Gebrochenrationale Funktionen sind Brüche aus zwei ganzrationalen Funktionen - und...
Mathe419 aufrufe·Aktualisiert 9. Sept. 2026·2 SeitenVerstehen gebrochenrationaler Funktionen
Magdalena@mgd.leni
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Grundlagen gebrochenrationaler Funktionen
Gebrochenrationale Funktionen sind einfach Brüche, bei denen sowohl Zähler als auch Nenner Polynome sind: f = u/v. Der Trick ist, dass der Nenner nie null werden darf - sonst würdest du durch null teilen!
Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen außer den Nullstellen des Nenners. Wenn der Nenner v = 0 wird, hast du eine Definitionslücke. Falls diese Stelle nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, nennt man sie Polstelle.
Nullstellen findest du, indem du den Zähler gleich null setzt: u = 0. Für die Ableitung verwendest du die Quotientenregel: f' = /v².
Merke dir: Polstellen entstehen nur da, wo der Nenner null wird, aber der Zähler nicht!
An Polstellen entstehen senkrechte Asymptoten mit der Gleichung x = x₀. Je nachdem, ob die Polstelle gerader oder ungerader Ordnung ist, verhalten sich die Grenzwerte unterschiedlich - bei ungerader Ordnung haben sie verschiedene Vorzeichen, bei gerader Ordnung das gleiche.
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Asymptoten und Grenzverhalten
Das Verhalten an Polstellen zeigen die Beispiele gut: Bei f = 1/² ist x = -1 eine gerade Polstelle. Egal von welcher Seite du dich näherst, die Funktionswerte streben gegen +∞ (oder bei negativem Vorzeichen gegen -∞).
Waagerechte Asymptoten hängen vom Verhältnis der Polynomgrade ab. Vergleiche einfach den Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners :
Bei z < n (Zählergrad kleiner): Die Funktion nähert sich der x-Achse an, also y = 0. Bei z = n (gleiche Grade): Die waagerechte Asymptote liegt bei y = a/b, wobei a und b die führenden Koeffizienten sind. Bei z > n (Zählergrad größer): Keine waagerechte Asymptote - die Funktion strebt gegen ±∞.
Tipp: Schau dir immer zuerst die Grade an - das verrät dir sofort das Verhalten für große x-Werte!
Die drei Beispiele zeigen das perfekt: f = /² hat Grad 1 < 2, also y = 0 als Asymptote. Bei f = / sind beide Grade gleich 1, also ist y = 1 die Asymptote.
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Gebrochenrationale Funktionen sind Brüche aus zwei ganzrationalen Funktionen - und sie verhalten sich oft ziemlich wild! Diese Funktionen haben besondere Eigenschaften wie Polstellen und Asymptoten, die du verstehen musst, um sie richtig zu analysieren.
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Gebrochenrationale Funktionen sind einfach Brüche, bei denen sowohl Zähler als auch Nenner Polynome sind: f = u/v. Der Trick ist, dass der Nenner nie null werden darf - sonst würdest du durch null teilen!
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Nullstellen findest du, indem du den Zähler gleich null setzt: u = 0. Für die Ableitung verwendest du die Quotientenregel: f' = /v².
Merke dir: Polstellen entstehen nur da, wo der Nenner null wird, aber der Zähler nicht!
An Polstellen entstehen senkrechte Asymptoten mit der Gleichung x = x₀. Je nachdem, ob die Polstelle gerader oder ungerader Ordnung ist, verhalten sich die Grenzwerte unterschiedlich - bei ungerader Ordnung haben sie verschiedene Vorzeichen, bei gerader Ordnung das gleiche.
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Asymptoten und Grenzverhalten
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