Funktionsscharen/Differentialrechnung

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4,5x. Untersuchen Sie fauf eine eventuell vorhandene spezielle Symmetrie und auf das Verhalten für x → +∞. a) b) c)₁ 50 d) Mit Hilfsmittel (grafikfähiger Taschenrechner, Formelsammlung) Falls nötig ist das Ergebnis auf 2 Nachkommastellen zu runden! Achten Sie auf eine vollständige Darstellung des Lösungsweges, wie sie im Unterricht besprochen wurde! Bestimmen Sie rechnerisch (also ohne die Grafikfunktionen des GTR) die Nullstellen von f. Bestimmen Sie ebenso rechnerisch (also ohne die Grafikfunktionen des GTR) die Extrem- und Wendestellen von f. Geben Sie an, in welchen Intervallen der Graph von f rechts- oder linksgekrümmt ist. Begründen Sie Ihre Aussagen rechnerisch auf geeignete Art und Weise. 2. Aufgabe: Gegeben ist die Funktionsschar få mit f(x) = −²x³² + ax² mit a > 0. 19.2x 5+2+12+ 4 = 23 Punkte a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Kurvenschar mit den Koordinatenach- sen in Abhängigkeit von a. [Kontrollergebnis: Nullstellen sind x₁ = 0 und x₂ = 3a] Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen von fa an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 2a Extrempunkte ha- ben. Geben Sie begründet an, an welcher Stelle ein Hoch- bzw. ein Tiefpunkt vorliegt. ● c) Skizzieren Sie die Graphen für a = 1 und a= 2 in ein gemeinsames Koordinatensystem. d) Der Koordinatenursprung, der Schnittpunkt des Graphen fa mit der x-Achse und der Hochpunkt begren- zen ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von a. [Kontrollergebnis: A(a) = a¹] Für welchen Wert von a beträgt der Flächeninhalt 16 FE? 5+7+2+4=18 Punkte 3. Aufgabe: Ein Industrieunternehmen lässt ständig beobachten, wie viele User gerade die Homepage des Unterneh- mens besuchen. Für den Zeitraum zwischen 4 Uhr morgens und 16 Uhr nachmittags lässt sich die Anzahl der Surfer, die zu einem bestimmten Zeitpunkt gerade die Internetseiten besuchen näherungsweise durch folgende Funktion beschreiben. f(t) = -t³+30t² - 225t + 520, tin h Dabei steht t für die Zeit in Stunden. Es gilt 4 ≤ t ≤ 16 (t nimmt also Werte zwischen 4 und 16 an). Z.B. f(8) gibt an, wie viele Surfer um 8 Uhr die Homepage benutzen. Der abgebildete Graph gehört zur Funktion f. MA Achtung: -500 -400 -300- -200 -100 F(t) 0 8 10 12 14 16 18 20 22 a) Ermitteln Sie rechnerisch die Anzahl der Surfer um 8 Uhr. f(10)-f(8) b) Berechnen Sie und f'(8) und interpretieren Sie die Ergebnisse im Sachzusammenhang. 10-8 c) Natürlich ist das Unternehmen besonders an dem Zeitpunkt des maximalen Besuchs der Seite und an der Höchstzahl der Besucher interessiert. Bestimmen Sie rechnerisch diese Daten. d) Weiterhin ist die Firma an dem Zeitpunkt der stärksten Zunahme von Surfern interessiert. Bestimmen Sie rechnerisch diesen Zeitpunkt sowie die stärkste Zunahme der Besucherzahl. 24 Denken Sie gegebenenfalls an eine Überprüfung der Randwerte! 