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Funktionsscharen

11.11.2022

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WAS IST EINE FUNKTIONSSCHRA
Eine Funktionsschar ist eine Funktion mit einem Parameter k (oder a, b, c usw...).
Sie entsteht, wenn man für Pa
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Eine Funktionsschar ist eine Funktion mit einem Parameter k (oder a, b, c usw...).
Sie entsteht, wenn man für Pa
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Sie entsteht, wenn man für Pa
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Sie entsteht, wenn man für Pa
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Sie entsteht, wenn man für Pa
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Sie entsteht, wenn man für Pa
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WAS IST EINE FUNKTIONSSCHRA Eine Funktionsschar ist eine Funktion mit einem Parameter k (oder a, b, c usw...). Sie entsteht, wenn man für Parameter in einer Funktion verschiedene Werte einsetzt. Daher ist eine Funktionsschar eine Menge verschiedener Kurven. Aus diesem Grund nennt man sie auch Kurvenschar oder Parameterfunktion. Eine mögliche Gleichung ist fk (x) = x² + k. Werden verschiedene Werte für den Parameter k eingesetzt, verändert sich die Funktion: • Sie wird gestrecht (schmaler) → k>/ • Sie wird gestaucht (breiter) ->0<k<1 sie wird verschoben entlang der y-Achse → k>0, k<0 ↓ •Sie wird verschoben entlang der x-Achse → k>0, ↓ nach links Setzt man, Werte erhält man einen Bespiel: also fürk verschiedene Funktionschar fk (x) = x² + k 7 6 S 4 3 4 ^ -^ k= 0,2,4,6 2 3 k=6 k = 4 k=2 k = 0 nach oben 4 nach unten kso ↓ nach rechts Welche Parametergleichung entspricht dieser Gleichungen Gleichungen: f(x)=4x²+2x+2 g(x)=6x³ + 3x + 2 h(x) = 10x³+5x+2 ¡(x) = x³ + 3x+2/ Parametergleichung: fa(x) = 2x³ + ax + 2 MERKE Das Parameter (2.B. k, a. p usw.) wird beim Rechnen mit Funktionsscharen immer wie eine normale Zahl behandelt. Sie ist nicht die Variabel der Funktion! Das ist das x KURVENCISKUSSION fa (x) = x² + ax ²; a ER 1. Definitionsbereich: D=R 2. Symmetrie. Weder y-Achsensymmetrie noch Punktsymmetrie zum Ursprung 3. Nullstellen: x³ + ax²=0 | ausklammern x²(x+a)=0 | Regel vom Nullprodukt \ ✓ x²=0 X412=0 x+a=01-a x₂ = -Q- ↓ doppelte Nullstelle 10 10 mobile Nullstelle hängt vom Scharparameter ab Stationäre Nullstelle hängt nicht vom Scharparameter * Ableitungen! fa (x) = x² + ax ² fa'(x) = 3x² + 2ax f(x) = 6x + 2a fa"(x) = 6 s....

