Funktionsscharen und Parameter
Funktionsscharen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik, das es ermöglicht, eine Familie von Funktionen zu betrachten, die durch einen Parameter a definiert werden. Jeder Wert des Parameters a erzeugt eine spezifische Funktion fa, die jedem x einen Funktionswert fa(x) zuordnet. Diese Gruppe von Funktionen bildet eine Funktionenschar.
Bei der Untersuchung von Funktionsscharen werden die charakteristischen Punkte der Graphen analysiert, deren Koordinaten oft vom Parameter abhängen. Für die Berechnung dieser Punkte wird der Parameter wie eine Zahl behandelt.
Definition: Eine Funktionsschar ist eine Gruppe von Funktionen, die durch einen gemeinsamen Parameter definiert werden.
Example: Für die Funktionsschar fa(x) = 1/2 x³ - x² (mit a ≠ 0) gilt für die Tiefpunkte Ta(2a|-(4/3)a²).
Die Ortskurve oder Ortslinie ist ein wichtiges Konzept bei der Analyse von Funktionsscharen. Sie beschreibt den Verlauf charakteristischer Punkte, wenn der Parameter a alle zulässigen Werte durchläuft.
Highlight: Die Ortskurve ermöglicht es, den Verlauf charakteristischer Punkte einer Funktionsschar visuell darzustellen.
Um die Ortskurve zu bestimmen, werden die Koordinaten der charakteristischen Punkte in Abhängigkeit vom Parameter ausgedrückt und dann der Parameter eliminiert. Im gegebenen Beispiel ergibt sich für die Tiefpunkte die Ortskurve g(x) = -x²/2.
Vocabulary: Ortskurve - Eine Kurve, die den Verlauf charakteristischer Punkte einer Funktionsschar bei Variation des Parameters beschreibt.