2+6+9+8 = 25 Punkte Zusatz: e) Geben Sie begründet an, zu welchem Zeitpunkt die Zahl der Surfer am stärksten abnahm. Musterlösung zur 1. Klausur Fortführung der Differentialrechnung" im GK-Mathematik 12 Teil 1: Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1: 1 a) Die Aussage ist richtig, denn f'(2)= 0 (notwendige Bedingung für Wendestellen) und an der Stelle x = 2 gibt es einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung (hinreichende Bedingung für Wendestellen mit f'(2)= 0). b) Die Aussage ist falsch, denn für x €]1; 2[ist f'(x) > 0, d.h. der Graph von fist linksgekrümmt. ^ Aufgabe 2: 1 \) _ƒ(x) = ²x³ − 3x² +8x_ƒ'(x) = x² − 6x+8 Bestimmung des Wendepunktes W: f"(x) = ( 0 Aufgabe 3: (0)=0 1 (0) = 0 A P(-2)=0 ₁ 2x-6=0 | +6 x = 3 ist mögliche Wendestelle A f(3) = 20 Also liegt an der Stelle x = 3 eine Wendestelle vor. A f(3) = ¹3³ — 3·3² +8:3=27-3.9 +24=9-27+ 24 = 6 Bestimmung der Wendetangente tw(x) = f'(3).x+n: Teil 2: mit Hilfsmittel Aufgabe 1: ^ f(3) = 3²-6.3+8=9-18+8=-1 Also: tw(x) = -x+n 1 Koordinaten des Punktes W in die Tangentengleichung einsetzen: tw (3) = 6⇒ Für die Wendetangente ergibt sich: -3+n=6 | +3 f"(x)=2x-6 f(x) = 2 1 2x = 6 n = 9 tw(x) = -x +9 2 Zum Beispiel folgendermaßen: Der Graph von f verläuft durch den Ursprung Q (0/0). Alternativ: f(-4)= 1 Der Graph von f hat an der Stelle x = 0 eine waagerechte Tangente. 1 Alternativ: f'(-4)= 0 An der Stelle x = -2 hat der Graph von f einen Wendepunkt. 1:2 1 also W (3/6) 1 3/3 212 (15) 7/7 414 (1/11 (6/6) a) Der Funktionsterm weist gerade und ungerade Exponenten von x auf. Daher besitzt der Graph keine spezielle Symmetrie (z.B. Achsensymmetrie zur y-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung). Für die Betrachtung des Verhaltens der Funktionswerte für x-too betrachtet man den Summanden des Funktionsterms mit dem höchsten Exponenten von x: -0,1x³ ^ Für X→→∞ verhält sich f(x) → +∞ für x+∞o verhält sich f(x)→→∞0. und 1 ^ 515 Σ227 b) Nullstellen: f(x)=0. ◇ c) Ableitungen: -0,1x³-0,3x²+4,5x=0 ^ f'(x)=-0,3x²-0,6x +4,5 Extremstellen: f'(x)=0 c) f"(-5)=-0,6-(-5)-0,6=2,4>0 f(3) =-0,6 (3)-0,6=-2,4 <0 Wendepunkte: f"(x)=0 -0,3x²-0,6x +4,5=0 Aufgabe 2: fa(x) = − ²x³ + ²ax² mit a > 0 -0,6x-0,6-0 f'(x)=-0,6x-0,6 Schnittpunkte mit der x-Achse: mit GTR/ Solve N: X₁ =-5, X₂ = 3 Also liegt an der Stelle x₁ =-5 ein lokaler Tiefpunkt vor. Also liegt an der Stelle x₂ =3 ein lokaler Hochpunkt vor. ^ a) Schnittpunkt mit der y-Achse: fa(0) = − ²1.· 0³ +1a · 0² = 0 03 fa(x) = 0 x³ - 3ax² = 0 Nullproduktsatz: x₁ = 0, x₂ = 3a b)_ fá(x) = − ²x² + ²ax = − ²x² + ax ^ 6 -3 mit GTR/ Solve N: xw = -1 Also liegt an der Stelle Xw = -1 ein Wendepunkt vor. f(-1)=-0,60 d) Krümmungsverhalten: Für x < -1 bzw. xE]-00;-1[ ist f"(x) >0 (z.B.: f"(-2) = -0,6 (-2) - 0,6 = 0,6> 0), also ist der 2 mit GTR/Solve N: -1 Graph in diesem Intervall linksgekrümmt,. Für x>-1 bzw. xE] -1; co[ ist f"(x) <0 (z.B.: f"(0) = -0,6-0-0,6 = -0,6 <0), also ist der Graph in diesem Intervall rechtsgekrümmt. 