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Annika💻
3.12.2025
Mathe
Potenzfunktionen
2.135
•
3. Dez. 2025
•
Annika💻
@annika24
Potenzfunktionen sind ein wichtiges Kapitel der Mathematik, das dir hilft,... Mehr anzeigen
Bei Potenzfunktionen kannst du anhand der Exponenten direkt die Symmetrieeigenschaften erkennen. Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse . Funktionen mit nur ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung .
Der Globalverlauf einer ganzrationalen Funktion wird hauptsächlich durch ihre höchste Potenz bestimmt. Das bedeutet: Eine Funktion wie f(x) = x³ - 3x verhält sich im Unendlichen wie g(x) = x³. Dies vereinfacht die Analyse des Verhaltens bei großen x-Werten erheblich.
Die Graphen von Potenzfunktionen unterscheiden sich je nach Exponent deutlich. Gerade Exponenten erzeugen parabelähnliche Formen, während ungerade Exponenten andere Verläufe zeigen.
💡 Merkhilfe: Um schnell zu wissen, wie sich eine komplizierte Potenzfunktion für große Zahlen verhält, schaue dir einfach den Term mit dem höchsten Exponenten an - der Rest wird unwichtig!
Potenzfunktionen unterscheiden sich in ihren Definitionsbereichen je nach Art ihrer Exponenten. Funktionen mit positiven Exponenten (egal ob gerade oder ungerade) haben D = ℝ, während bei negativen Exponenten die Null ausgeschlossen ist .
Die Wertebereiche variieren ebenfalls: Bei ungeraden Exponenten mit positiven Koeffizienten ist W = ℝ, bei geraden Exponenten mit positiven Koeffizienten ist W = ℝ⁺₀ .
Nullstellen sind entscheidend für die Analyse von Potenzfunktionen. Eine wichtige Technik zur Nullstellenberechnung ist das Ausklammern der Variablen. Bei a(x) = x³-8x²+16x kannst du x ausklammern: a(x) = x, wodurch sich sofort die erste Nullstelle x₁ = 0 ergibt.
⚠️ Wichtig: Bei Funktionen mit negativen Exponenten gehört die Null nie zum Definitionsbereich, da Division durch Null nicht definiert ist!
Es gibt verschiedene Methoden, um Nullstellen zu finden. Besonders einfach ist das Ablesen der Nullstellen bei faktorisierter Darstellung. Bei einer Funktion wie c(x) = ² kannst du die Nullstellen direkt ablesen, indem du jeden Faktor = 0 setzt.
Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Daher ergeben sich die Nullstellen x₁ = 2, x₂ = -5 und x₃ = 49 (diese ist eine doppelte Nullstelle wegen des Exponenten 2).
Bei komplizierteren Funktionen hilft manchmal die Substitution. Für b(x) = x⁴-7x²+12 kannst du z = x² setzen und erhältst die quadratische Gleichung z²-7z+12 = 0. Nach dem Lösen und Rücksubstituieren erhältst du die vier Nullstellen x₁ = 2, x₂ = -2, x₃ = √3 und x₄ = -√3.
💡 Tipp: Wenn du eine Funktion in Linearfaktoren zerlegen kannst, kannst du nicht nur die Nullstellen sofort ablesen, sondern auch das Verhalten des Graphen an diesen Stellen besser verstehen!
Bei einer Funktion g(x) = a·f+e, die aus einer Potenzfunktion f(x) = xⁿ abgeleitet wird, entstehen charakteristische Veränderungen des Graphen. Der Parameter a bewirkt eine Streckung oder Stauchung in y-Richtung . Die Verschiebung erfolgt um d Einheiten in x-Richtung und um e Einheiten in y-Richtung.
Potenzfunktionen zeigen bestimmte Monotonie-Eigenschaften. Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂). Sie ist streng monoton fallend, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) > f(x₂).
Eine monoton wachsende Funktion kann auch konstante Abschnitte haben, bei denen f(x₁) = f(x₂) gilt. Die strenge Monotonie erlaubt solche konstanten Abschnitte nicht.
🔍 Interessant: Wenn du die Transformationsregeln verstehst, kannst du kompliziert aussehende Funktionsgraphen schnell zeichnen, indem du vom Grundgraphen der Potenzfunktion ausgehst und diesen schrittweise veränderst!
Eine ganzrationale Funktion hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀. Der höchste auftretende Exponent n mit aₙ ≠ 0 wird als Grad der Funktion bezeichnet. Die Zahlen a₀ bis aₙ sind die Koeffizienten der Funktion.
Bei der Beispielfunktion v(x) = 4x⁵-80x⁴+400x+5 sind die Koeffizienten a₀ = 5, a₁ = 400, a₄ = -80 und a₅ = 4. Der Grad dieser Funktion ist 5, weil dies der höchste Exponent mit einem nicht-null Koeffizienten ist.
