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Eszter
18.12.2025
Mathe
Funktionen und ihre Graphen
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18. Dez. 2025
•
Eszter
@eszter
Funktionen sind überall um dich herum - von der Berechnung... Mehr anzeigen
Eine Funktion ist wie eine Maschine: Du steckst eine Zahl rein (aus dem Definitionsbereich) und bekommst genau eine Zahl raus (den Funktionswert). Jede x-Zahl hat also nur einen y-Wert - das ist das Wichtigste!
Den Definitionsbereich schreibst du mit eckigen und runden Klammern. Eckige Klammern bedeuten "miteingeschlossen", runde Klammern ( ) bedeuten "nicht miteingeschlossen". So ist alle Zahlen von 1 bis 3 inklusive, während ]1,3[ nur die Zahlen zwischen 1 und 3 ohne die Randwerte meint.
Graphen verschieben und strecken ist eigentlich ganz logisch: g(x) = a·f(x) streckt den Graphen in y-Richtung, h(x) = f verschiebt ihn um b nach rechts, und i(x) = f(x) + c schiebt ihn um c nach oben.
💡 Merktipp: Bei f denkst du vielleicht "nach links", aber der Graph wandert nach rechts!
Ganzrationale Funktionen sehen aus wie f(x) = x³ + 2x² + 3x und bestehen nur aus x-Potenzen mit ganzen Zahlen als Exponenten. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
Das Verhalten für x → ∞ hängt nur vom Term mit der höchsten Potenz ab. Bei geraden Exponenten und positivem Koeffizienten geht der Graph nach oben, bei negativem nach unten. Bei ungeraden Exponenten läuft er diagonal - links runter, rechts rauf oder umgekehrt.
Symmetrie erkennst du schnell: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse (wie eine Parabel). Nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung (wie eine Hyperbel). Gemischte Exponenten = meist keine Symmetrie.
💡 Schnellcheck: f(x) = x⁴ - 2x² hat nur gerade Potenzen → achsensymmetrisch!
Nullstellen sind die x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet . Du hast drei Hauptwerkzeuge dafür: die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen, den Satz vom Nullprodukt für faktorisierte Terme und die Substitution für knifflige Fälle.
Bei biquadratischen Gleichungen wie x⁴ - 11x² + 18 = 0 ersetzt du x² durch z. Dann löst du z² - 11z + 18 = 0 mit der Mitternachtsformel und setzt die Ergebnisse wieder zurück.
Linearfaktoren wie verraten dir die Nullstellen sofort: x₁ = 2 und x₂ = -3. Das ist der Satz vom Nullprodukt in Aktion - ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
💡 Praxis-Tipp: Probiere bei ganzrationalen Funktionen erst einfache Werte wie ±1, ±2 aus - oft sind das schon Nullstellen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Eszter
@eszter
Funktionen sind überall um dich herum - von der Berechnung deiner Handyrechnung bis zur Flugbahn eines Basketballs. In diesem Kapitel lernst du, wie Funktionen funktionieren und wie du ihre Graphen manipulieren kannst.
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Eine Funktion ist wie eine Maschine: Du steckst eine Zahl rein (aus dem Definitionsbereich) und bekommst genau eine Zahl raus (den Funktionswert). Jede x-Zahl hat also nur einen y-Wert - das ist das Wichtigste!
Den Definitionsbereich schreibst du mit eckigen und runden Klammern. Eckige Klammern bedeuten "miteingeschlossen", runde Klammern ( ) bedeuten "nicht miteingeschlossen". So ist alle Zahlen von 1 bis 3 inklusive, während ]1,3[ nur die Zahlen zwischen 1 und 3 ohne die Randwerte meint.
Graphen verschieben und strecken ist eigentlich ganz logisch: g(x) = a·f(x) streckt den Graphen in y-Richtung, h(x) = f verschiebt ihn um b nach rechts, und i(x) = f(x) + c schiebt ihn um c nach oben.
💡 Merktipp: Bei f denkst du vielleicht "nach links", aber der Graph wandert nach rechts!
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Ganzrationale Funktionen sehen aus wie f(x) = x³ + 2x² + 3x und bestehen nur aus x-Potenzen mit ganzen Zahlen als Exponenten. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
Das Verhalten für x → ∞ hängt nur vom Term mit der höchsten Potenz ab. Bei geraden Exponenten und positivem Koeffizienten geht der Graph nach oben, bei negativem nach unten. Bei ungeraden Exponenten läuft er diagonal - links runter, rechts rauf oder umgekehrt.
Symmetrie erkennst du schnell: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse (wie eine Parabel). Nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung (wie eine Hyperbel). Gemischte Exponenten = meist keine Symmetrie.
💡 Schnellcheck: f(x) = x⁴ - 2x² hat nur gerade Potenzen → achsensymmetrisch!
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Nullstellen sind die x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet . Du hast drei Hauptwerkzeuge dafür: die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen, den Satz vom Nullprodukt für faktorisierte Terme und die Substitution für knifflige Fälle.
Bei biquadratischen Gleichungen wie x⁴ - 11x² + 18 = 0 ersetzt du x² durch z. Dann löst du z² - 11z + 18 = 0 mit der Mitternachtsformel und setzt die Ergebnisse wieder zurück.
Linearfaktoren wie verraten dir die Nullstellen sofort: x₁ = 2 und x₂ = -3. Das ist der Satz vom Nullprodukt in Aktion - ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
💡 Praxis-Tipp: Probiere bei ganzrationalen Funktionen erst einfache Werte wie ±1, ±2 aus - oft sind das schon Nullstellen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die zentrale Klausur der Einführungsphase 2016 in Mathematik. Die Aufgaben umfassen Themen wie Funktionen, Ableitungen, Stochastik und graphische Transformationen. Studierende lernen, wie man Gleichungen aufstellt, Ableitungen interpretiert und Wahrscheinlichkeiten berechnet. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte.
MatheDiese Übersicht behandelt die wesentlichen Eigenschaften von Funktionen, einschließlich Definitionsmenge, Wertemenge, Symmetrie und Nullstellen. Ideal für die Klausur- und Abiturvorbereitung. Enthält auch Informationen zu Transformationen, Tangenten und Sekanten sowie zur Polynomdivision.
MatheErforschen Sie die charakteristischen Punkte ganzrationaler Funktionen, einschließlich Ableitungen, Extrempunkte, Wendestellen und Extremwertprobleme. Diese umfassende Analyse bietet Einblicke in Funktionenscharen und deren Ortskurven. Ideal für Studierende, die sich auf Kurvendiskussionen vorbereiten.
MatheErforschen Sie die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, einschließlich Grenzwerten, Symmetrie und Verhalten bei Unendlichkeit. Diese Zusammenfassung bietet einen klaren Überblick über gerade und ungerade Exponenten sowie deren Auswirkungen auf die Funktionseigenschaften. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Polstellen, Asymptoten und Grenzwerten. Er bietet eine klare Übersicht über die verschiedenen Typen von gebrochen-rationalen Funktionen und deren Verhalten. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Analyse gebrochenrationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen, Asymptoten und Extremstellen. Erfahren Sie, wie man die Symmetrie und den y-Achsenabschnitt bestimmt und die Kurvendiskussion durchführt. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Marcus B
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