414. 2 (23/23 x₁ = 0, X₂-8,37, X35,37 1 f"(x)=-0,6 fá (2a)=- · (2a)² + a· 2a = −2·4a² + 2a² = −2a² + 2a² = 0 fa' (2a) = -2a+ a = −a < 0, also Hochpunkt an der Stelle x₂ = 2a. ty -6- 5- 0 -1 1 Sy(0/0) −²x³ + ²ax² = 0 · |·(-6) 1 x²(x-3a) = 0 1 → Sx₁ (0/0) Sx₂ (3a/0) ^ fa" (x) = − ²x + a = -x + a fá (0) = -¹.0² +a-0 =0 und fa' (0) = -0+ a = a > 0, also Tiefpunkt an der Stelle x₁ = 0. 245 und MatheGrafic.de 2 1 2 2,5 12/12 2/2 5/5 717 212 d) Flächeninhalt eines Dreiecks: A = 0¹h ^ hier: g = 3a h = fa(2a) = − ² · (2a)³ +²·a· (2a)² = − ² · 8a³ + 1⁄2·a· 4a² = · gh_3a²-a³ = 20² = = A(a) A(a) = 16 Aufgabe 3: c) =a4 a) f(8)= -8³ +30.8²-225.8+520 = 128 Um 8 Uhr morgens besuchen 128 Surfer die Homepage. b) f(10) = -10³ +30 10²-225-10 + 520 = 270 f'(t) = -3t² + 60t - 225 f(10)-f(8) 270-128 = 71 ^ 10-8 2 2. Ableitung bilden: Hochpunkt bestimmen: f'(t) = 0 1 a = 16 ^ f'(8)= -3.8² +60-8-225= 63 -3t² + 60t - 225 = 0 ^ f"(5)=-6.5+ 60 = 30 > 0 f"(15) = -6 15 +60= -30 <0 f(15)=-15³ +30 15²-225-15 + 520 = 520 1 ^ Zwischen 8 und 10 Uhr morgens steigt die Anzahl der Surfer durchschnittlich um 71 pro Stunde. 1 Um 8 Uhr morgens steigt die Anzahl der Surfer um 63 pro Stunde. f"(t)=-6t+60 a=2 -6t+60 = 0 Überprüfung der Randwerte: f(4) = -4³ +30-4²-225 4+520 = 36 < 520 f(16) = -16³ + 30 · 16² — 225 · 16+520 = 504 < 520 A mit GTR/ Solve N: Also liegt ein lokaler Tiefpunkt vor. Also liegt ein lokaler Hochpunkt vor. A (a = -2 kommt nicht in Frage) 1 −a³+2a³ = ²a²³_1 t₁ = 5, t₂ = 15 1 1 Unter der Berücksichtigung der Randwerte ist H(15/520) der absolute Hochpunkt in dem Intervall. Um 15 Uhr gibt es die meisten Surfer auf der Homepage und zwar 520. 1 ^ d) 3. Ableitung bilden: f"(t) = −6 ^ Der stärksten Zunahme an Surfern entspricht die größte Änderungsrate, die an der Wendestelle oder an den Rändern angenommen wird. Bestimmung der Wendestelle: f"(t) = 0 A 414 10/18 2/1/2 616 9/5 mit GTR/ Solve N: tw = 10 f"(10) = -6 <0, d.h.: Wendestelle mit einem lokalen Maximum der Änderungsrate. f'(10) = -3 10² + 60∙10-225 = 75 Änderungsrate an der Stelle tw = 10: Überprüfung der Randwerte: f'(4) = -3.4² +60 4-225= -33 < 75 1 f'(16) = -3 16² +60 16-225-33 < 75 Um 10 Uhr wächst die Zahl der Surfer am schnellsten und zwar um 75 Surfer pro Stunde. e) Da es keinen weiteren Wendepunkt gibt, kann ein Minimum der Änderungsrate nur an den Rändern auftreten. Unter Berücksichtigung der Ergebnisse bei Teilaufgabe d) ergibt sich: (+2) Die Zahl der Surfer nahm am stärksten um 4 Uhr und um 16 Uhr ab. Σ 668 889. 8/8 25/25 1. Aufgabe: 2 Die Aussage ist richtig. die 2. Ableitung an der 4. stelle x=2 eine Willstelle da hat, was bedeutet, dass die 1. Ableitung von I BJ dort (x=2) eine 나 dee 1. Ableitung an der Stelle x=2 eine extremstelle hat so hat die Funktion of an der Stelle xz 2 einen Wendepunkt. Extremstelle hat. Da f"(x) >0 €Linkskrümmung f" (x) <0+ rechts krämmung f" (1,5) >0 somit hat vanf falsch. der Graph im Intervall [1:2] eine Linskrümnung, also