Integralrechnung & Analysis

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Sie, falls erforderlich, immer auf 3 Nachkommastellen (bzw. bei der Prozentzahl auf eine) Teil 2 (mit GTR) 6.15% Aufgabe Nr.5) In einem Pumpspeicherwerk wird (während einer niedrigen Nachfrage nach Strom) Wasser in das höher gelegene Staubecken gepumpt, wodurch die zum Pumpen eingesetzte elektrische Energie, die man aus dem Stromnetz zuführt, in potentielle Energie des Wassers umgewandelt wird. Bei Bedarf werden dann mit diesem Wasser umgekehrt Generatoren angetrieben, indem man das Wasser vom oberen Becken über die Generatoren in das untere Becken zurückfließen lässt. Dabei wird die potentielle Energie des Wassers in elektrische Energie umgewandelt wird, die man in das Stromnetz zurück speisen kann. a) welche sachverhaltsbezogene Bedeutung haben die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der x-Achse in der nebenstehenden Grafik? b) dokumentiere den Wasserfluss in den angezeigten 24 Stunden und berechne die Wassermengen, die jeweils geflossen sind! 13 6 c) wie viel Wasser muss hier zu Anfang mindestens schon im oberen Becken gewesen sein und? Wie viel Wasser ist nach 24 h mehr im 2 oberen Becken? Aufgabe Nr.6) (10) Ein Fahrtenschreiber hat die Autofahrt in dem stark vereinfachten Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm protokolliert. a) Erkläre, welche Bedeutung der Flächeninhalt in diesem Sachzusammenhang hat! (2) (21 b) Berechne den Flächeninhalt unter dem Graphen in der Zeit von 13-14 Uhr. (Tipp: Schätze in der Zeit von 13.30 -13.50 Uhr die Fläche annäherungsweise ab. Drücke für die Rechnung die Intervalle als Bruchteile einer Stunde aus (₁ pro 10 Minuten) (8) (8) km 4 h 90 80 70 60 50 40- 30+ 20 10 400 000 300000 200000 100000- -100000 -200000 13.00 A₁ Pompe Wasserfluss M Geschwindigkeit 10 হल 13.30 4₂ 15 (10) B30 Turbine mit Generator 20 हैं Uhrzeit oberes Becken unteres Becken 43 74000 Zeit 25 h 6 Jiu Aufgabe Nr.7) a) b) Aufgabe Nr. 8) Erläutere allgemein, aber ausführlich mit Hilfe der Grafik die Grundidee wie man den Flächeninhalt unter dem Graph einer Funktion zunächst annähernd und schließlich exakt bestimmen kann. 3 Stelle den rechnerischen Ansatz auf zur Herleitung der Formel A = b³ zur Berechnung der Fläche unter dem Graph von f(x)=x² auf dem Intervall I = [0;b] und berechne dann mit der Formel die Fläche unter dem Graph von f(x) = x² auf I₁ = [0; 1.5] 1₂ = [2.5;4] a) (4x²-7) dx a) b) c) Aufgabe Nr.9) Berechne das Integral ausführlich mit Hilfe des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung. (benutze den GTR zur Kontrolle) Es sei ICH ERÖFFNE HERMIT DIE MONATLICHE SITZUNG DES CLUBS DER LUGNER HÄGAR DER SCHRECKLICHE VERSTER PUNKT HABT IHR ALLE EURE BEITRAGE GEZAHLT b) (x²+x) dx f(x)=0,25x³-3x²+9x Untersuche fauf Symmetrie, Nullstellen, lokale Extremwerte und Wendestellen. Zeichne den Graphen von f in ein