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Funktionsscharen

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11/12/13

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Kurvenscharen/Funktionsscharen/ Funktionen mit Parameter - Definition und Beispiele - Untersuchung von Funktionsscharen - Kurvendiskussion einer Funktionsschar (Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte) - Ortskurve

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FUNKTIONSSCHAREN Funktionsscharen Sind Funktionen, die zusätzlich zu der variablen (meistens x) noch einen Parameter enthalten, welcher verschiedene Werte annehmen kann, wo durch verschiedene Funktionen entstehen. Bsp: f(x) = ax² + ax +4 f(x) = a²x-5 3 3 f(x) = kx4-k³x³ + kx Untersuchen von Funktionsscharen → normales Vorgehen → man erhält meistens nullstellen, Extremstellen, wende stellen ect.; die.com Parameter abhängig Sind →wichtig: Fallunterscheidung.: Wenn es für a keine Einschränkung gibt loder, nur": a ‡0). ist es oft nötig zu unterscheiden Zwischen positiven und negativen Werten für den Parameter für a>0 (oder a ER+). →keine Fallunterscheidung, da a nur positiv sein kann. für a#0→Fallunterscheidung, da a positiv und negativ sein kann. Beispiel für eine kurven diskussion einer Funktionsschar f(x) = x³+ax² f(x) = 3x² + 2ax f(x) = 6x +2a f(x) = 6 nullstellen: fa(x)=0 0 = x²³² + ax² 0 = x²(x + a) x₁ = 0 Extrempunkte: f₁(x)=0 für aso f"(x) = 2a > 0 ↳Tiefpunkt als Parameter wird oft a oder k genutzt Xε1=0 XEn und XE₂ in fa" (x) X₁₁: f(x) = 6x + 2a = 6.0+2a = 2a Fallunter- scheidung 0 =3x² + 2ax 1:3 0 = x² + ²ax .0 = x(x + x + a=0 X2=-a für aco f"(x) = -2a <0· a L> Hoch punkt l-a. XEIR; A EIR und a#0 + ²/3a = 0.1-² a XEL = 를 a : XE₂ f(x) = 6x +2a Der Parameter wird wie eine normale Zahl und nicht wie eine Variable behandelt = 6. (-²/a)+2a =-12 -13 ·a+2a = −4a+2a =-2a a>o f(x)=-Za <o L> Hoch punkt aco f"(x) = 2a >o ↳ Tiefpunkt...

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XEn und XE₂ in falx) 3 XE₁: fa(x) x³ +9x² = 0³ +9.0² = =0 für a>o ↳ Tiefpunkt bei T(010). Wendepunkte: fa" (x) =O für aco fa(x) = x²³ +ax² x = 0 = 6x +2a 1-2a 1:6 =-11ª a ·3 x in f(x) · fő (x) = 6 .>0. → Rechts- Links-Wendepunkt. x in fa(x). = (-1/a)²³ + a (-3/a)² L). Hoch plinkt be. H (010) 3 ==2/17 a ²³ + 1/² a ³ 9 =a²³ → Wendepunkt bei (-a | Za³) · Beispiel: f(x) = x³ + ax² 5 x umstellen nach Parameter E YE a = (1 ORTSKURVE Eine Ortskurve ist eine Funktion durch Punkte des Graphen f mit einer besonderen Eigenschaft" (2.Bsp. Extrempunkte, Wendepunkte) || - ²/3 a² 1. (-²) Allgemeine Vorgehensweise: Extremstellen. umstellen nach Parameter und einsetzen in y-Werte der Extrempunkte 2 X 3 XE2ifa (x) einsetzen 4 27 142/12 - (- ²2/2 x ) ³ (-30 (x³) a x³ + ax² =(¯ ¾ a) ²³ + 0· (² a) ² a. = · 1/2a²³² + a² + a² 8. 4 27 Da a 0 ↳ x ±0 +_-4a³ 27 für a>o für aso ↳Tlef punkt be (-3a/4a³). ↳ Hochpunkt be (-{{a/= + (a¹³) a'+ Ausnahme! Ortskurve der Hoch-/ und Tiefpunkte