die Aussage ist c 2. Aufgabe f(x)= 13x²³_3x²+8* P²C) = x² - 6x +8 4 f (x)=2x-6 - a gesucht's Wendepunkt • notwendige Bediengung & f "W)=0 C NEW von f" 2=32x+6=0 +6 1:3 A K Macigerechte Tangente "f₁²/³) = 5 X=3 hinreichende Bed.: f "(x)=0 ^f" (FO f" (x) = 2 + =D X=3 ist eine Wende- stelle. Funktionswert: f(3) = 1· 3³-3-3² +8.3 3 my = (139) = (3: 9224 21424 = 3 Lay - -24+24=0/ (1.27)-(3.9) + 24 9-2++24 2+24 12 IT 11 F WI → W(3/6) Csiche Seite (3) 3. Aufgabe Q (0/0), an km + f(0) = 0, da der Punkt Q (0/0) betracklet wird. Da der Graph bis zur Nullstelle soll die Steigung To f'(0) (0+2. B. f'(0) = = 2 senkt, sein, also Wenn die Steigung Kleiner & null ist กางกาง , B und der Graph Sote recht gekrümmt iSE, f" WUKO sån, also 2.B. p"Q)==1. Aufgabe (29) p(3)= (==.37) (3.3) 3 31.27-(3.9) +24 श्र V mx tb 27 3 6 >us (316) L 27 +244 14 3-63 18 9-1868 (36) (hasackens Katha - 13+b-6 4->-3+b-61-3 b= 4 also Ya_y = =1x\+9_bzw. _y = =x+9 इन7/227 |x = b 10/20 "/s1=5 Tiefpunat Del 276 Aul Sabe +(x) = -0,18 -0,3x² + 44,5*² 9 Symmetries -Es gibt heine Symmetrie, ca die Exponenten von x sowohl gerade als auch ungerade sind. • Vorhalten für X-st Betrachte: -0,1x²³ für X->+∞ + 8²³ -> +∞0 => -0,₁12²³ also f(x) -> - 00 e XT=0₂ 0(0/0) 20 x -> -ap => c X = f(x) →→→ too b) Nullstellen: f(x)=0c <== -0₁ 18³² -0,3x²+4,5x=0 <=> x (-0,1x² - 0,3x +4,5)=0 2 2 -1₁5 20-0,1x² Xalz=ef 783 -q - 0,1x²=0,3x + 4,5=01: CON 45 x² + 3x-²-0 1p-qformel (3)² +845 12.25 +0444445 164 47, 25 J FR 6187 1,5 ± 1 X ₂ = 5,37 *3= NCS, 37/0) -837 NC-8,137/0) H 21 mit GTR / Golve N 2/2 5 $1 (x) = = 013x-016x4415ट f" (R) = - 016x-016 - f""(x)==0, 6 Extrempunkle: जर > nobw. Bel.e ('(a) 61-0136 - 0/6A +445=0 | SOME- X1 = -5 x 2-3 N als mögliche Extremsletten hinr. Bedo f"(k) =) Gy "(5)=-016.6-59-015 013-015 La 11 Funktionswertes PL-5D==01,ES)* Q3C-S)+45 3. -बत. 12) (0, 3.232225 12,5-0115-225 35,75 - HO IN ==013 (V=DHi bei = {"(3) = = 06.3-06 -18 - 06 · V2DQ => Pbs - 3 →hin. Bed. of" W xXx) ‡ O p"-B)=-0, 6.-5)- 04 = 24 DO DTP bei c X =-5] B ९« (3) = −०,6 . 3 =-२५0 > बड़े (2) O C l l 6 funcionswerte? KEE 1639-01 5.34 + 45+3=8₁7 =1²474²2 ARJ Lexik 116318,1) f(-5) =.0), (1-5)-0, 3,6 = 3²+ 45 46 4 0,5 715 = 22,5 = -17,5t \J(-5/-17,5) → Wendestellen von f 。notw. Bed, of "(x)=0 t - 0,6 × - 0,6 - 0 1+0,0 0,6 * = 0,6 1: (-0,6) X= H 。 hinr. Bed. • f" (x) #0 GV06 to also Wende stelle. 4 X=-1 ist eine J Links krümmung f"@so Rechts er ammung f" (1) co Lonksgekrümmt im Intervall 3-001-10 rechtsgekrümmt Im Intervall JEST +01 Vf™ (N Nicht erforderlich! 