ein.

Anschließend suchst du nach Stellen, an denen die Tangenten am Graphen von f parallel zur Geraden s sind. Dafür musst du die Ableitung f'$x$ bilden und nach Stellen suchen, an denen f'$x$ = -3/8 ist (also gleich der Steigung von s).

🔍 Merke: Tangenten haben immer die Steigung der ersten Ableitung an der jeweiligen Stelle!

Aufgabe 3: Analysis - Innermathematische Aufgabe (Teil 2)

Hier beschäftigst du dich mit einer weiteren Funktion g und ihrer Beziehung zu f.

Du sollst den Graphen von g in die Abbildung einzeichnen und die Transformation identifizieren, durch die der Graph von g aus dem Graphen von f hervorgeht. Dazu vergleichst du die Funktionsgleichungen:

• f$x$ = $1/48$x³ - $3/8$x² + $27/16$x + 1
• g$x$ = $1/48$x³ - $3/16$x² + 13/4

Achte besonders auf die Koeffizienten und wie sich diese unterscheiden. Eine Transformation kann eine Verschiebung, Spiegelung, Streckung oder Stauchung sein.

Im letzten Teil sollst du die Funktionsgleichung von g in einer Form angeben, aus der die Transformation deutlich wird. Dabei kann es hilfreich sein, g$x$ als eine Funktion von f$x$ darzustellen oder die Transformation direkt in der Funktionsgleichung sichtbar zu machen.

Aufgabe 3: Analysis - Innermathematische Aufgabe (Teil 3)

In diesem Teil geht es um die graphische Annäherung des Ableitungswertes f'(2) mit Hilfe von Differenzenquotienten.

Du sollst zunächst identifizieren, welche der fünf gezeigten Abbildungen zum Differenzenquotienten $f(2)-f(0,8)$/$2-0,8$ gehört. Dieser Differenzenquotient ist eine Näherung für die Steigung an der Stelle x=2.

Im zweiten Teil erklärst du die geometrische Bedeutung von f'(2): Es ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x=2. Die Abbildungen 2.1 bis 2.5 zeigen, wie man sich dieser Steigung durch immer genauere Sekanten annähern kann.

💡 Je näher die beiden Punkte für den Differenzenquotienten zusammenrücken, desto besser nähert sich die Sekante der Tangente an!

Aufgabe 4: Analysis - Sonnenhöhenwinkel (Teil 1)

Diese Aufgabe hat einen praktischen Kontext: Heinz misst in Norwegen den Sonnenhöhenwinkel α zu verschiedenen Uhrzeiten.

Im ersten Teil sollst du aus dem Diagramm in Abbildung 2 ablesen, welchen Sonnenhöhenwinkel Heinz um 7:00 Uhr morgens gemessen hat. Die Uhrzeit 7:00 Uhr entspricht t = -5 in seinem Koordinatensystem.

Anschließend bestimmst du den Zeitraum, in dem der Sonnenhöhenwinkel mindestens 30 Grad beträgt. Dazu suchst du im Diagramm die Schnittpunkte der Kurve mit der horizontalen Linie bei 30 Grad und liest die entsprechenden t-Werte ab.

Das Koordinatensystem zeigt die Messwerte über den gesamten Tag, wobei t = 0 der Uhrzeit 12:00 Uhr mittags entspricht. Du kannst deutlich erkennen, dass die Sonne mittags am höchsten steht.

Aufgabe 4: Analysis - Sonnenhöhenwinkel (Teil 2)

Heinz modelliert den Sonnenhöhenwinkel mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades: f$t$ = 0,0031·t⁴ - 0,671·t² + 36,1.

Du sollst zunächst die Abweichung zwischen dem gemessenen Wert um 7:00 Uhr und dem entsprechenden Funktionswert berechnen. Dazu setzt du t = -5 in die Funktionsgleichung ein und vergleichst mit dem abgelesenen Wert.

Anschließend weist du nach, dass die Sonne auch im Modell um 12:00 Uhr $t = 0$ ihren höchsten Stand erreicht. Dafür musst du die erste Ableitung f'$t$ bilden und zeigen, dass f'(0) = 0 ist und ein Vorzeichenwechsel der Ableitung stattfindet.

Im nächsten Teil interpretierst du die Ungleichung f'$-9$ > f'$-2$ im Sachzusammenhang. Diese beschreibt, dass die Änderungsrate des Sonnenhöhenwinkels am frühen Morgen größer ist als später.

🌞 Die Ableitung gibt an, wie schnell sich der Sonnenhöhenwinkel zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert!

Abschließend modellierst du den Sonnenhöhenwinkel für einen Tag Ende August mit einer neuen Funktion g und bestimmst passende Parameter für den Ansatz g$t$ = a·f(b·t).