Funktionsuntersuchung

Alternativer Bildtext:

Monaten durch die Funktion f mit f(t) = -5t² + 130t angenähert werden. Dabei gibt t die Zeit in Monaten an. a) Untersuche die Funktion f auf Monotonie im Interval [0; 12] und interpretiere das Ergebnis im 15 M -10- b) Untersuche das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion. Wie wird sich der Umsatz in Zukunft entwickeln, wenn sich der aktuelle Trend fortsetzt? Aufgabe 5 Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründe jeweils deine Antwort. Aufgabe 6 a) Falls f"(2) = 0 gilt, dann hat die Funktion f an der Stelle x = 2 sicher eine Wendestelle. b) Zu jeder Nullstelle der Ableitungsfunktion f' gehört eine Extremstelle von f. c) An einem Sattelpunkt verändert sich das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion. d) Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum keine Vielfachen voneinander sind, dann sind die Geraden zueinander windschief. 5/5 Punkten a) Gegeben sind die beiden Geraden Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden g und h und gib - falls möglich - den Schnittpunkt an. (3) +- (1) (2)+₁() +r. g: 6/6 Punkten x = b) Gegeben ist die Geraden g: x = haben vom Punkt P (5|21-5) den Abstand 6 LE? + r. und h: x = Welche Punkte liegen auf der Geraden g und Nr. A a) f'(x) = 2x² b) Nr. 2 3x f(x) = 3·x-² -1x³ 2 f'(x) = -6x²³ - 3x² c) f(x) = 3·x ² ++x f'(x) = 1,5x + + faxi= 1x²-2/2 x ² f(x) = 0 - 0=1x²-3x² 0=x²-(4-²) x₁ = 0 ↓ Mathe KAU. 3. 2 ×3=0r Ex-3-0143 द b) f'(x) = ²x²-3x r f'(x)=0 0-3x²-3x 0=x-(3x-3) C 4x=3/2=0 (+3 MIN MIS 2 1 6.2010) N₂ (6(0) f"(x)= 6x-3 f" (0)= -3 f" (4)= 3 €'(-1) = 15 f'(1)= f'(5) = 15 с 1.04.19 In (-∞0; 0) =) 5.m. wachsend I₂ (0; 4) =) s.m. fallend Iz (4; +%) =) s.m. wachsend 3P. c) x3 = 0 d) F"(x)=0 Nr.3 f"(0)= -3 f" (4)= 3 6x-3 = 0 6x - 3 xu = 4 r =) aus b) x = 2 3(21-3) 2x = 3 L MIN (: 2 f(2)=-3 y=-3x+ c Weinsetzen -4 = -3·2+c 2=C y=-3x+2 VZW 1x UZW y=mxtc f'(2) ( MIN r 1+6 f"l² (x) = ³/ f.A 3 Nullstellen in f'(x) mit UZW 3 Extremstellen nach + von <O⇒H (010) оэт (чі -8), - -22 Tiefpunkte =) 1 Hochpunkt s von + nach- ✓ W.A. da f'(x) überhalb der x- Achse in dem intervall iii) Xf. A. f nur in f'(x) unterhalb der x-Achse in f überhalb der x-Achse, davor die Steigung positiv war und der Graph warscheinlich bei da a) Ki) x → - f(x) → 00 iv) X - die Steigung der Tangente ist f'(xo) Deshalb ist m = -2 a) f(t) = -5+² +130+ f'(t)= -10+ +130 f'(4)=6 -10t +130 = 0 -10+ = 130 to 13 f 1-130 I [0; 12] r für x>- gitt f(x) →- für x7 gilt f(x)→- f'(1) = 120 im Intervall I [0, 12] f"(t)--10 f" (13)--10 <0 H beit - 13 AP 4, SP ist f 5.m. wachsend. 1.S 3,5P. Das bedeutet, dass die Umsatzzahlen immer Weiter gestiegen sind ohne wieder zusinken.r + = 13 ist somit dann der Bei größte f erreicht. b) f" (t) = -10 KO Der Graphn hat eine Rechtskurve. in Zukunft wird der Umsate wieder anfangen zu sinken und nicht mehr ansteigen. Ur. 5 a) f.A.r f" (2) muss zwar b) f. A. Wenn man ·lechtskyek √j f Umsatz 3ko Keine Wendestelle =) nur eine Kurve df.A. ( einen Sattelpunict. I c) W. A. Bei einem Sattelpunkt hat man kain VZW, Linkskurve G dass heißt man hat einers Extremstelle in f da die x-Achse nicht geschnitten wird doppelte Nullstelle. Zuerst ist die Steigung bei f' also positiv oder negativ und dann anders herum. D.h. f" (x) >0 und dann a Vrso nach der Nullstille f"(x) <0 (bzw. anders herum) → Wechsel des Krümmungsverhalton f" (x) <0 → Rechtskurve f(x) >0 → Linkskurk, Oder sie haben einen gemeinsamen Schnittpunkt, r O sein, aber genauso muss die 2. Bedingung erfüllt sein. f" (2) O bei der Nulistelle in t kein U₂W hat, handelt es sich in f um Nr. 6 (a) g EFH HH Die Richtungsvektoren ū und ? sind linearun- abhängig, also keine Vielfachen = windschief / Schnitt- punkt g+ 3r = 7 ts at +2+5 6+<= 2+25 I h. x'. (-²) + s. (2) GU 3r Dr = T +S= -2 -2 S r-2s= - S = -2 1= (-_^) SER $ und r in II -2. (2) u -4= 5 W. A A X = (8) + 0. ( ²₂ ) 7 = (?) → Schnittpunkt SP(9 (016) C - ing: 3