Koordinatensystem. Schraffiere die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt und berechne ihren Flächeninhalt. JA! JAI JA! JA! JA! JA! JA! JA! JA! JAI JA! JA! (21 JA! JA!A c) j (6) (6) (2) HAMM (14) (8) (0/ Gesamt: 96 17 1 (10) (12) (3) (2) (4) (4) ΣTeil 2 = 60 Darstellungsleistung (5) Erwartungshorizont Nr.1) a) x²-14x+49 Nr.2) a) b) c) Nr.3) a) b) (1) (2) f(x)=x² + 14x +49=0→→ (x+7)²-0→N₁2(-7/0) g(x)=3x² - 60x + 300=03(x² - 20x+100) = 03-(x-10)² → N₁2(10/0) h(x)=2x³-50x=0 → 2x (x²-25)=2x-(x-5)(x+5) = 0 → N₁(-5/0) und N₂(0/0) und N₁(5/0) A = 2+0,5+0,5+1+0,5+0,5 = 5 A = 1+1+0,75+0,5 =3,25 f(x) dx = -2,5+2-0,5=-1 und ₂f(x)dx=0,5-0,5+0,5-0,75 +0,5 = 0,25 b) 9x²+6xy+y² 13.50-14 Uhr Nr.4) a) F(x)=x5 d) f(x) = Nr.5) a) Die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse entsprechen der Menge Wasser, die in das obere Becken gepumpt wird (Wasserzufluss), unterhalb der x-Achse entspricht der Flächeninhalt dem Wasser, welches in das untere Becken fließt (Abfluss). b) 0 - 6 Uhr: = 2.400000 m³ Zufluss 020 Uhr: = 2.800000 m³ Abfluss 2024 Uhr: 300000 -.4h = 1.200000 m³ Zufluss h c) 2.800000 m³ - 2.400000 m³ = 400000 m³ müssen mind. Im oberen Becken gewesen sein. Nach 24h sind 2.800000 m³ - 2.400000 m³ + 1200000m³ = 800000 m³ mehr im oberen Becken Nr.6) a) Der Flächeninhalt unter dem Graphen entspricht der gefahrenen Strecke. b) 13-13.30 Uhr 13.30-13.50 Uhr b) On = A = c) (3v-9w)(3v+9w) b) F(x) = x8 8x²2x x4 -1,5 x² + x¹ + x² c) F(x) = = 8x²2x-³ → F(x) = −8x¹ + x² = Jo 400000 m³. -6h h m³ 200000- .. 14h h Zeitspanne: h=h A₁ = /h- 90km = 45 km h Zeitspann: h h A₂ = Zeitspann: h. Ages. = 45 + 25 + 10 = 80km Nr.7) a) Schätze die Fläche unterhalb des Graphen auf dem Intervall [0; b] durch n gleich breite Rechteckstreifen ab: einmal als Untersumme (alle Rechtecke bleibe unterhalb des Graphen A3 = -8 1 + x x² h. und auch als Obersumme, in der die Rechtecke über den Graphen hinaus ragen, so dass 0≥AZU. Erhöhe dann die Genauigkeit durch schmalere Streifen. Bilde dann den Grenzwert für unendlich viele Rechtecke, deren Breite unendlich klein wird. A = lim 0₁ () +; (z$) +…+ ; (ng) 72 72-00 1 x²dx = 1,5³ = 1,125 FE und A = =[x²dx=4²-25¹- N 90+60 km = 25 km 2 h h. 60km 10 km = h == = 16,125 FE. Nr.8) a) b) c) (4x²-7)dx= x³-7x=(-3³-7-3)-0=15 L²(x³ + x) dx = S²₂ (− 3 x³) dx = [- ²x¹1°₂ = 0 − (−· (-²) ¹) = 1 = 5 b) x¹ + x²] =(-2¹+2²)-¹¹+1²) 5 Nr.9) a) - Symmetrie:Es kommen sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vor, so dass sich keine Aussagen über Symmetrie machen lassen. - Schnittstellen mit den Achsen: f(0) = 0, also gilt S, (0/0) - f(x)=0,25x³-3x²+9x-0-0,25x(x²-12x+36)=0-0,25x(x-6)²-0-N₁(0/0), N₂3(6/0) - lokale Extremwerte: notw. Kriterium: f(x)=0,75x²-6x+9=0x²-8x+12=0 →xe1=2 und x2=6 mögliche Extremwerte. Hinreichendes Kriterium: f'(x)= 1,5x-6 f''(2) -3<0→Max(2/8), -Wendepunkte: f''(6)=3>0→Min(6/0) notw.Kr. f'(x)=1,5x-6-0-x-4 