12/12 Sa Nadwe's 3/4 (22/23 45/5 Schnittplet (013) Sx (35/01 H Die Krummung kann man durch den Hochpunkt der Ableitungs funktion erkennen, da fort eine Wendestelle von & statt Jer Taraph sinted was bedeutet, dass seine Krümmung andert. Vor der Bis Ws sind f"∞o, also linslogen- mont, nach der Ws sind fu(xXCO also ist der Graph & rechts- gekrummt 2. Aufgabe SP à mit der y Achse (Ansatof(0) es fa (0)= -1 0²+19.0²= 0 also Sy (0/0) 2 Sp mit der x-Achse (Ansatz & f(x)=0) 20 fa (x)=0 c 1,²³+19+² X X = 1 x² + Xax) = 0 TO 19x²-0 I AR² + ax Q 2 co x² (- 1x + Ia)=0 X=04 170 Nullstellen: - 1x +19-01-19 -2x = -19 1.6 sower - x = -3a 1: (-1) X = 39 *1=0 und $₂ = 34 G3 D Extrempunkte: • notw. Bed. fa(x)=0 - <=> fa(t)= -1x² + ax <>=2x² + ax X(-½zx+a)=O HLE 1 x=0 -X₂²= = = x+a= 04-9 = ohin. Bedi f" (x) ‡ O COLOSSE 5 20 fa (x)=_zarage få (0) = -0² + a ta WEK alsotra sa für aso → Trefpunkt Ja fa (x) > 0 ist - a co Hochpunkt da fa(k) (O 1st dhe foto hot = få (2a)= -28³14a U CO=D Hochpunkt, da fi" (a)<o ist far a co alle reele Zahlen ~Dz4y₁ = X = 2a -19²³ • Funktionswert to fa(a)== 1. a ²³ + 1.g₂a² 6 2 a t za T(9/1/0²), H₂(a/ 4 ²) azo Nicht immer 617 Nicht erforderlich! + (Pac2a) = -1 · R3, 19.(20² . = (-2. sal+ (2.9.90) =-1a²+ 3 He (2a/룰다) 201 I 2 9:1 also o TC1/1), da 1a² + 2a3 ₩ (3/0) 1 ist. NC010) H(21층) (C를 주름) I fur a=2 T(218) Tcal fa}) H (21를ci) + W. 3.25 6 Ni(610) und HC9/16) N25010 즉 : 를 23:16 = 14 4 al=1 호 Juuser थ्रे AX A= 4gh 4344 4575 (7) 41 fa(x) = A fa(x) = -1x²³ +1 ak =1114 714 1912-11=0 fac) = = 1 0/4 Callo 22 direkt mit GTR direkt berechnen! vige as direkt Z 9) F(8)= - 8² + (30.8²3-(225.8)-520 =-$12+1920 - 18 0 0 + 5 20 o 3. Aufgabe f(t)=_=_t²³+30€ ² - 225€ +520 to Zept in Stunden f(t): Anzahl der Surfer 4456416 128 Es gibt 128 Suffer um 8.00 Uhr. b) f(18)= (10³) + 30 • 10² – 225.10+ -1000+ 3000-27504520 5-20 270 & f (8) = £83²³² +30 €8²-225-5+5 W ·-512 + 1920- 1800+520 128 £ (10)- £(8) 270-128 10-8 del TP 14² = 71 2 Von 8:00 Uhr bis 10:0thr steigt die Anzahl der Be Surfer um durchschnittlich 71 Such Surfer pro Stunde. f₁(t) = -3²² + 60t - 225 6 (8)= -3.8² + (60-8-225 = 192+ 480 225 63 88 Die (momentane Änderungsrate der Anzahl der Surfer steigt um 8:00 Uhr um 63 Surfer pro Stude G → maximale Besuch - HP von f o notw. Bed. f '(4)=0 f(t)=3€² + 60t - 225 C LED → ohin. Bed. % f" (k) #OC f"(t) = = 6€ +60 +0 - f" ( 5 ) = -6.5 +60 = 30 >0 = TP f"(10) 656030 COPHP Cadea • Randwerle & f(4)= 36 < 50 £016)= 504 (520 C (75)-520 -3£² + 60€ -225=0 | Salve N ← X₁ = 5 *2=15 um 다 9 Die maximale Besuchszahl war 15:00 Uhr mit $20 Besucher bau. Surfer. Höchste Besucherzahl -05-20 Besucher ( 1516 Sis Anderuap rak 878 245/25 f!"" (10)=-6 (tk 2 stärkste Zunahme - HP Von f(t) f notw. Bed.: f" (t)=0 <=)-6€ +60=0 t = 10 1GTR-SOWE-N o hinr. Bed. % f¹¹(E) #0_ f" (U) = -60 f!!! (E) = -6 <0=P Hochpunket yout' funktionswerts 1000 20 603 15 f₁ (10) = -3.10² +60 10-225 & LEST F-300+600-225 sw (10/75) = 7574 Um 10:00 Uhr nimmt die Anzahl der Surfer um co 75 Surfer pro Stunde zu Diese ist de startesle Zunahme der Besucher. fil(a)=-35-3 X, da (75 16) = Zusatz: Die Anzahl der Surfer nimmt am meisten stärksten um und 4:00 Sinn 16:00 Lihr ab, was macht, La die Funktion mur die Anzahl der Besucher nur (10) 1 in diesen Untervallen wiedergibt. Die Abnahme betragt Besucher pro Stunde Σ 2. Teil 75,5 beträgt 33 585 /669 Von 88 Tunkten De + 2 Zusateplet (1 77