Der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt viele ihrer Eigenschaften, wie die maximale Anzahl an Nullstellen, das Verhalten im Unendlichen und die Form des Graphen.
💡 Praxistipp: Der Grad einer Funktion verrät dir sofort, wie viele Nullstellen sie maximal haben kann. Eine Funktion vom Grad n kann höchstens n Nullstellen haben!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hans T
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@annika24
Potenzfunktionen sind ein wichtiges Kapitel der Mathematik, das dir hilft, komplexere Funktionen zu verstehen und zu analysieren. Sie bilden die Grundlage für viele Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik. In dieser Zusammenfassung lernst du die wichtigsten Eigenschaften und Methoden für den... Mehr anzeigen
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Bei Potenzfunktionen kannst du anhand der Exponenten direkt die Symmetrieeigenschaften erkennen. Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse . Funktionen mit nur ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung .
Der Globalverlauf einer ganzrationalen Funktion wird hauptsächlich durch ihre höchste Potenz bestimmt. Das bedeutet: Eine Funktion wie f(x) = x³ - 3x verhält sich im Unendlichen wie g(x) = x³. Dies vereinfacht die Analyse des Verhaltens bei großen x-Werten erheblich.
Die Graphen von Potenzfunktionen unterscheiden sich je nach Exponent deutlich. Gerade Exponenten erzeugen parabelähnliche Formen, während ungerade Exponenten andere Verläufe zeigen.
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Potenzfunktionen unterscheiden sich in ihren Definitionsbereichen je nach Art ihrer Exponenten. Funktionen mit positiven Exponenten (egal ob gerade oder ungerade) haben D = ℝ, während bei negativen Exponenten die Null ausgeschlossen ist .
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Nullstellen sind entscheidend für die Analyse von Potenzfunktionen. Eine wichtige Technik zur Nullstellenberechnung ist das Ausklammern der Variablen. Bei a(x) = x³-8x²+16x kannst du x ausklammern: a(x) = x, wodurch sich sofort die erste Nullstelle x₁ = 0 ergibt.
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Es gibt verschiedene Methoden, um Nullstellen zu finden. Besonders einfach ist das Ablesen der Nullstellen bei faktorisierter Darstellung. Bei einer Funktion wie c(x) = ² kannst du die Nullstellen direkt ablesen, indem du jeden Faktor = 0 setzt.
Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Daher ergeben sich die Nullstellen x₁ = 2, x₂ = -5 und x₃ = 49 (diese ist eine doppelte Nullstelle wegen des Exponenten 2).
Bei komplizierteren Funktionen hilft manchmal die Substitution. Für b(x) = x⁴-7x²+12 kannst du z = x² setzen und erhältst die quadratische Gleichung z²-7z+12 = 0. Nach dem Lösen und Rücksubstituieren erhältst du die vier Nullstellen x₁ = 2, x₂ = -2, x₃ = √3 und x₄ = -√3.
💡 Tipp: Wenn du eine Funktion in Linearfaktoren zerlegen kannst, kannst du nicht nur die Nullstellen sofort ablesen, sondern auch das Verhalten des Graphen an diesen Stellen besser verstehen!
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Bei einer Funktion g(x) = a·f+e, die aus einer Potenzfunktion f(x) = xⁿ abgeleitet wird, entstehen charakteristische Veränderungen des Graphen. Der Parameter a bewirkt eine Streckung oder Stauchung in y-Richtung . Die Verschiebung erfolgt um d Einheiten in x-Richtung und um e Einheiten in y-Richtung.
Potenzfunktionen zeigen bestimmte Monotonie-Eigenschaften. Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂). Sie ist streng monoton fallend, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) > f(x₂).
Eine monoton wachsende Funktion kann auch konstante Abschnitte haben, bei denen f(x₁) = f(x₂) gilt. Die strenge Monotonie erlaubt solche konstanten Abschnitte nicht.
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Eine ganzrationale Funktion hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀. Der höchste auftretende Exponent n mit aₙ ≠ 0 wird als Grad der Funktion bezeichnet. Die Zahlen a₀ bis aₙ sind die Koeffizienten der Funktion.
Bei der Beispielfunktion v(x) = 4x⁵-80x⁴+400x+5 sind die Koeffizienten a₀ = 5, a₁ = 400, a₄ = -80 und a₅ = 4. Der Grad dieser Funktion ist 5, weil dies der höchste Exponent mit einem nicht-null Koeffizienten ist.
Der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt viele ihrer Eigenschaften, wie die maximale Anzahl an Nullstellen, das Verhalten im Unendlichen und die Form des Graphen.
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Dieser Lernzettel behandelt die Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Polstellen, Asymptoten und Grenzwerten. Er bietet eine klare Übersicht über die verschiedenen Typen von gebrochen-rationalen Funktionen und deren Verhalten. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
iOS user
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Lena M
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Timo S
iOS user
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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