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Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

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15. März 2021

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Entdecke die Welt der Funktionsscharen und Ortskurven mit GeoGebra!

L

Lilly

@lilly.sche

Funktionsscharen und Ortskurven sind wichtige Konzepte in der Mathematik. Sie... Mehr anzeigen

Funktionscharen Funktionen mit Parametern Enthalt ein Funktionsterm außer der Variablen x noch einen Parameter a, so jedem a eine Funktion f

Gemeinsame Punkte und Analyse von Funktionsscharen

Die Untersuchung gemeinsamer Punkte ist ein wesentlicher Aspekt bei der Analyse von Funktionsscharen. Manchmal verlaufen alle Graphen einer Funktionsschar durch einen oder mehrere gemeinsame Punkte. An diesen Stellen hängt der Funktionswert nicht vom Parameter ab.

Um mögliche gemeinsame Punkte zu finden, wählt man zwei unterschiedliche Terme a₁ und a₂ für den Parameter und prüft, ob die Gleichung fa₁xx = fa₂xx eine Lösung besitzt, die unabhängig vom Parameter ist.

Example: Für die Funktionsschar faxx = x³ - ax² - x + a ergibt die Analyse, dass alle Graphen durch die Punkte S₁1∣01|0 und S₂−1∣0-1|0 verlaufen.

Der Prozess zur Bestimmung gemeinsamer Punkte umfasst folgende Schritte:

  1. Gleichsetzen der Funktionswerte für zwei beliebige Parameter a₁ und a₂.
  2. Auflösen der Gleichung nach x.
  3. Überprüfen, ob die Lösung unabhängig von a₁ und a₂ ist.

Highlight: Die Identifikation gemeinsamer Punkte ermöglicht es, invariante Eigenschaften einer Funktionsschar zu erkennen.

Diese Methode zur Bestimmung gemeinsamer Punkte einer Funktionsschar ist ein wichtiges Werkzeug in der Funktionsanalyse und findet Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Vocabulary: Gemeinsame Punkte - Punkte, durch die alle Graphen einer Funktionsschar verlaufen.

Die Analyse von Funktionsscharen, einschließlich der Bestimmung von Ortskurven und gemeinsamen Punkten, ist ein fundamentales Konzept in der höheren Mathematik und bietet wertvolle Einblicke in das Verhalten von Funktionsfamilien.

Funktionscharen Funktionen mit Parametern Enthalt ein Funktionsterm außer der Variablen x noch einen Parameter a, so jedem a eine Funktion f

Funktionsscharen und Parameter

Funktionsscharen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik, das es ermöglicht, eine Familie von Funktionen zu betrachten, die durch einen Parameter a definiert werden. Jeder Wert des Parameters a erzeugt eine spezifische Funktion fa, die jedem x einen Funktionswert faxx zuordnet. Diese Gruppe von Funktionen bildet eine Funktionenschar.

Bei der Untersuchung von Funktionsscharen werden die charakteristischen Punkte der Graphen analysiert, deren Koordinaten oft vom Parameter abhängen. Für die Berechnung dieser Punkte wird der Parameter wie eine Zahl behandelt.

Definition: Eine Funktionsschar ist eine Gruppe von Funktionen, die durch einen gemeinsamen Parameter definiert werden.

Example: Für die Funktionsschar faxx = 1/2 x³ - x² mita≠0mit a ≠ 0 gilt für die Tiefpunkte Ta2a∣−(4/32a|-(4/3a²).

Die Ortskurve oder Ortslinie ist ein wichtiges Konzept bei der Analyse von Funktionsscharen. Sie beschreibt den Verlauf charakteristischer Punkte, wenn der Parameter a alle zulässigen Werte durchläuft.

Highlight: Die Ortskurve ermöglicht es, den Verlauf charakteristischer Punkte einer Funktionsschar visuell darzustellen.

Um die Ortskurve zu bestimmen, werden die Koordinaten der charakteristischen Punkte in Abhängigkeit vom Parameter ausgedrückt und dann der Parameter eliminiert. Im gegebenen Beispiel ergibt sich für die Tiefpunkte die Ortskurve gxx = -x²/2.

Vocabulary: Ortskurve - Eine Kurve, die den Verlauf charakteristischer Punkte einer Funktionsschar bei Variation des Parameters beschreibt.