mögl.WP hinr. Kr.:f"(x)=1,5/0 für alle x → WP(4/4). N A=27 7 c) (0,25x³ - 3x² + 9x) dx = *+-+*²=27-0-27 Ал Hilfsmittelfreier Teil 1 Aufgabe 1: a) i) (x-7) ² = S Aufgabe 2: a) f(x) = x ² + 14x +49 = 0 f(x) = (x + 7 ) ² ✓ =D $x = -7 ii) (3x + y)² = 9x² + 6xy + y² ✓ (22) ii) 9v²-81w² = (3v - 9w)² = (3v- 3w) (3 v + Sw) 16 S b) g(x) = 3x² - 60 × + 300 > c) h(x) = 2x³-50x X²_144x + 43 x² - 49 f Aufgabe 3: a+c a) (1) A₁ :.h = (4.2 M-710) -3(x² - 20x + 2007 = 3(-x-107² = 2 [(x + 5)(x-5)] A3= = (2) A₂ = a.b = 2.2 2FE = 4 FE 10 3+4·1= 2 12 = 34 FE 2 1.1 2 =0 2 IN FO A₂ = A₂ = = 11 = A₁ + A₂ = 3 1/2 FE + 2 FE = S Der absolute Flächeninhalt beträgt 51 FE. M₁(-$10) #₂ (0/0) 13(5/0) a+c 2 87 = 4 2 ·b = 2 FEV 9+c 2 0,51 .1 SFE .h = 0.25 FE PO (37 в HLAS (45) so. 12 FE V Der absolute Flächeninhalt beträgt 4/3/. FE. f 2 975 A₁+ A₂+ 13 = 4 FE+ 4 Fe + 4 PE = 325 FE = 42 / FE 6) (₁) _{"f(x) dx = A₂ - A₁ = 2 FE - 3²1 FE = -1/2 FE 3 (2) 5" f(x) dx = /A₁ - 4 A₁ - A₂-A3 4 3FE-E 0,25 FE - FE Aufgabe 4: a) f(x) = x ³ = 1,25 FE = 1 F(x) = + x² + c X d) f(x) = 8x²-2x +4 b) f(x) = 8x* F(x) = of so. F(x) = 8 ( 7 x ³) = x³ + c V c) f(x) = 3x5+2x³ + x F(x) = 3 (² x ²) + 2 ( x ) + x ² = (1/2 +²+c) + (1/2 x² + c) +(x² +C) = (² × ³ + ²/2 × ² + x²)+c = 8x² - 2x - ² Mit Salacha Gratis ruilty, weitgard 2010. مال Teil 2 (mit GTR) Aufgabe 51 a) Die Grafik zeigt den Wasserfluss in zu der Zeit in Stunden an. b) A₁ = a.b Die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse zeigen die Wasser- mengen, die in ein höher gelegenes Becleen gepumpt werden, damit L elektrische Energie in potentielle Energie des Wassess umgewandelt werden kann. Dieser Prozess funktioniert auch anders herum: das Wasser, das vom oberen Becken in das untere Becken zurückfließt, wird mit den Flächeninhalten unterhalb der x-Achse keenntlich gemacht. = 400 000 6 = 2.400.000 FE A₂ = a-b = 4 · 300 000 = 1.200.000 FE Jiu U A₂ = a.b m³/h in Abhängigkeit = 14. (- 200 000) = -2.800.000 FE V 1 FE = 1 m²³ = 16 FE FE A₁-A₂+ A₂ = 2400 0001 - 2800 0001 + 1200 000 FE = 800 000 FE In den ersten 6 Stunden sind 400 000 m³/h geflossen, dies entspricht einem Zufluss ins obere Becken von 2400 000 Litern. In den nächsten 14 Stunden gab es einen Zurückfluss von - 200000 pro Stunde, es sind in der Zeit also 2 800 000 L Wasser m3 zurück geflossen. In den letzten vier Stunden sind insgesamt 1200 000 L Wasser V wieder ins obere Becken gepumpt worden. Nach 24 Stunden entspricht dies einem Eufluss von 800 000 L Wasser im oberen Becken. V Im obesen Becleen muss zu Beginn bereits eine Wassermenge von mindestens 400 000 L Wasser gestanden haben, da über die Lungen 14 Stunden 2800 000 L zurückgeflossen sind, obwohl zuvor nur 2400 000! ins obere Becken gepumpt wurden. Nach 24 Stunden befinden sich dementsprechend 400 000 L Wasser mehr im oberen Becken als zu Beginn. 