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Grenzwerte und Asymptoten von Funktionen

vertikale Asymptote

MatheMathe417 aufrufe·Aktualisiert Jun 10, 2026·2 Seiten

Verstehen gebrochenrationaler Funktionen

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Magdalena@mgd.leni

Gebrochenrationale Funktionen sind Brüche aus zwei ganzrationalen Funktionen - und... Mehr anzeigen

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IV. Allgemeine Grundlagen GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ ◆ Funktion $f$ ist der Quotient zweier ganzrationaler F

Grundlagen gebrochenrationaler Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen sind einfach Brüche, bei denen sowohl Zähler als auch Nenner Polynome sind: f(x) = u(x)/v(x). Der Trick ist, dass der Nenner nie null werden darf - sonst würdest du durch null teilen!

Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen außer den Nullstellen des Nenners. Wenn der Nenner v(x) = 0 wird, hast du eine Definitionslücke. Falls diese Stelle nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, nennt man sie Polstelle.

Nullstellen findest du, indem du den Zähler gleich null setzt: u(x) = 0. Für die Ableitung verwendest du die Quotientenregel: f'(x) = u′v−uv′u'v - uv'/v².

Merke dir: Polstellen entstehen nur da, wo der Nenner null wird, aber der Zähler nicht!

An Polstellen entstehen senkrechte Asymptoten mit der Gleichung x = x₀. Je nachdem, ob die Polstelle gerader oder ungerader Ordnung ist, verhalten sich die Grenzwerte unterschiedlich - bei ungerader Ordnung haben sie verschiedene Vorzeichen, bei gerader Ordnung das gleiche.

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IV. Allgemeine Grundlagen GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ ◆ Funktion $f$ ist der Quotient zweier ganzrationaler F

Asymptoten und Grenzverhalten

Das Verhalten an Polstellen zeigen die Beispiele gut: Bei f(x) = 1/1+x1+x² ist x = -1 eine gerade Polstelle. Egal von welcher Seite du dich näherst, die Funktionswerte streben gegen +∞ oderbeinegativemVorzeichengegen−∞oder bei negativem Vorzeichen gegen -∞.

Waagerechte Asymptoten hängen vom Verhältnis der Polynomgrade ab. Vergleiche einfach den Grad des Zählers (z) mit dem Grad des Nenners (n):

Bei z < n (Zählergrad kleiner): Die Funktion nähert sich der x-Achse an, also y = 0. Bei z = n (gleiche Grade): Die waagerechte Asymptote liegt bei y = a/b, wobei a und b die führenden Koeffizienten sind. Bei z > n (Zählergrad größer): Keine waagerechte Asymptote - die Funktion strebt gegen ±∞.

Tipp: Schau dir immer zuerst die Grade an - das verrät dir sofort das Verhalten für große x-Werte!

Die drei Beispiele zeigen das perfekt: f(x) = x+1x+1/x−1x-1² hat Grad 1 < 2, also y = 0 als Asymptote. Bei f(x) = x+1x+1/x−1x-1 sind beide Grade gleich 1, also ist y = 1 die Asymptote.

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin

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Gebrochenrationale Funktionen sind Brüche aus zwei ganzrationalen Funktionen - und sie verhalten sich oft ziemlich wild! Diese Funktionen haben besondere Eigenschaften wie Polstellen und Asymptoten, die du verstehen musst, um sie richtig zu analysieren.

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Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen außer den Nullstellen des Nenners. Wenn der Nenner v(x) = 0 wird, hast du eine Definitionslücke. Falls diese Stelle nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, nennt man sie Polstelle.

Nullstellen findest du, indem du den Zähler gleich null setzt: u(x) = 0. Für die Ableitung verwendest du die Quotientenregel: f'(x) = u′v−uv′u'v - uv'/v².

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Asymptoten und Grenzverhalten

Das Verhalten an Polstellen zeigen die Beispiele gut: Bei f(x) = 1/1+x1+x² ist x = -1 eine gerade Polstelle. Egal von welcher Seite du dich näherst, die Funktionswerte streben gegen +∞ oderbeinegativemVorzeichengegen−∞oder bei negativem Vorzeichen gegen -∞.

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Bei z < n (Zählergrad kleiner): Die Funktion nähert sich der x-Achse an, also y = 0. Bei z = n (gleiche Grade): Die waagerechte Asymptote liegt bei y = a/b, wobei a und b die führenden Koeffizienten sind. Bei z > n (Zählergrad größer): Keine waagerechte Asymptote - die Funktion strebt gegen ±∞.

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

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