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Extrempunkte 1). Gleichung ableiten: Nr. 4. 2) n.B.: f (x) = 0 3x² + 2ax = 0 | ausklammern x (3x + 2a) = 0 | Regel 1 3x + 2a =0 1-29 3x = -2a 1:3 × =-2ª X 3) h.B.: f(x) = 0 a fa" (x) + 0 fa" (0) = 6.0 + 2a = 2a uom für a=0 h.B. nicht erfüllt für a>0:ist an der Stelle ,0". (x=0) eine Tiefpunkt stelle 4) y-Koordinate: fa (n) = x² + ax ² fa (0) = 0² + a-0² =0 E. (010) für a< 0: ist an der Stelle 0" (x=0) eine Hochpunktstelle fa ² (a) = 6₁ (10) + 2a (- = Nullprodukt 8- = - 12ª + 2a | erweitern · - 1² + - -2a für a=0 h.B. nicht erfällt für a > 0:ist an der Stelle - — — a (x=-a) eine Hochpunktstelle fa (n) = x² + ax ² fa (- 1²) = (- — •)² • a (- — •) ³² - ² + ₁² für a< 0: ist an der Stelle - 1/₁ (x=-) ene Tiefpunkt stelle 22² +² · ₁²³ + 12 a ³ 27 47ª³² E₂ (-ª20¹²) 6. Wendepunkte: 1) Gleichung ableiten: Nr. 4. 2) n.B.: fa" (x) = 0 6x + 2a=01-2a 6x x 2) h.B.: fa" (x) = 0 ^ f = -2a 1:6 -- 2 - 4 (x) = 0 for" ( - ₁1/²³ ) = 6 + 0 ⇒Wendepunkt vorhanden 4) y-Koordinate: fa (x) = x² + ax ² fa(¯ ª) = (-ª)³ + a. (1¹) ² -4ª²+a. Aª² = - = -40²³ + ª² --A²+ 20 W(- 1ª|1/³³) ORTSKURVE Die Ortskurve ist eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Gemeinsamkeit haben. Die Gemeinsamkeiten kann zum Beispiel sein, das sie alle Extrempunkte, Scheitelpunkte oder Wendepunkte der Funktionsschar sind. Ortskurven kann man auch Trägergraphen S-4-3 Wichtig! 2 A A F-^ -2 die von a benötigt → mobiler Punkt. → es werden nennen. In der Abbildung geht die Ortskurve durch alle Scheitelpunkte der Parabeln. (h. c.pusw...) abhängigen Koordinaten A. Ortskurve eines Extrempunktes: E.(-ª|ª³²) X= - ²/²₁ | (-²/² ) y = 2/1/12 ₁²³² a "1 nach ..a auflösen a= - ³1× mobiler Extrempunkt "↳ hängt vom Scharparameter..." einsetzen. y = 2/12 - (- ² x) ³ y = 1/2 (-2² x ²) | kürzen y= ÷ (- x³) y = -√2/1x²³ | kürzen y = - 1x² Ortskurve des Extrempunktes (-릉이 늙²) 2. Ortskurve eines Wendepunktes W( 1ª|1³³) ✓ x=-|-(-3) nach "a auflösen 10 a=-3x mobiler Wendepunkt hängt vom Scharparameter. ab y=1212122²³24 einsetzen, y=-(-3x) ³ y=1/27 - 27x³ . y = 12/17 - (- 2² x ²) y=-542x² y=-2x¹→→→→→ Ortskurve des Wendepunktes W(-4ª|²0²³) GEMEINSAME PUNKTE VON FUNKTIONSSCHAREN → Um Schnittpunkte (also gemeinsame Punkte) von (verschiedenen) Funktionen zu bestimmen, setzt man die Funktionen zunächst gleich →genauso funktioniert es auch mit Funktionsscharen 1. Beispiel: f+ (x) = x² + tx² - 2tx + t 1. Schritt: die Gleichung mit zwei unterschiedlichen Parameter aufschreiben und anschließend beide gleich stellen x² + ax² - 2ax + a = x³ + bx²³ - 2bx+b ; a b 2. nach x auflösen; ist es eine Quadratische Funktion, kann die pq-Formel angewendet werden x² + ax² - 2ax + a = x³ + bx² - 2bx +b |-x³ ax² - 2ax + a = bx² - 2bx-b |-bx² ax²-bx²-2ax +a = -2bx-b | +2bx ax² bx² -2ax + 2bx+a = -b ax²-bx²-2ax +26x + a - b = 0 (a−b)x² + 2x(a+b) + a = b = 0 (a-b)x² - 2x (a−b) + a-b = 0 +² X 412 - 2x + 1 £ ± √ √ (²) ² - × 112 = -²-²/2 ± √√√(-²2) ² - 1 X112 = 1 ± √√√√₁-1 X₁12 = 1 l+b | zusammenfassen Tumschreiben, um leichter weiter zu rechnen 1: (a - b) y. Koordinate: f+ (x) = x³ + tx² - 2tx + t f(1) = 1³ + 1.1² - 2.t.1+t = 1 + t 2t +t = 1-2t +2t SP (^1^) 2. Beispiel: ft (x) = x² - t ·x + 2+ x²- ax + 2a = x²-bx+ 2b 1-x² - ax + 2a = - ax - ax + bx ax - 3 = 4 SP (214) bx + 2b x·(a - b) = -bx + 2b - 2a 1 + bx - • 2a + 2b 1: (-1) bx= 2a 26 I ausklammern 2 (a - b) 1: (a-b). I kürzen 1-2a - y-Koordinate: ft (x) = x² − t·x + 2t ft (2)= 2²-t·2+2-t ft (2)=4-2t + 2t ft (2) x = 2 (a - b) (a - b) = 2 PRRAMETER EINER FUNKTIONSSCHAR BESTIMMEN Gegeben ist die Funktionschar: fa(x) = x² + ax² - 1ax +2 a) Für welchen Wert von fa(2) = -2 2-2-4-2+2-2 8 + 4a -a +2 3a + 40 => Der Graph a geht der Graph von fa (x) durch den Punkt P(21-2) ? = -2 1-10 = -12:3 = -4 von f-x (x) = x²³ + (-4) x² - 2.(-4) * + 2 geht durch den Punkt P(21-2) = x² - 4x² + 2x + 2 b) Für welchen Wert von a hat der Graph von fa (x) einen Wendepunkt an der Stelle x =d? 1. not. Bed für eine Wendestelle bei x = A: Ableitungen fa" (1) = 0 fa(x)= x² + ax² - ax + 2 fa'() = 3x² + 2ax - 1ª 2. hinr. Bed. fü eine Wendestelle bei x = 1: fa" (x) = 6x + 2a far (1) 0 fa" (x) = 6 fa (1) = 0 fa" (x)= 6x + 2a 6.1 + 2a=0 6 2. f (x) 0 fall (x) = 6 fa" (₁) = 6 0 ✓ + 2a = 01-6 2a = -6 1:2 = -3 => Der Graph - von f-3 (x) = x³ + (-3) x² = = .(-3).* +2 hat einen Wendepunkt an der Stelk x=1 =x²-3x² + 1,5x + 2. c) Für welche Werte von a hat der Graph von fa(x) weine Extrempunkte? A notw. Bed. für Extremstellen: f₂Gx)=0 3x² + 2ax 3 (+/-) +² + ²ax - a=0 | pq- Formel X412² − † ± √( £ ) ² − 9 XA12 X112 =- x112 = - a = 0 a = 01:3 2 승 1 ª ± √ (19) ² 4 a +--√(- 1²-ª) ²- (-29) a a = √ 승 1a²+ fa <0 Wir frage Wir fragen also... 1ª²+ fa=0 ( = a + 4) = 0 | Rugel vom Nullprodukt ↓ 1²a + 4 = 01-4 a Wenn dieser Term kleiner Null ist, hat die Ableitungsfunktion Diskriminante D<0 D=0 D>O falx) heine Nullstellen 4ª - 41·2·9 7- :. 2 = - 12/24 - 1,5 keine Nullstelle eine Nullstellen zwei Nullstellen dies ist für -1,5290 der Fall die Werte zwischen 0 und 1.5 sind negativ", also KLEINER als "0" => Der Graph fa(x) hat für die Werte -1,5<a <0 heine Extrempunute.