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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Funktionsscharen und Ortskurven sind wichtige Konzepte in der Mathematik. Sie ermöglichen die Analyse von Funktionsfamilien und deren charakteristischen Punkten. Funktionsscharen bestehen aus Funktionen mit einem Parameter, während Ortskurvendie Bewegung bestimmter Punkte dieser Funktionen beschreiben. Die Untersuchung gemeinsamer Punkte und... Mehr anzeigen

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Gemeinsame Punkte und Analyse von Funktionsscharen

Die Untersuchung gemeinsamer Punkte ist ein wesentlicher Aspekt bei der Analyse von Funktionsscharen. Manchmal verlaufen alle Graphen einer Funktionsschar durch einen oder mehrere gemeinsame Punkte. An diesen Stellen hängt der Funktionswert nicht vom Parameter ab.

Um mögliche gemeinsame Punkte zu finden, wählt man zwei unterschiedliche Terme a₁ und a₂ für den Parameter und prüft, ob die Gleichung fa₁xx = fa₂xx eine Lösung besitzt, die unabhängig vom Parameter ist.

Example: Für die Funktionsschar faxx = x³ - ax² - x + a ergibt die Analyse, dass alle Graphen durch die Punkte S₁1∣01|0 und S₂−1∣0-1|0 verlaufen.

Der Prozess zur Bestimmung gemeinsamer Punkte umfasst folgende Schritte:

  1. Gleichsetzen der Funktionswerte für zwei beliebige Parameter a₁ und a₂.
  2. Auflösen der Gleichung nach x.
  3. Überprüfen, ob die Lösung unabhängig von a₁ und a₂ ist.

Highlight: Die Identifikation gemeinsamer Punkte ermöglicht es, invariante Eigenschaften einer Funktionsschar zu erkennen.

Diese Methode zur Bestimmung gemeinsamer Punkte einer Funktionsschar ist ein wichtiges Werkzeug in der Funktionsanalyse und findet Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Vocabulary: Gemeinsame Punkte - Punkte, durch die alle Graphen einer Funktionsschar verlaufen.

Die Analyse von Funktionsscharen, einschließlich der Bestimmung von Ortskurven und gemeinsamen Punkten, ist ein fundamentales Konzept in der höheren Mathematik und bietet wertvolle Einblicke in das Verhalten von Funktionsfamilien.

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Funktionsscharen und Parameter

Funktionsscharen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik, das es ermöglicht, eine Familie von Funktionen zu betrachten, die durch einen Parameter a definiert werden. Jeder Wert des Parameters a erzeugt eine spezifische Funktion fa, die jedem x einen Funktionswert faxx zuordnet. Diese Gruppe von Funktionen bildet eine Funktionenschar.

Bei der Untersuchung von Funktionsscharen werden die charakteristischen Punkte der Graphen analysiert, deren Koordinaten oft vom Parameter abhängen. Für die Berechnung dieser Punkte wird der Parameter wie eine Zahl behandelt.

Definition: Eine Funktionsschar ist eine Gruppe von Funktionen, die durch einen gemeinsamen Parameter definiert werden.

Example: Für die Funktionsschar faxx = 1/2 x³ - x² mita≠0mit a ≠ 0 gilt für die Tiefpunkte Ta2a∣−(4/32a|-(4/3a²).

Die Ortskurve oder Ortslinie ist ein wichtiges Konzept bei der Analyse von Funktionsscharen. Sie beschreibt den Verlauf charakteristischer Punkte, wenn der Parameter a alle zulässigen Werte durchläuft.

Highlight: Die Ortskurve ermöglicht es, den Verlauf charakteristischer Punkte einer Funktionsschar visuell darzustellen.

Um die Ortskurve zu bestimmen, werden die Koordinaten der charakteristischen Punkte in Abhängigkeit vom Parameter ausgedrückt und dann der Parameter eliminiert. Im gegebenen Beispiel ergibt sich für die Tiefpunkte die Ortskurve gxx = -x²/2.

Vocabulary: Ortskurve - Eine Kurve, die den Verlauf charakteristischer Punkte einer Funktionsschar bei Variation des Parameters beschreibt.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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