Grundlagen gebrochenrationaler Funktionen
Gebrochenrationale Funktionen sind einfach Brüche, bei denen sowohl Zähler als auch Nenner Polynome sind: f = u/v. Der Trick ist, dass der Nenner nie null werden darf - sonst würdest du durch null teilen!
Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen außer den Nullstellen des Nenners. Wenn der Nenner v = 0 wird, hast du eine Definitionslücke. Falls diese Stelle nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, nennt man sie Polstelle.
Nullstellen findest du, indem du den Zähler gleich null setzt: u = 0. Für die Ableitung verwendest du die Quotientenregel: f' = /v².
Merke dir: Polstellen entstehen nur da, wo der Nenner null wird, aber der Zähler nicht!
An Polstellen entstehen senkrechte Asymptoten mit der Gleichung x = x₀. Je nachdem, ob die Polstelle gerader oder ungerader Ordnung ist, verhalten sich die Grenzwerte unterschiedlich - bei ungerader Ordnung haben sie verschiedene Vorzeichen, bei gerader Ordnung das gleiche.