12 Aufgabe 6: a) Der Flächeninhalt zeigt in diesem Sachzusammenhang die Strecke, die während der Autofahrt bei bestimmten Geschwindigkeiten zurückgelegt wird. Durch Einteilung des Flächeninhalts lässt sich er- mitteln wie groß die Strecke was, die bei einer bestimmten Geschwindig- keit zurückgelegt wurde. b) A₁ = a.b = 2.90 km = 190 = 45FE a+c A₂ = att h 2 = 90+75 2 165/ 2 = 134 FE A₂ = a+ch (1 = 1354 2 75+60 1 2 6 6 = 114 FE Ay = a.b 1 = 60.4 = 10 FE = 13,75 V = 11,25 A₁ + A₂ + A₂ + Ay = 45 FE + n L V A FE + 13 ³ / FE + 11 ÷/14 FE + 10 F€ = 80 FE 21 km In der Zeit von 13 bis 14 Uhr wurden 80 km zurückgelegt. t M Aufgabe 7: a Mit Hilfe der Intersumme, die auf der Grafik zu erkennen. ist, ist es den Flächeninhalt unter dem Graph einer Funktion annähernd zu bestimmen. Dafür zeichnet man unter den Graph Rechtecke, dessen Flächeninhalt bestiment werden kann. fruite u Es ist beliebig, wie viele Rechtecke für die Untersumme genutzt In Rechtecken näher werden, allerdings wird das Ergebnis mit am exakten Wert liegen. Dies bedeutet, dass die Untersumme uniso ge- nauer ist, je mehr Rechtecke verwendet und ausgerechnet werden. Eine Untersumme mit n=10 wird nicht so nak an das eigentliche Ergebnis gelangen wie eine Untersumme mit n = 1000. Breite: U Noch nähes kommt man dem exakten Flächeninhalt, wenn man die Hatersumme mit der Obersumme kombiniert. Die Obersumme hat das gleiche Prinzip, lediglich die Rechtecke werden etwas größer gezeichnet und berechnet als der eigentliche Graph der Funktion. Berechnet man den Durchschnitt der Unter- und Obersumone, ist man dem exakten Flächeninhalt sehr nah. Grenzwert forea V b) Aufgabe 8: ●a) 5²³ (4x² - 7) dx = (²³ ( + - ( ² × ³ ) - 7 × ] ²³² = [ 14 x² - 7x] O in GTR = 15 FE A • c) 5° ( - + x³) dx = { [ ²-² ( ² × ¹)] = $° (-=-= ² x 4) - 1 = 0 - (- $ (2)²) = 4 -2 N 6) 5²(x ² ± x) dx = $4x²1x²). 12, = 4.5+ (x²=2x²) 4 [*²= 2 × ² / 2 - 6 ( ( 2² 2.2²) - (18-²2:41ª) ich GTR 1 = 24 FE f 3 (2) in = - - 2,15 FED Du hast in GTR SFO eingegben also di Fax und minst furox (= 5) Aufgabe 9: f(x) = 0,25x³-3 x ² + 9x f'(x) = 0,75x² - 6x + 9 f(x) = 1,5x -6 f(x) = 1,5 t a) Symmetrie Da f(x) sowohl ungerade als auch gerade Exponenten aufweist, lässt sich kein Symmetrieverhalten erkennen. Nullstellen menú 3-3-2 poly Roots (f(x), x) = {0,6,6} x = 0 ×2=6 Lokale Extremwerte notw. Bed. f'(x) = 0 poly Roots (f(x), x) = {2, 6} ex₁ = 2 ex₂ = 6 mögliche Extremstellen f"=1,5-6-6 = 9-6 =+3 200 Min. W₁ = 4 V f(6) = 0,25-6³-3-6² +9.6 Extremstelle bel (610) Wendestellen notw. Bed. f"(x) > 0 poly Roots (f(x), x) = {4} > bestätigte Extremstelle! U v Ls mögl. Wendepunkt V (31 hinr. Bed. f"(x) #0 f"(2)= 1,5-2-6 = 3-6 = -3 0 0 Max. bestätigt! f(2)= 0,25-2³-3-2²+ 9.2 Extremstelle bei (218) (A) (2) f() = 1,50 f(4) = 4 A: Es gibt ein Maximum bei (218) und ein Minimum bei (610). L hinr. Bed. f"(x) #0 Es gibt eine Wendestene bei (414). V Wendestelle bestätigt im GTR P(x) c) Sof(x) dx. = = 27 FE 0 __ 5 F 6 Jill 10 X